二阶线性递推数列的通项公式的求法(1)

二阶线性递推数列的通项公式的求法
课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的求法是高考中数列的一个高频考点，由于其递推数列的特殊性和复杂性，很多学生感到无从下手，是学生高考中较大的一个失分点，其实本题来源于课本习题，本课就这个问题以课本习题为载体来深入的探讨和研究一下二阶线性递推数列的通项公式的求法 课程内容： 真题再现：
1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*
n ∈N ．已知11a =，232a =，354
a =， 且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；
（2（32.在数列问题呈1
n -，易得24(n S +-求{}n a 的求数列{例135解法
猜想
1[4
n a =解法2：（构造法）
将2132--+=n n n a a a 变形，]23
)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λ
λλλ 若,23
λ
λ-=
-即1-=λ或者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时，
1{}n n a a ++是一个首项为7,公比为3的数列,1
173n n n a a --+=⨯①
3λ=时，1{3}n n a a +-是一个首项为-13,公比为1-的等比数列
11313(1)n n n a a -+-=-⨯-②
由①②两式消去1n a +得：11*1
[7313(1)]()4
n n n a n N --=
⨯+⨯-∈ 解法3：（待定系数转化法）2132--+=n n n a a a ，设112()n n n n a a a a λμλ----=-，其中,λμ是待定的常数，则
12()n n n a a a λμλμ--=+-。

得{
2
3λμλμ+==，比较系数显然λμ与是方程2230x x --=的两根，即方程2
23
x x =+的两根。

{
23
λμλμ+==⇒
{
{3=1
1
=3λλμμ=-=-或，
得：
可得
1
[74
n a = 设数列1a 设：n a +数得：λμ+=I.当∆)n α-或
2n a β+-故得：n a 1n a β+-当αβ≠令212112(),a a a a c c βαβαβα
---=
=--，则11
12,n n n a c c αβ--=+常数12,c c 由1,2a a 确定
当αβ==
2p 时，由③得1
121()n n n a a a a ααα-+-=-，两边同除1n a +得12112n n n n a a a a αααα++--=。

数列
{}n n
a α是公差为212,a a αα-首项为1a α的等差数列。

得：12122(1),n n a a a a n αααα-=+-得令121122a a a c ααα-=-，21
22
a a c αα
-=，得12()n
n a c nc α=+，常数12,c c 由12,a a 共同决定。

所以，遇到此类题求通项公式只需考查方程递推方程21n n n a pa qa ++=+的特征方程2
x px q =+，运用特征根方
程特点解题，是非常简单的。

结论运用
对于文中所涉及的第一小题（2015广东文19）的第三小问我们便可以运用此法解答.题目中已经求出递推方程
2114n n n a a a ++=-，所以其特征方程为214x x =-，解得方程只有两个相等的实根即：1
2αβ==，所以
121
()(2
n n a c nc =+，11,a =2
3
2a =可得：122121()12
1(2)()12
c c c c +⋅=+⋅=⎧⎨⎩∴10,c =22c =∴1
2n
n n
a -=
第（2）小题的递推公式11n n n a a a +-=+（2n ≥），其特征方程为2
1x x =+.
解得1
x =
,2x =.可
设n a c =11,a =代入n a 所。