河北省石家庄市中考数学总复习第六章圆第四节弧长、扇形面积的相关计算同步训练

第四节 弧长、扇形面积的相关计算
姓名：
________ 班级：________ 限时：______分钟
︵
1．(2021·黄石)如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD＝30°，BO ＝4，那么BD 的长为( )
2 4
8
A.3π
B. 3πC ．2π
D. 3π
2．(2021·宁波)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB ＝4，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，
︵
)
交边AB 于点D ，那么CD 的长为(
1
1
2
2 3
A.6π
B.
3
π
C.
3
π
D.
3 π
︵
3．(2021·咸宁)如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB ，OD ，假设∠BOD＝∠BCD，那么BD 的
长为(
)
A ．π
B.
3π C
．2π
D ．3π
2
4．(2021·德州)如图，从一块直径为 2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么此扇形的面积
为()
1
π23222
A.2m
B.2πm C．πm D．2πm
5．(2021·原创)如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，那么阴影局部的面积
是()
A.5π39π9－
B.－
4 924
C.9π99π9＋
D.－
4 448
6．(2021·连云港)一个扇形的圆心角为120°，它的半径是3cm，那么扇形的弧长为________cm.
7．(2021·郴州)如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，那么该圆锥的侧面展开
图(扇形)的弧长为
________cm.(结果用π表示)
8．(2021·原创)如图，等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，
BC
︵
分别交于D，E两点，那么劣弧DE的长为________．
9．(2021·石家庄一模)如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，
在菱形内作四条圆弧，那么图中阴影局部的周长是________．(结果保存π)
10．(2021·天水)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆
弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．假设等边三角形的边长为a，那么勒洛三角形的周长为
________．
11．(2021·易错)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以点A为圆心，底边的高AD长为半径
2
作圆弧，交AB、AC于点E，F，那么图中阴影局部的面积为________．
12．(2021·原创)如图，AB是⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，∠D＝60°.
求∠BAC的度数；
当BC＝4时，求劣弧AC的长．
13．(2021·湖州)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交
AD于点E，连接BC.
求证：AE＝ED；
︵
(2)假设AB＝10，∠CBD＝36°，求AC的长．
︵
1．(2021·潍坊)如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D是BC的中点，作DE⊥AC交AB的延长
线于点F，连接DA.
求证：EF为半圆O的切线；
(1)假设DA＝DF＝63，求阴影区域的面积．(结果保存根号和π)
3
︵2．(2021·廊坊二模)如图①，将长为 10的线段OA绕点O
旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是
︵
半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.
(1)当∠POQ＝________度时，PQ有最大值，最大值为________；
︵
如图②，假设P是OB中点，且PQ⊥OB于点P，求BQ的长；
如图③，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影局部面积；
(4)如图④，将扇形 OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，假设OP＝6，求点O
到折痕PQ的距离．
4
参考答案
【根底训练】
1．ππ8.π
4π
9．6π10.π3－3
12．解：(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝180°－90°－60°＝30°；
如解图，连接OC，
∵OB＝OC，∠ABC＝60°，∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
120π×48
︵∴劣弧AC的长为180＝3π.
︵13．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
︵∴∠ADB＝90°.
︵∵OC∥BD，
︵∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD.
︵∴AE＝ED；
︵解：由(1)得，OC⊥AD，
︵
︵AC＝CD，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
︵∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
︵72
AC的长为180π×5＝2π.
【拔高训练】
︵
1．(1)证明：如解图，连接OD，∵D是BC的中点，
5
︵ ︵
CD ＝BD ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠EAD ＝∠ODA ，∴AE ∥OD ，∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF ，
∵OD 是⊙O 的半径， EF 是⊙O 的切线．
解：∵AD ＝DF ，∴∠DAF ＝∠DFA ， ∵∠DOF ＝2∠DAF ，∴∠DOF ＝2∠F ，
∵∠ODF ＝90°，∴∠DOF ＋∠F ＝90°，∴∠F ＝30°，
∴∠DOF ＝60°，
如解图，连接OC ，CD ，∵∠DAF ＝∠F ＝30°，∴∠CAO ＝2∠DAF ＝60°，∴∠EAD ＝30°.
∵OA ＝OC ，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠AOC ＝60°，
∴∠COD ＝60°，
∵OC ＝OD ，∴△COD 是等边三角形，
∴∠DCO ＝60°＝∠COA ， ∴CD ∥AB ，∴S △COD ＝S △CAD .
在Rt △AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝DF ＝63，∴DE ＝33，AE ＝9，
在Rt △DOF 中，∠ODF ＝90°，DF ＝63，∠F ＝30°，
∴OD ＝6.
1 n πr 2
1 2
60π·6273
π. ∴S 阴影＝S △ADE －S 扇形COD ＝AE ·ED －
360＝×33×9－
＝
－6
2
2
360
2
2．解：(1)90；10
2；
如解图①，连接OQ ，BQ ，
∵PQ ⊥OB ，OP ＝BP ，
6
︵
︵∴OQ＝BQ，∵OB＝OQ，
︵∴OB＝OQ＝BQ，
︵∴△OBQ是等边三角形，图①
︵∴∠QOB＝60°，
60π×1010π
∴BQ的长为＝；
3
如解图②，连接AB，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.由折叠性质得AB′＝AB＝102，
那么OB′＝AB′－AO＝10 2－10，图②
∠OB′P＝∠OBA＝45°，∴∠OPB′＝∠OB′P＝45°，
∴OP＝OB′＝102－10，
S阴影＝S扇形AOB－2S△AOP＝1
π·102－2×1×10×(102－10) 42
25π＋100－1002；
如解图③，过点O作OE⊥PQ于E，延长OE到O′，使得
OE＝O′E，连接O′C交PQ于F，
∵弧B′Q与AO相切，∴O′C⊥AO，且O′C＝OA＝10，图③
∵BO⊥AO，∴O′C∥BO，∴∠FO′E＝∠POE，
∵∠FEO′＝∠PEO，OE＝O′E，
∴△O′EF≌△OEP，∴O′F＝OP＝6，
∵∠O′EF＝∠O′CO＝90°，∠EO′F＝∠CO′O，
∴△O′EF∽△O′CO，
O′F O′E6O′E
∴OO′＝O′C，即2O′E＝10，解得O′E＝30，
即点O到PQ的距离为30.
7。