【解析版】2019年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷

2019年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8个，每小题3分，共24分）
1．﹣6的倒数是（）
A． 6 B． C．﹣ D．﹣6
2．植树造林可以净化空气、美化环境．据统计一棵50年树龄的树，以累计计算，除去花、果实与木材价值，总计创值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为（） A． 196×103 B． 19.6×104 C． 1.96×105 D． 0.196×106
3．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥 B．圆柱 C．球 D．圆锥
4．六边形的内角和为（）
A． 360° B． 540° C． 720° D． 1080°
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（）
A． 2.5 B． 1.6 C． 1.5 D． 1
6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则∠2等于（）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 65°
7．10名同学分成A、B两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如表：
设A、B两队队员身高的平均数分别为，，身高的方差分别为S2A，S2B，则下列关系中完全正确的是（）
＞S2B B．，S2A＜S2B
A．=，S2
＞S2B D．，S2A＜S2B
C．，S2
8．如图1，已知点E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，AD=8．动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形的某一个顶点的距离为y，如果y关于x的函数图象如图2，则矩形的这个顶点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分19分）
9．函数y=中，自变量x的取值范围是．
10．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为．
11．分解因式：xy2﹣9x= ．
12．对于非零的两个实数a、b，规定aAb=﹣，若2A（2x﹣1）=1，则x的值为．13．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积
是．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△AOB连续作旋转变化，依次得到三角形①、②、③、④、…，则第⑦个三角形的直角顶点的坐标是；第17个三角形的直角顶点的坐标是．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分）
15．（1）计算：﹣3sin60°+（π﹣1）0﹣2﹣1
（2）解不等式组：．
16．（1）如图甲，AD丄BC于点D，BE丄AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF=AC．求证：DF=DC．
（2）如图乙，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，一2）和B（a，4）
①求反比例函数的解析式和点B的坐标；
②根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
17．（1）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
（2）如图，已知▱ABCD，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF
①求证：四边形AECF是平行四边形；
②当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE：AB的值．
18．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生读书情况，随机
个样本数据的众数是，中位数是．
②根据样本数据，估计该校九年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数；
③学校广播站的小记者对被调查的50名学生中读书册数最少和最多的人进行随即采，请利用树状图或列表，求被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率．
19．如图，已知BC为⊙O的直径，EC是⊙O的切线，C是切点，EP交⊙O于点A，D，交CB 延长线于点P．连接CD，CA，AB．
（1）求证：∠ECD=∠EAC；
（2）若PB=OB=2，CD=3，求PA的长．
20．【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF．则DE，DF的数量关系为．
【拓展】如图2，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC．过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF．求证：DE=DF；
【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、
C和点A（﹣1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD 是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段B C上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
2019年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个，每小题3分，共24分）
1．﹣6的倒数是（）
A． 6 B． C．﹣ D．﹣6
考点：倒数．
分析：根据倒数的定义求解．
解答：解：因为（﹣6）×（﹣）=1，
所以﹣6的倒数是﹣，
故选C．
点评：此题考查倒数问题，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．植树造林可以净化空气、美化环境．据统计一棵50年树龄的树，以累计计算，除去花、果实与木材价值，总计创值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为（） A． 196×103 B． 19.6×104 C． 1.96×105 D． 0.196×106
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将196 000用科学记数法表示为：1.96×105．
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．三棱锥 B．圆柱 C．球 D．圆锥
考点：由三视图判断几何体．
分析：根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再根据左视图的形状，即可得出答案．
解答：解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，
∴该几何体是一个锥体，
∵俯视图是一个圆，
∴该几何体是一个圆锥；
故选D．
点评：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
4．六边形的内角和为（）
A． 360° B． 540° C． 720° D． 1080°
考点：多边形内角与外角．
专题：计算题．
分析：利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°即可解决问题．
解答：解：根据多边形的内角和可得：
（6﹣2）×180°=720°．
故本题选C．
点评：本题需利用多边形的内角和公式解决问题．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（）
A． 2.5 B． 1.6 C． 1.5 D． 1
考点：切线的性质．
专题：计算题．
分析：连结OD、OE，如图，先根据切线的性质得OD⊥AC，OE⊥BC，再判断四边形ODCE为正方形得到OD=CD=AC﹣AD=4﹣AD，接着证明Rt△AOD∽Rt△ABC，然后利用相似比计算AD 的长．
解答：解：连结OD、OE，如图，
∵以点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
而∠ACB=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴OD=CD=AC﹣AD=4﹣AD，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
∴=，即=，
∴AD=1.6．
故选B．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则∠2等于（）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 65°
考点：平行线的性质；余角和补角．
专题：计算题．
分析：根据平行线的性质，可得∠2=∠3，又根据互为余角的定义，可得∠1+∠3=90°，解答出即可．
解答：解：如图，∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°，
又∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠3，
∴∠2=55°．
故选C．
点评：本题主要考查了平行线的性质和余角，熟练掌握两直线平行，同位角相等．
7．10名同学分成A、B两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如表：
设A、B两队队员身高的平均数分别为，，身高的方差分别为S2A，S2B，则下列关系中完全正确的是（）
＞S2B B．，S2A＜S2B
A．=，S2
＞S2B D．，S2A＜S2B
C．，S2
考点：方差；算术平均数．
分析：要计算方差，必须先算平均数，然后根据方差公式计算即可．
解答：解：∵=（177+176+175+172+175）=175（cm），
=（170+175+173+174+183）=175（cm）．
S a2=[（177﹣175）2+（176﹣175）2+（175﹣175）2+（172﹣175）2+（175﹣175）2]=2.8；S b2=[（170﹣175）2+（175﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（183﹣175）2]=18；∴，S2A＜S2B．
故选B．
点评：此题考查了方差的计算，要明确算方差必须先算平均数．
8．如图1，已知点E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，AD=8．动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程为x，点M到矩形的某一个顶点的距离为y，如果y关于x的函数图象如图2，则矩形的这个顶点是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
考点：动点问题的函数图象．
分析：由图2得出始点E到顶点的距离为3，只有顶点A，B满足，又由开始时先减小，得出只有顶点A满足．
解答：解：由图2得出始点E到顶点的距离为3，
∵AB=6，
∴只有顶点A，B满足，
又∵沿E→F→G→H→E匀速运动开始时先减小，
∴只有顶点A满足，
故选：A．
点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是从点E到顶点的距离是3及开始时先减小得出结论．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分19分）
9．函数y=中，自变量x的取值范围是x≥1 ．
考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，解不等式即可．
解答：解：根据二次根式的意义，有x﹣1≥0，
解可x≥1，
故自变量x的取值范围是x≥1．
点评：本题考查了二次根式的意义，只需保证被开方数大于等于0即可．
10．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为25°．
考点：圆周角定理；垂径定理．
专题：数形结合．
分析：本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．
解答：解：由垂径定理，得：=；
∴∠CDB=∠AOC=25°；
故应填25°．
点评：此题综合考查垂径定理和圆周角的求法及性质．
11．分解因式：xy2﹣9x= x（y+3）（y﹣3）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：xy2﹣9x=x（y2﹣9）=x（y﹣3）（y+3）．
故答案为：x（y﹣3）（y+3）．
点评：本题考查对多项式的分解能力，一般先考虑提公因式，再考虑利用公式分解因式，要注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
12．对于非零的两个实数a、b，规定aAb=﹣，若2A（2x﹣1）=1，则x的值为．
考点：解分式方程．
专题：新定义．
分析：利用题中的新定义化简已知等式，得到分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值．
解答：解：根据题中的新定义得：2A（2x﹣1）=﹣=1，
去分母得：2﹣2x+1=4x﹣2，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解，
故答案为：．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
13．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是16cm2．
考点：二次函数的最值；三角形的面积．
专题：计算题．
分析：设经过t时间s运动停止，列出面积与t之间的函数关系式，根据二次函数的最值求解．
解答：解：根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP=2t，AQ=t，
S△APQ=t2，
∵0＜t≤4，
∴三角形APQ的最大面积是16cm2．
故答案为：16cm2．
点评：本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题，难度较大，关键列出面积与t之间的函数关系式，根据二次函数的最值求解．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△AOB连续作旋转变化，依次得到三角形①、②、③、④、…，则第⑦个三角形的直角顶点的坐标是（24，0）；
第17个三角形的直角顶点的坐标是．
考点：规律型：点的坐标；坐标与图形变化-旋转．
分析：先利用勾股定理计算出AB，然后根据旋转的性质观察△OAB连续作旋转变换，得到△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，于是判断三角形⑦和三角形①的状态一样，然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到三角形⑦的直角顶点的坐标，同理可得出第17个三角形的直角顶点的坐标．
解答：解：∵点B（﹣3，0），A（0，4），
∴OB=3，OA=4，
∴AB==5，
∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，
∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，
而7=3×2+1，
∴第⑦个三角形和第①个三角形的状态一样，则三角形⑦与三角形⑥的直角顶点相同，
∴三角形⑦的直角顶点的横坐标为2×12=24，纵坐标为0；
由题意可得：第17个三角形与第2个三角形状态相同，第15个三角形在x轴上右侧点的坐标为：（60，0），
∵AD×BC=AB×AC，
∴5AD=12，
解得：AD=，
∴BD===，
∴A点的横坐标为：60+4+，
∴第17个直角三角形顶点坐标为：（67，）．
故答案为：（24，0），（67，）．
点评：本题考查了图形旋转后的坐标问题：先要理解所旋转图形的性质，然后根据旋转的性质理解每次旋转后图形各个点的坐标变化，从中找出变化的规律，再根据规律确定某种状态下的位置及坐标．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分）
15．（1）计算：﹣3sin60°+（π﹣1）0﹣2﹣1
（2）解不等式组：．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用负指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答：解：（1）原式=2﹣3×+1﹣=+；
（2），
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（1）如图甲，AD丄BC于点D，BE丄AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF=AC．求证：DF=DC．
（2）如图乙，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（﹣4，一2）和B（a，4）
①求反比例函数的解析式和点B的坐标；
②根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
考点：全等三角形的判定与性质；反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）根据角平分线的性质就可以得出CE=CF，再由HL证明△CEB≌△CFD就可以得出结论．
（2）①设反比例函数解析式为y=，把点A的坐标代入解析式，利用待定系数法求反比例
函数解析式即可，把点B的坐标代入反比例函数解析式进行计算求出a的值，从而得到点B 的坐标；②写出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．
解答：解（1）证明：AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=BEC=90°，
在△BDF与△ADC中，，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=DC；
（2）①设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
∵反比例函数图象经过点A（﹣4，﹣2），
∴﹣2=，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵B（a，4）在y=的图象上，
∴4=，
∴a=2，
∴点B的坐标为B（2，4）；
②根据图象得，当x＞2或﹣4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．
点评：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明△CEB≌△CFD是关键反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的关键．
17．（1）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
（2）如图，已知▱ABCD，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF
①求证：四边形AECF是平行四边形；
②当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE：AB的值．
考点：平行四边形的判定与性质；根的判别式；菱形的性质．
分析：（1）首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根，
（2）①连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，然后求出OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
②根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥EF，从而得到AC⊥BD，所以▱ABCD需要满足是菱形，即邻边相等，然后由锐角三角函数求得．
解答：解：（1）由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．
当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．
所以原方程的根为x1=x2=2；
（2）①证明：如图，连接AC交BD于点O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB﹣BE=OD﹣DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
②当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，
AC垂直平分EF，
∴▱ABCD是菱形，
∴AB=BC，
设AE交BC于H，
∴AH=AB，EH=AB，
∴AE=AH﹣EH=AB，
∴AE：AB=．
点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：菱形的判定，平行四边形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，作出辅助线是解题的关键．
18．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生读书情况，随机
个样本数据的众数是 3 ，中位数是 2 ．
②根据样本数据，估计该校九年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数；
③学校广播站的小记者对被调查的50名学生中读书册数最少和最多的人进行随即采，请利用树状图或列表，求被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率．
考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；中位数；众数．
分析：①由题意可得这50个样本数据的众数是3；中位数是2；
②由在九年级50名学生中，读书多于2册的学生为20名，即可利用样本来估计总体；
③首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的请款，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：①这50个样本数据的众数是3；中位数是2；
故答案为：3，2；
②∵在九年级50名学生中，读书多于2册的学生为20名，
∴该校九年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数为：300×=120（名）；
③读书册数最少的人用A表示，最多的人分别用B，C，D表示，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的有6种情况，
∴被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率为：=．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及用样本估计总体的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．如图，已知BC为⊙O的直径，EC是⊙O的切线，C是切点，EP交⊙O于点A，D，交CB 延长线于点P．连接CD，CA，AB．
（1）求证：∠ECD=∠EAC；
（2）若PB=OB=2，CD=3，求PA的长．
考点：切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
分析：（1）如图1，连接OD．利用弦切角定理和圆周角定理可以证得结论；
（2）如图2，连接BD，过点D作DF⊥BC于点F．通过相似三角形△PAB∽△PCD的对应边成比例知．把相关线段的长度代入可以得到：．
解答：（1）证明：如图1，连接OD．
∵EC是⊙O的切线，CD是⊙O的弦，
∴∠E CD=∠COD（弦切角的度数等于它所夹的弧对的圆心角的度数的一半）．
又∵∠DAC=∠COD（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ECD=∠DAC，即∠ECD=∠EAC；
（2）解：如图2，连接BD，过点D作DF⊥BC于点F．
∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB=90°．
∴在Rt△CDB中，，．
在Rt△CDF中，．
∴．
在Rt△DFP中，．
∵∠PAB=∠PCD，∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCD．
∴．
∴．
∴．
点评：本题考查了切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．解题过程中，利用了弦切角定理和圆内接四边形的性质．注意，圆的知识的综合运用．
20．【探究】如图1，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF．则DE，DF的数量关系为DE=DF ．
【拓展】如图2，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC．过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF．求证：DE=DF；
【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
分析：探究：依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
拓展：连接CD，可证得CD是角ACD的平分线，根据△CMF≌△CME可求得CF=CE，从而求得AF=BE，然后再证得△CFD≌△CED即可求得．
推广：作△ABM的中位线DG、DF，可得DH=FG，DG=HE，四边形DHMG是平行四边形，根据已知和平行四边形求得∠DGF=∠DHE，求得△DHE≌△FGD，从而求得结论．
解答：解：【探究】DE=DF．
【拓展】如图2，连接CD．
∵在△A B C中，C B=C A，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MAB=∠MBA，
∴AM=BM．
∵点 D是边 AB的中点，
∴点M在CD上，
∴CM平分∠FCE．
∴∠FCD=∠ECD．
∵ME⊥BC于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME．
在△CMF和△CME中，
∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴CF=CE．
在△CFD与△CED中
∴△CFD≌△CED（SAS）．
∴DE=DF，
【推广】DE=DF．
如图3，作AM的中点G，BM的中点H．∵点 D是边 AB的中点，
∴．
同理可得：．
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点，
∴在Rt△BEM中，．
∴DG=HE，
同理可得：DH=FG．
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四边形DHMG是平行四边形．
∴∠DGM=∠DHM．
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，
又∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE．
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE．
∴∠DGF=∠DHE，
在△DHE与△FGD中，
∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF．
点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．
21．如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、
C和点A（﹣1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD 是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）分别令解析式y=﹣x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c 的值，进而求得解析式；
（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（4）设出E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△
+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
BCD
解答：解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即点B（4，0），C（0，2）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入解析式得，
，
解得：，
即该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；
（3）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
如图1所示，作CE⊥对称轴于E，
∴EP1=ED=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（4）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
∵直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。