学案7：2.1.1 合情推理

2.1.1 合情推理
学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理(重点、难点)．
2.了解合情推理在数学发现中的作用(重点).
知识提炼
1．归纳推理和类比推理
温馨提示根据部分对象归纳得出的结论不一定正确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一步判断．
2．合情推理
(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
(2)合情推理的过程：
从具体问题出发→
观察、分析
比较、联想
→归纳、类比→提出猜想
温馨提示合情推理得出的结论不一定是唯一的，
侧重点不同，结论也会不同．
思考尝试
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()
(2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．()
(3)归纳推理是由个别得到一般的推理．()
(4)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．()
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A. B. C.
D.
3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高
2，可推知扇形面积等于
( )
A.r 22
B.l 22
C.lr
2 D.l ＋r 2
4．等差数列{a n }中，a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4·a 6＞a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，q ＞1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．
5．观察下列各式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为________． 核心突破
类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)观察下列等式：
⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2
＝43
×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2
＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2
＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2
＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2
＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2
＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2
＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2
＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2
＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2
＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2
＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2
＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2
＝43
×4×5； … 照此规律，
⎝⎛⎭
⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭
⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________．
(2)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n
1＋a n (n ＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通
项公式．
归纳升华
由已知数式进行归纳推理的步骤：
(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征；
(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(3)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
变式训练(1)由下列各式：
13＝12，
13＋23＝32，
13＋23＋33＝62，
13＋23＋33＋43＝102，
…
请你归纳出一般结论．
(2)已知数列{a n}，满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列{a n}的通项公式a n＝________．
类型2图形中的归纳推理
典例2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()
A．26 B．31 C．32 D．36
变式训练如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有____根；第n个图形中，火柴棒有________根．
类型3类比推理
典例3已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有
1
AD2＝
1
AB2＋
1
AC2成立．那么在四面
体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．
归纳升华
(1)在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等三个方面．在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
(2)平面图形与空间几何体的类比方向．
试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．
课堂小结
1．归纳、推理、证明题的一般解题步骤：
(1)列举出几个特殊情形，条件中已给出的此步可省略；
(2)观察、分析所给特殊情形找出其共性；
(3)归纳猜想出一个一般性的结论，此结论应包含前面的特殊情况；
(4)对猜想的结论给出证明．
2．类比推理的步骤与方法：
(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．
(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
参考答案
思考尝试
1．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√
【解析】(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般，所以，这种估计属于归纳推理．
(2)错，类比推理的结论不一定正确.
(3)对，由归纳推理的概念知说法正确．
(4)对，归纳推理得出的结论不一定正确． 2.【答案】A
【解析】观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次；②每行、每列有两个阴影一个空白，即得结果． 3．【答案】C
【解析】三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长， 所以可猜测为S ＝12rl ＝lr 2.
4．【答案】b 4＋b 8＞b 5＋b 7
【解析】将乘积与和对应，再注意下标的对应， 有b 4＋b 8＞b 5＋b 7.
5．【答案】(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4
【解析】由已知四个式子可分析规律(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4. 核心突破
类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)【答案】4
3
n (n ＋1)
【解析】根据已给出的等式归纳推理求解．
通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，4
3后面第一个数是等式左边最后
一个数括号内角度中π的系数的分子的一半，4
3后面第二个数是第一个
数的下一个自然数，所以，所求结果为4
3×n ×(n ＋1)，
即4
3
n (n ＋1)． (2)解：当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝
11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝
12
1＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝
131＋13＝14. 通过观察可得数列的前n 项都等于下标序号的倒数，因此a n ＝1
n .
变式训练 (1)解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系：
1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， …
可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2， 即
13＋23＋33＋…＋n 3＝
⎣⎡⎦
⎤n （n ＋1）22
.
(2)【答案】2n －1(n ∈N *)
【解析】由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 类型2 图形中的归纳推理 典例2 【答案】B
【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表：
所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 变式训练 【答案】16 3n ＋1
【解析】数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4，7，10，13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n 个图形中有火柴棒3n ＋1根． 类型3 类比推理
典例3 解：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD
2.
证明：如图，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF .
在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，
所以1
AE2＝
1
AB2＋
1
AF2.
又因为在Rt△ACD中，易知AF⊥CD，
所以1
AF2＝
1
AC2＋
1
AD2.
所以1
AE2＝
1
AB2＋
1
AC2＋
1
AD2，故猜想正确．
变式训练解：取空间中三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCD，即AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，
且AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则此三棱锥外接球的半径为R＝a2＋b2＋c2
2.。