汉铁高中高三年级理科数学周练试卷.docx

汉铁高中2015届高三年级理科数学周练试卷
考试时间：5月2日
一、选择题：
1.已知复数：1322
i ω=-
+,则21ωω-+= A.-1 B. 1 C.i - D.i 2.已知0>a 且1≠a ，则0log >b a 是0)1)(1(>--b a 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．设角A 、B 、C 为锐角，且sin sin sin A C B -=，cos cos cos A C B +=，则B A -等于 A ．3π-
或3π B ．3π C ．6π- D ．3
π- 4.下列说法正确的个数是
（1）若随机变量x ～N （1，4），P （x ≤0）= m ，则P （0＜x ＜2）=1﹣m ； （2）异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直;
（3）直线ˆy
bx a =+至少经过点()()()1122,,,,....,n n x y x y x y 中的一个点； （4）对任何自然数∈n N ，22
3
89n n +--都能被64整除；
A.1
B.2
C.3
D.4
5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
开始 输入x
x<8? 否
y=2x
是
2y x =
输出y
A.8π
B.12π
C.16π
D.48π
6.如图根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列216n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
*
()n N ∈中的
项，则所得y 值的最小值为 A.4
B.8
C.16
D.32
7.若向量错误！未找到引用源。

是单位向量，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的取值范围是
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

8.已知数列{}n a 是等比数列，且dx x a a ⎰
-=+2
2201520134，
则)2(2016201420122014a a a a ++的值为
A. 24π
B.π2
C.π
D. 2π 9.函数1
()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点的充要条件为
A.)1,0（∈
m B.]1,0(∈m
C.]1,0[∈m
D.)0,1[-∈m
10.设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”， 已知432
113()1262
f x x mx x =
--，若对任意满足2m ≤的实数m ，函数()f x 在区间 (,)a b 上为“凸函数”，则b a -的最大值为
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：
必考题（11—14题）
11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它 10个长方形面积和的，且样本容量为180，则中间一组的频数为 ． 12．已知,a b 均为正数且2
2cos sin 6a b θθ+≤,则22cos sin a b θθ+的最大值
为 ．
13.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>中，1A 、2A 是其左、右顶点，F 是右焦点，B 是
虚轴的上端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得
12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围
是
14.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，…，按此规律一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17…，则在这个子数列中，2015是这个数列的第 项； 数列的第2015个数是
选考题（15—16题）
15.如图，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，23
a PD =，30OAP ∠=︒，则CP = ．
16．曲线C 1的参数方程为2cos 2sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin()54
π
ρθ+=．设点P ，Q 分别在曲线
C 1和C 2上运动，则|PQ|的最小值为
二、解答题：
17.在∆ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，3
3
42tan 2tan =++C B A . （1）求角C 的大小；
（2）已知∆ABC 不是．．钝角三角形，且c =32，,2sin 2)sin(sin A A B C =-+求∆ABC 的面积。

18．某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个乡镇学校支教，以下是该学校50名老师上学期在某一个乡镇学校支教的次数统计结果：
支教次数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该学校任选两名老师，用η表示这两人支教次数之和，记“函数2
()1f x x x η=-- 在区间（4，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P 1；
（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
19. 如图,在三棱锥ABC S -中,底面ABC 是正三角形,4=AB ,32==SC SA , 侧面⊥SAC 底面ABC ,E D ,分别为SB AB ,的中点.
（1）求证:SB AC ⊥；
（2）求直线SC 与平面ECD 所成角的正弦值； （3）求二面角B CD E --的余弦值.
20．已知数列}{n a 满足0>n a ,其前n 项和1>n S ,且)
2)(1(6
1
++=n n n a a S ,∈n N *. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设)11(log 2n n a b +=,并记n T 为数列}{n b 的前n 项和,求证: )2
3(log 32+>n n a T ,∈n N *.
21．如图， F 是椭圆22221(0)y x a b a b
+=>>的左焦点，椭圆的离心率为12，A 、B 为椭圆的
左顶点和上顶点，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，∆BCF 的外接圆M 恰好与直线1:330l x y ++=相切。

（1）求椭圆的方程；
（2）过点C 的直线2l 与已知椭圆交于P ，Q 两点，且4FP FQ ⋅=，求直线2l 的方程。

A
D
B
C
E S
22.已知函数x x a ax x f ln )12()(2++-=,∈a R . （1）当1=a 时,求)(x f 的单调区间和极值；
（2）若关于x 的方程x a ax x f )1(22)(2+-=恰有两个不等的实根,求实数a 的取值范围； （3）设1)(--=x e x g x ,若对于任意的),0(1+∞∈x ,∈2x R ,不等式)(1x f ≤)(2x g 恒成立,求实数a 的取值范围.
参考答案：
一、选择题： 1—10 B A D B A C A D B C 二、填空题：． 必考题（11—14题） 11． 30 12．
6 13. 10 13. 51
22
e +<<
14. 1025 3967 选考题（15—16题） 15. 9
8
a 16．
二、解答题： 17答案：（1）3
C π
=或23
C π=
；（2）23ABC S ∆=
18解：（1）函数2
()1f x x x η=--过（0，﹣1）点，在区间（4，5）上有且只有一个零点，
则必有(4)0
(5)0
f f <⎧⎨
>⎩，即：
，解得：
，∵η∈N *
，∴η=4．
当η=4时，P 1=
=
．
（2）从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值，
则ξ的可能取值分别是0，1，2，3， P （ξ=0）=
=， P （ξ=1）=
=
，
P （ξ=2）=
=， P （ξ=3）==，
从而ξ的分布列： ξ 0 1 2 3
P
ξ的数学期望：E ξ=
=
．
19（1）证明: ∵在△SAC 中,E D 、分别为SA SC 、的中点,
∴CA DE //.
又⊄DE 平面ABC ,⊂CA 平面ABC ,
∴//DE 平面ABC .
（2）证明: ∵在△SAC 中,AC SA ⊥,AC ED //,∴⊥
ED SA . ∵在△SAB 中,BA BS =,BD BA =,E 为SA 的中点,∴SA BE ⊥.
∵⊂ED 平面DEB ,⊂BE 平面DEB ,且E BE ED = ,∴⊥SA 平面DEB . 又⊂SA 平面SAB ,∴平面⊥DEB 平面SAB . （3）解: 二面角C SA B --即为二面角E SA B --,
由（2）可知,SA BD ⊥,SA BE ⊥.
故BED ∠即为所求二面角C SA B --的平面角. 在△BED 中,易知3=BE ,1=DE ,2=BD ,
由余弦定理,得333
22132cos 222=-+=⋅-+=∠DE BE BD DE BE BED .
∴二面角C SA B --的余弦值为
3
3
. 20（1）解: 由)2)(1(6
1
1111++=
=a a S a ,解得11=a 或21=a . 由题设111>=S a ,可知21=a .
A D
B
C
E
S
由)2)(1(6
1
)2)(1(611111++-++=
-=++++n n n n n n n a a a a S S a , 可得)(2
1)(6112
21n n n n a a a a +=
-++,解得31=-+n n a a . 即数列}{n a 是首项为2,公差为3的等差数列. ∴数列}{n a 的通项公式为13-=n a n . （2）证明: 由（Ⅰ）可得1
33log )11(log 22-=+
=n n
a b n n . 则)1
335623(log 221-⨯⨯⨯=+++=n n
b b b T n n .
欲证)2
3
(
log 32+>n n a T ,∈n N *, 即证明22
3log )1335623(log 2
32+>-⨯⨯⨯n n n ,∈n N *, 只需证明2
2
3)1335623(3+>
-⨯⨯⨯n n n ,∈n N *,即可.
∵
453423>>,786756>>,…,1
32
3313133++>
+>-n n n n n n , ∴1323313133786756453423)1335623(3++⨯
+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯>-⨯⨯⨯n n n n n n n n . ∴2
23)1335623(3+>
-⨯⨯⨯n n n ,∈n N *.证毕.
22（1）解:当1=a 时,函数x x x x f ln 3)(2+-=, 则x
x x x x x x f )1)(12(132)('2--=
+-=. 令0)('=x f ,得2
1
1=
x ,12=x , 当x 变化时,)(),('x f x f 的变化情况如下表:
x
)21,
0( 21 )1,2
1
( 1
)
,1(+∞
)('x f + 0
- 0
+ )(x f
↗
极大值 ↘ 极小值 ↗
∴)(x f 在)21,0(和),1(+∞上单调递增,在)1,21
(上单调递减.
当21=
x 时,2ln 4
5
)21()(--==f x f 极大值, 当1=x 时,2)1()(-==f x f 极小值.
（2）解:依题意x a ax x x a ax )1(22ln )12(22+-=++-,
即0ln 2=--x x ax . 则2
ln x x
x a +=
. 令2
ln )(x x x x r +=,则342ln 21)
(ln 2)11
()('x x x x x x x x x x r --=
+-+=. 当10<<x 时,0)('>x r ,故)(x r 单调递增（如图）, 且011
1)1
(22
<+-=+-=
e e e e e
r ；
当1>x 时,0)('<x r ,故)(x r 单调递减,且
0ln 2
>+x x
x . ∴函数)(x r 在1=x 处取得最大值1)1()(max ==r x r . 故要使2
ln x
x
x y +=
与a y =恰有两个不同的交点,只需10<<a . ∴实数a 的取值范围是)1,0(.
（3）解:由1)(--=x e x g x ,得1)('-=x e x g ,
由0)('>x g ,得0>x ；由0)('<x g ,得0<x , ∴)(x g 在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是增函数. 故0)0()(min ==g x g .
对于任意的),0(1+∞∈x ,∈2x R ,不等式)(1x f ≤)(2x g 恒成立, 则有)(1x f ≤0)0(=g 恒成立.
即不等式)(x f ≤0对于任意的),0(+∞∈x 恒成立. x
x ax x x a ax x f )
1)(12(1)12(2)('2--=
++-=, ⑴ 当0=a 时,x
x
x f -=
1)(', 由0)('>x f ,得10<<x ；由0)('<x f ,得1>x , ∴)(x f 在)1,0(上是增函数,在),1(+∞上是减函数. ∵01)1()(max <-==f x f , ∴0=a 符合题意. ⑵ 当0<a 时,x
x ax x f )
1)(12()('--=
,
由0)('>x f ,得10<<x ；由0)('<x f ,得1>x , ∴)(x f 在)1,0(上是增函数,在),1(+∞上是减函数. 由1)1()(max --==a f x f ≤0,解得1-≤0<a , ∴1-≤0<a 符合题意.
综上所述,实数a 的取值范围是]0,1[-.
1
1
x
y
O )
(x r y =a
y =。