2018届黑龙江省佳木斯重点中学高三第一次模拟考试文科数学试题及答案

高三年级第一次模拟考试数学试题(文科)
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数1z i =-,则1z z
+对应的点所在的象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若集合{}{}22|228,|20x A x Z B x R x x +=∈<≤=∈->,则R C B A （）所含的元素个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．若,a R ∈则“3a >”是“方程22(9)y a x =-表示开口向右的抛物线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条
件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合,且其渐近线的方程为340x y ±=,则该双曲线的标准方程为( )
A ．221916x y -=
B ．221169x y -=
C ．221916y x -=
D ．22
1169
y x -=
5．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为( )
A ．2
B ．5
C ．11
D ．23
6．已知等比数列{}n a ,且482,a a +=则62610(2)a a a a ++的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 7．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )
A ．0.852
B ．0.8192
C ．0.8
D ．0.75
8．已知0a >,,x y 满足约束条件()1
3
3
x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩
,若2z x y =+的最小值为1, 则a =（ ）
A ．12
B ．13
C ．1
D ．2
9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10．已知直线,m l ，平面,,αβ且,,m l αβ⊥⊂给出下列命题： ①若α∥β，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则m ∥l ； ③若m l ⊥，则
αβ
⊥；
④若m ∥l ，则αβ⊥。

其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC
，,1,AC BC AC BC PA ⊥===，
则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．5π B
C ．20π
D ．4π 12．ABC ∆的外接圆半径为
1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=
，
则OC AB ⋅
的值为（ ）
A ．15
- B ．15
C ．65
- D ．65
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，
高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那
么高
三年级应抽取的人数为 人
14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
15．如图，在
ABC
∆中，
45,B D
∠= 是
BC
边上一点，
5,7,3AD AC DC ===，则AB 的长为
16．已知函数2()43,f x x x =-+集合{}(,)|()()0M x y f x f y =+≤，集合
{}(,)|()()0N x y f x f y =-≥，则集合M N 的面积为
三、解答题（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，
5710,56.a S ==
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2
）若n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18．（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，
A
B C
D
选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，
100
,
[六组后，得到频率分布直方图（如[，)80,70[，)90,80[，]
90
70
60
)
,
图），观察图形中的信息，回答下列问题.
（1）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（2）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率. 19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，ABE
⊥，
AD平面EB
AE，G是AC中点，F为CE上的点，且ACE =BC
=
=
2
⊥．
BF平面（1）求证：BCE
⊥；
AE平面
（2）求三棱锥BGF
C-的体积．
A
E
20．（本小题满分12
分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率
为1
2
，椭圆的短轴端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)
P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）求OA OB ⋅
的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e x = （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当[0,]2
x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲
如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G .
(1)求证：△DEF ∽△EFA ；
(2)如果1FG =，求EF 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角
坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1
312
x x y y ⎧'=⎪⎪
⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）
求曲线C '的普通方程； （2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知()11f x x x =
++-,不等式()4f x <的解集为M
.
(1)求M ；
(2)当,a b M ∈时,证明:24a b ab +<+.
数学学科文科试题卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．20 14．10
15 16．
三、解答是（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤）
17（本小题满分12分）解：（1）由7447568.S a a ==⇒=公差
542,d a a =-= 1542,2;n a a d a n =-==
（2）23n n b n =+，123(23)(43)(63)(23)n n T n =++++++++
2
(22)3(13)
(242)(333)213
n n
n n n T n +⨯-=+++++++=+
- 12
33
2
n n n +-=++。

18（本小题满分12分）解：（1）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x ，则0.4+0.030x=0.5⇒x=，
∴数据的中位数为70+=
，
（2）第1组：61.060=⨯人（设为1，2，3，4，5，6） 第6组：31.060=⨯人（设为A ，B ，C ）
共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为
2
1
19（本小题满分12分）（I ）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD // ∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥，又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥ ,BC BF B = ∴BCE AE 平面⊥
（2）解： ACE BF 平面⊥，BF CE ⊥，BCE ∆ 为等腰三角形，
F ∴为CE 的中点，
G 是AC 中点 ∴FG AE //且12
1
==AE FG
AE ⊥ 平面,BCE FG ∴⊥平面BCE ，
∴BCE Rt ∆中，22
1
===CE CF BF
∴1222
1=⋅⋅
=∆CFB S
∴3
131=⋅⋅=
=∆--FG S V V CFB BCF G BFG
C 20（本小题满分12
分）（1）由题意知22222211,24
c c a b e e a a a -==∴===，
224
3
a b =。

又双曲线的焦点坐标为(0,b =，224,3a b ∴==，
∴椭圆的方程为22
143
x y +
=。

（2）若直线l 的倾斜角为0
，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-
，
当直线l 的倾斜角不为0 时，直线l 可设为4x my =+，
2222
4
(34)243603412
x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>
设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，121222
2436
,3434
m y y y y m m +=-
=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++
2116434m =-+，2
134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈- ，综上所述：范围为13[4,)4
-，
21（本小题满分12分）解：（1）'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+， 令
sin cos ),
4
y x x x π
=+=+当
'3(2,2),()0,()4
4
x k k f x f x π
π
ππ∈-
+
>单
增，
'37(2,2),()0,()44
x k k f x f x ππππ∈+
+<单减 （2）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立，
而'()(sin cos )x g x e x x k =+-，
令'()(sin cos )()(sin cos )(cos sin )2cos x x x x h x e x x h x e x x e x x e x =+⇒=++-= '[0,],()0()2x h x h x π∈≥⇒ 在[0,]2π上单调递增，21()h x e π≤≤， 当1k ≤时，'()0,()g x g x ≥在[0,]2
π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意； 当2k e π
≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2π上单调递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合； 当
21k e π<<时，'()g x 为一个单调递增的函数，而''2(0)10,()02g k g e k ππ
=-<=->， 由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得'0()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0,g x ≤从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，
综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞
22证明：（本小题满分10分） （1）
//EF BC DEF EBC DEF BAD DEF BCD BAD ⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⇒∆⎬∠=∠⎭
∽EFA ∆ （2）EFA ∆∽2EFD FE FD FA ∆⇒=⋅
又因为FG 为切线，则2FG FD FA =⋅
所以，1EF FG ==.
23、（本小题满分10分）
（1）C :3cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩ ⇒ 22:194x y C +=，
将1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ⇒32x x y y '=⎧⎨'=⎩代入C 的普通方程得221x y ''+=，即
22:1C x y '+=；
（2）设(,),P x y 00(,)A x y ， 则00
3,22x y x y +==
所以0023,2x x y y =-=，即(23,2)A x y - 代入22:1C x y '+=，得22(23)(2)1x y -+=，即2231()24
x y -+= AB 中点P 的轨迹方程为2231()24
x y -+=. 24、（本小题满分10分）
（1）解不等式：114x x ++-< 124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-，
⇒22x -<<⇒()2,2M =-.
（2）需证明：22224(2)816a ab b a b ab ++<++， 只需证明222244160a b a b --+>， 即需证明22(4)(4)0a b -->。

证明： 2222,(2,2)4,4(4)0,(4)0a b a b a b ∈-⇒<<⇒-<-< ⇒22(4)(4)0a b -->，所以原不等式成立.。