宁武县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

宁武县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）
A ．15，10，25
B ．20，15，15
C ．10，10，30
D ．10，20，20
2． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y
轴上，则的值为（
）A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，()x
F x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R 若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥A ． B ．
C ．
D
．(,
-∞(,
-∞(0,
)
+∞4． 设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f
（﹣3）的值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．0
D ．4
5． 执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（
）
A ．（11，12）
B ．（12，13）
C ．（13，14）
D ．（13，12）
6． 若x ，y 满足且z=y ﹣x 的最小值为﹣2，则k 的值为（
）
A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．﹣2
7． 设函数(
)()()21ln 31f x g x ax x =-=-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数的最大值为（
）
A ．
9
4
B ．
C.
9
2
D ．4
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
8． 若复数a 2﹣1+（a ﹣1）i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A ．±1
B ．﹣1
C ．0
D ．1
9． 若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（ ）
A ．[5，10]
B ．（5，10）
C ．[3，12]
D ．（3，12）
10．下列结论正确的是（
）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
11．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）
P （K 2＞k ）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k 0.4550.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.87910.828
A ．25%
B ．75%
C ．2.5%
D ．97.5%
12．函数y=
（x 2﹣5x+6）的单调减区间为（
）
A ．（，+∞）
B ．（3，+∞）
C ．（﹣∞，）
D ．（﹣∞，2）
二、填空题
13．设f （x ）为奇函数，且在（﹣∞，0）上递减，f （﹣2）=0，则xf （x ）＜0的解集为 ．　
14
有两个不等实根，则的取值范围是
．
()23k x =-+15．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；
②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④双曲线﹣
=1与椭圆
有相同的焦点．
16．已知、、分别是三内角的对应的三边，若，则
a b c ABC ∆A B C 、、C a A c cos sin
-=的取值范围是___________．3cos()4
A B π
-+
【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、
转化思想．
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两
()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->个零点，则正实数的值为______．
a
18．若函数y=ln （﹣2x ）为奇函数，则a= ．
三、解答题
19．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且sinB=，cos ∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；（Ⅱ）求AC 边的长．
20．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α　
21．（本小题满分12分）在中，内角的对边为，已知
ABC ∆C B A ,,c b a ,,.1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
（I ）求角的值；C
（II ）若，且的面积取值范围为，求的取值范围．2b =ABC ∆c 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
22．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为0．
（i）求实数a的值；
（ii）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=f（a n）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[a n]=2．
23．如图，在几何体SABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°．
（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；
（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．
24．已知数列{a n}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为S n，前n项乘积为T n，且a n+1=（a﹣1）S n+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2，数列{b n}满足b n=log2，
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．
宁武县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
解：每个个体被抽到的概率等于=
，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
800×
=20，600
×
=15，600×
=15，
故选B ．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．　
2． 【答案】C
【解析】解：F 1，F 2为椭圆
=1的两个焦点，可得F 1（﹣
，0），F 2（
）．a=2，b=1．
点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，PF 1⊥F 1F 2，|PF 2|=
=，由勾股定理可得：|PF 1
|=
=．
==．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．　
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数,
()x
F x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R 使得不等式
()()()()()()(],,,,0,222
x x x x
x
x
e e e e e g x h x e
g x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈Q 恒成立, 即
恒成立, ()()20g x ah x -≥2202
2
x
x
x x
e e
e e a --+--≥g
()2
222
x x x x
x x
x x
e e e e
a e e
e e -----++∴≤
=--, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等()2x x x x
e e e e
--=-+
+x x t e e -=-x x t e e -=-(]0,222
0t e e -∴<≤-式
,当且仅当,即时, 取等号,,故选
B.
2
t t +≥2
t t
=t =a ∴≤考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.
4．【答案】B
【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，
则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0），
所以，f（0）=0；
再令y=﹣x，
则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，
所以，f（﹣x）=﹣f（x），
所以，函数f（x）为奇函数．
又f（3）=4，
所以，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣4，
所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．
5．【答案】A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2，
当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3，
当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4，
当n=4时，不满足进行循环的条件，
故输出的数对为（11，12），
故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　
6．【答案】B
【解析】解：由z=y﹣x得y=x+z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，
此时最小值为﹣2，即y﹣x=﹣2，则x﹣y﹣2=0，
当y=0时，x=2，即A（2，0），
同时A也在直线kx﹣y+2=0上，代入解得k=﹣1，
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．本题主要考查的难点在于对应的区域为线段．　
7． 【答案】]【解析】
试题分析：设()()2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =在[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，中的每一个数，又()01h =，于是，实数需要满足0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得94a ≤．
考点：函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。

首先求出A ，再利用转化思想将命题条件转化为(0]A -∞⊆，，进而转化为()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，
中的每一个数，再利用数形结合思想建立不等式组：0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，从而解得9
4a ≤．
8． 【答案】B
【解析】解：因为复数a 2﹣1+（a ﹣1）i （i 为虚数单位）是纯虚数，所以a 2﹣1=0且a ﹣1≠0，解得a=﹣1．故选B ．
【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．
9． 【答案】A
【解析】解：令4a ﹣2b=x （a ﹣b ）+y （a+b ）即
解得：x=3，y=1
即4a ﹣2b=3（a ﹣b ）+（a+b ）
∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，
∴3≤3（a﹣b）≤6
∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10
故选A
【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．
10．【答案】B
【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；
B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D中选项也可能相交．
故选：B．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
11．【答案】D
【解析】解：∵k＞5、024，
而在观测值表中对应于5.024的是0.025，
∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，
故选D．
【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目．
12．【答案】B
【解析】解：令t=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）＞0，可得x＜2，或x＞3，
故函数y=（x2﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．
本题即求函数t在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．
结合二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），
故选B．
二、填空题
13．【答案】　（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）　
【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上递减，
∴f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（﹣2）=0，得f（﹣2）=﹣f（2）=0，
即f （2）=0，
由f （﹣0）=﹣f （0），得f （0）=0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得xf （x ）＜0⇔或
，
解得x ＜﹣2或x ＞2，
∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
14．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数
的图象是一个半圆，
y =
()23y k x =-
+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303
224
k -=
=+
，解得，所以实数的取值范围是.111]
()23y k x =-+2
512k =53,124⎛⎤
⎥⎝⎦考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.15．【答案】　②③　．
【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P 不一定是双曲线，这与AB 的距离有关系，所以①错误．
②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．
③方程2x 2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．
④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x 轴上，而椭圆的焦点在y 轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．
故正确的命题为②③．故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．　
16．【答案】 【
解
析
】
17．【答案】e
【解析】考查函数，其余条件均不变，则：
()()20{
x x x f x ax lnx
+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根。

ln x
a x =
令，()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x -==
当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
，1
e
如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象
只有一个交点时,则.1
a
=
e
a e=
回归原问题，则原问题中.
点睛：（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
18．【答案】　4　．
【解析】解：函数y=ln（﹣2x）为奇函数，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
ln（+2x）=﹣ln（﹣2x）．
ln（+2x）=ln（）=ln（）．
可得1+ax2﹣4x2=1，
解得a=4．
故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…
又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…
所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=…
故BC=15，
从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…
【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．
易知，x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＞0，x ∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＜0．故函数f （x ）在（0，a ）上递增，在（a ，+∞）递减．故f （x ）max =f （a ）=alna ﹣a ．
（Ⅱ）令g （x ）=f （a ﹣x ）﹣f （a+x ），即g （x ）=aln （a ﹣x ）﹣aln （a+x ）+2x ．所以
，当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0．
所以g （x ）＜g （0）=0，即f （a+x ）＞f （a ﹣x ）．（Ⅲ）依题意得：a ＜α＜β，从而a ﹣α∈（0，a ）．
由（Ⅱ）知，f （2a ﹣α）=f[a+（a ﹣α）]＞f[a ﹣（a ﹣α）]=f （α）=f （β）．又2a ﹣α＞a ，β＞a ．所以2a ﹣α＜β，即α+β＞2a ．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．　
21．【答案】
【解析】（I ）∵，1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
∴，
0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ∴，
0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ∴，0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ∴，因为，所以0cos sin 3sin sin =-C B C B sin 0B >3tan =C 又∵是三角形的内角，∴.
C 3
π
=
C
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′（x ）=﹣=
．
当a ≤0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在区间（0，+∞）内单调递增；当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，解得x ＞a ；由f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜a ．所以f （x ）的单调递增区间为（a ，+∞），单调递减区间为（0，a ）．综上述：a ≤0时，f （x ）的单调递增区间是（0，+∞）；
a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是（0，a ），单调递增区间是（a ，+∞）．（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，f （x ）无最小值，不合题意；当a ＞0时，[f （x ）]min =f （a ）=1﹣a+lna=0，
令g （x ）=1﹣x+lnx （x ＞0），则g ′（x ）=﹣1+=
，
由g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1；由g ′（x ）＜0，解得x ＞1．
所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0．
因此，a=1．
（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以a n+1=f（a n）+2=1++lna n．
由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜．
猜想当n≥3，n∈N时，2＜a n＜．
下面用数学归纳法进行证明．
①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．
②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．
则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，
由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，
所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，
h（）=1++ln＜1++1＜．
故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．
综上可得，n＞1时[a n]=2．
【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，
考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．
23．【答案】
【解析】解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，
分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵∠SDC=120°，
∴∠SDE=30°，
又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为．
则有D（0，0，0），，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）．
（1）设平面SAB的法向量为，
∵．
则有，取，
得，又，
设SC与平面SAB所成角为θ，
则，
故SC与平面SAB所成角的正弦值为．
（2）设平面SAD的法向量为，
∵，
则有，取，得．
∴，
故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】（本小题满分13分）
解：（1）当n=1时，a2=2a，则；
当2≤n≤2k﹣1时，a n+1=（a﹣1）S n+2，a n=（a﹣1）S n﹣1+2，
所以a n+1﹣a n=（a﹣1）a n，故=a，即数列{a n}是等比数列，，
∴T n=a1×a2×…×a n=2n a1+2+…+（n﹣1）=，
b n==．…
（2）令，则n≤k+，又n∈N*，故当n≤k时，，
当n≥k+1时，．…
|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|
=+（）+…+（）…
=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+b k）
=[+k]﹣[]
=，
由，得2k2﹣6k+3≤0，解得，…
又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．。