(北师大版)苏州市高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．已知直线:60l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θ
θ=+⎧⎨=+⎩
，则C 上各点到l 的距离的最小值为
（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．2+
2．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C ：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）上的动
点，则PQ 的最小值是（ ）
A ．
2
B ．
2
C D ．
2
3．已知直线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒
⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆22
8x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）
A ．
B
C ．
D 4．在方程sin {cos 2x y θ
θ
==（θ为参数）所表示的曲线上的点是 （ ）
A ．(2,7)
B ．12(,)33
C ．(1,0)
D ．11(,)22
5．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0
B ．()1,π-
C ．()1,π
D ．()1,2π
6．已知椭圆C 的参数方程为3cos 5sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），则C 的两个焦点坐标是（ ）
A ．(4,0)±
B ．(0,4)±
C ．(
D ．(0,
7．已知曲线C 的参数方程为：[]2cos ,0,1sin x y θ
θπθ=+⎧∈⎨
=+⎩
，且点(),P x y 在曲线C 上，则1
y x x
+-的取值范围是（ ）
A ．⎡⎢⎣⎦
B ．1,1⎡+⎢⎣⎦
C ．1,1⎡+⎢⎣⎦
D ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．椭圆3cos (4sin x y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数)的离心率是( )
A
B
C
D
9．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P -的直线l
的参数方程为1 2x y ⎧
=--⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数)，直线l 与抛物线2y x 交于点,A B ，则PA PB ⋅的值是( )
A
B ．2
C
．D ．10 10．圆C 的极坐标方程为ρ2cos θ=，则圆心C 极坐标为 ( )
A ．()2,0
B ．()1,π
C ．()1,0
D ．()2,π
11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为12
x t t y ⎧=+⎪
⎨⎪=⎩ （t 为参数）和
22x cos y sin θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12．若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨
=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,
61
x t y t =-⎧⎨
=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心
B ．相交但不过圆心
C ．相切
D ．相离
二、填空题
13．已知曲线C 参数方程为22cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数），直线l
方程为：
0x y -+=，将曲线C 横坐标缩短为原来的1
2
，再向左平移1个单位，得到曲线
1C ，则曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值为______.
14．若实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是__________； 15．直线1{
2x t y t =-=-（t 为参数）与曲线3{2x cos y sin θ
θ
==（θ为参数）的交点个数是_______．
16．若直线y x b =+与曲线cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
(θ
为参数，且1212,328t t t t a +==+有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_________．
17．已知椭圆C 的方程为2
212
x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上
位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________．
18．已知在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，以极点为原点，
极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l
的参数方程是112x t t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（为参数），M （0
l 与曲线C 的公共点为P ，Q ，则
11PM QM
+=_______ 19．实数x ，y 满足223412x y +=
，则2x 的最大值______． 20．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），则曲线C 的
直角坐标方程为__________
三、解答题
21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x t
y t
=-⎧⎨
=+⎩，（t 为参数），在以坐标原点
为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4C πρθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.
22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲
线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l
的参数方程为：22
42
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），两曲线相较于M ，N 两点.
（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若()2,4P --，求PM PN +的值.
23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
经过点(P -，其倾斜角为α，设曲线S 的
参数方程为1x k y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线S 的普通方程和极坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围. 24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数），将曲线
C 按伸缩变换公式12x x y y =⎧''⎪
⎨=⎪⎩
，变换得到曲线E
（1）求E 的普通方程；
（2）直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4
π
，若直线l 与曲线E 交于,A B 两点，N 为AB 的中点，求OMN 的面积. 25．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ
为参数），以直角坐标系的原点o 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：1
2cos sin 6
θθ
ρ
+=
（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：
（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.
26．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直
线l 的极坐标方程为()4R π
θρ=∈，曲线C
的参数方程为sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．
（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若8
3
MA MB ⋅=
，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -. 【详解】
将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩
化成在平面直角坐标系下的形式，
圆22:(1)(1)4C x y -+-= ，圆心C 为(1,1) ，半径2r
.
已知直线:60l x y -+=，那么，圆心C 到直线l
的距离为d r =
=> ，
故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l
的距离的最小值为2d r -=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.
2．C
解析：C 【分析】
设点,sin )Q θθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】
由曲线C
：sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，
设点,sin )Q θθ，
则点Q 到直线:40l x y +-=
的距离为
d =
=
，
当2,6
k k Z π
θπ=+∈
时，min d =
=
故选：C. 【点睛】
本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】
曲线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程
1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴
BC ==B ． 【点睛】
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
4．D
解析：D
【解析】 分析：化参数方程2x sin y cos θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.
详解：方程2x sin y cos θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数得到212,y x =-将四个点代入验证只有D
满足方程. 故选D.
点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题
5．C
解析：C 【解析】
分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）． 详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，
∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π． 故选：C ．
点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．
6．B
解析：B 【解析】
分析：将参数方程化为普通方程，判断出焦点在y 轴上，利用222c a b =-即可得结果.
详解：椭圆的参数方程为3cos (5x y sin θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数）， ∴椭圆的标准方程是22
1925
+=x y ，
∴椭圆的焦点在y 轴上，且2225,9a b ==， 22216c a b ∴=-=，4c ∴=，
∴椭圆的两个焦点坐标是()0,4±，故选B.
点睛：本题主要考查椭圆的参数方程以及椭圆的简单性质，属于中档题. 参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程.
7．C
解析：C 【解析】
分析：由题意得曲线C 是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子
111y x y x x +--=+，1
y x
-的形式可以联想成在单位圆上动点P 与点C （0，1）构成的直
线的斜率，进而求解．
详解：
∵21x cos y sin θθ=+⎧⎨
=+⎩即21x cos y sin θ
θ
-=⎧⎨
-=⎩ 22
211x y ∴-+-=（）（），
其中[12]y ∈， 由题意作出图形，11
1y x y x x
+--=+， 令11y k x
-=+
，则k 可看作圆22
211x y ∴-+-=（）（），
上的动点P 到点01C （，）的连线的斜率而相切时的斜率， 由于此时直线与圆相切，
在直角三角形ACB 中，3
30ACB k ∠=︒⇒=， 由图形知，k 的取值范围是3[0，．
则1
y x x +-的取值范围是31,1⎡+⎢⎣⎦
．
故选C ．
点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．
8．A
解析：A 【分析】
先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】
椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩
的标准方程为22
1916x y +=，所以7
所以e 7
故答案为A 【点睛】
(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对
这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222
,.c c a b e a
=-=
9．B
解析：B 【解析】
设,A B对应的参数分别为12,t t，把l
的参数方程
1
2
2
2
x
y
⎧
=--
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
代入2y x
=
中得：
2
21
22
⎛⎫
+=--
⎪
⎪
⎝⎭
，整理得：220
t-=，()
242100
∴∆=-⨯-=>
，
1212
?2,?
t t t t PA PB
+==-∴
1212
··2
t t t t
===，故选B.
10．C
解析：C
【解析】
圆222
2cos0,(1)1,
x y
ρρθ
-=-+=，圆心(1,0)，所以圆心的极坐标为（1，0）.选C. 11．D
解析：D
【解析】
在
1
2
x t
t
y
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
中，原方程化为2(22)
y x x
=≥≤-
或①
方程
2
2
x cos
y sin
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
的普通方程为224
x y
+=
将①式中的代入得0
x=，
显然不满足①式，
所以曲线C1与C2的交点个数为0．
故选D．
12．B
解析：B
【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)
-到直线320
y x
--=的距离2
d<，得到直线与圆的位置关系为相交．
【详解】
根据题意，圆的参数方程为
12
32
x cos
y sin
θ
θ
=-+
⎧
⎨
=+
⎩
（θ为参数），则圆的普通方程为22
(1)(3)4
x y
++-=，其圆心坐标为(1,3)
-，半径为2.
直线的方程为21
61
x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即
320y x --=，圆心不在直线上.
∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为2d ==
<，即直线与圆相交. 故选B. 【点睛】
本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.
二、填空题
13．【分析】根据坐标变换求出曲线的直角坐标方程后利用其参数方程设点根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得【详解】解：曲线消去参数后得到将曲线的横坐标缩短为原来的再向左平移1个单位得到曲线即设上的点
【分析】
根据坐标变换求出曲线1C 的直角坐标方程后，利用其参数方程设点，根据点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得． 【详解】
解：曲线22cos 2sin x C y θθ
=+⎧⎨
=⎩ 消去参数θ后得到22(2)4x y -+=，将曲线C 的横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线221:44C x y +=，即22
14
y x +=，
设1C 上的点(cos ,2sin )P αα，则P 点到直线0x y -+=的距离
d =
≥
=，
【点睛】
本题主要考查参数方程化成普通方程，考查图象变换，属于中档题．
14．；【分析】令可将化为根据三角函数值域可求得结果【详解】可令本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解
解析：11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
； 【分析】
令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1
sin 22
θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】
221x y += ∴可令cos x θ=，sin y θ=
1
cos sin sin 22
xy θθθ∴==
[]sin21,1θ∈- 11,22xy ⎡⎤
∴∈-⎢⎥⎣⎦
本题正确结果：11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦ 【点睛】
本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.
15．【解析】直线的普通方程：x+y=1曲线的普通方程：再消去y 得所以两个交点答案：2 解析：2
【解析】
直线的普通方程：x+y=1,曲线的普通方程：22
194x y +=，再消去y ，得
21318270x x --=，0>，所以两个交点。

答案：2
16．【解析】试题分析：曲线（为参数且）的普通方程为它是半圆单位圆在右边的部分作直线如图它过点时当它在下方与圆相切时因此所求范围是考点：两曲线的交点个数【名师点睛】在数形结合时既要进行几何直观的分析又要进
解析：(
1⎤-⎦
【解析】
试题分析：曲线cos {sin x y θθ==（θ为参数，且22
ππ
θ-≤≤）的普通方程为
221(0)x y x +=≥，它是半圆，单位圆在y 右边的部分，作直线y x b =+，如图，它过点
(0,1)A -
时，1b =-，当它在下方与圆相切时，b =
(1]b ∈-．
考点：两曲线的交点个数．
【名师点睛】在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，如本题，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．
17．【分析】连接则当面积最大时最大；设椭圆的参数方程为（为参数）那么利用点到线距离公式求解三角形的高得出的表达式并分析最值【详解】如图所示连接由椭圆的性质可知则且设椭圆的参数方程为（为参数）则点又直线的 3【分析】
连接BF ，则OBPF OBF BPF S S S ∆∆=+，当BPF S ∆面积最大时，OBPF S 最大；设椭圆的参数方程为2sin x y θθ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（θ为参数），那么(
)
2,sin 02P
πααα⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，利用点到线距
离公式求解三角形BPF 的高，得出BPF S ∆的表达式并分析最值. 【详解】
如图所示，连接BF ，由椭圆的性质可知()1,0F ，()0,1B ， 则OBPF OBF BPF S S S ∆∆=+，且11
1122
OBF S ∆=
⨯⨯=， 设椭圆22
12x y +=的参数方程为2sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），
则点(
)
2,sin 02P
πααα⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，
又直线BF 的方程为10x y +-=，则点P 到直线BF 的距离为：
()2cos sin 1
3sin 1
31
tan 22
2
2
d αααϕϕ+-+--=
=
≤
=，
所以113131
22222
BPF S BF d ∆--=
⋅⋅≤⨯⨯=
， 所以OBPF S 的最大值为3
2
OBPF OBF BPF S S S ∆∆=+=. 故答案为：
32
.
【点睛】
本题考查椭圆中的面积最值问题，难度一般，解答时要将问题灵活转化，可采用椭圆的参数方程求解.
18．【分析】求出曲线的直角坐标方程把直线的方程化为代入曲线的直角坐标方程然后利用参数的几何意义求解【详解】由曲线的极坐标方程是得即曲线的直角坐标方程为由直线的参数方程是消去参数可得直线的普通方程为化直线
解析：5
3
【分析】
求出曲线C 的直角坐标方程，把直线l 的方程化为1233x m y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，代入曲线C 的直角
坐标方程，然后利用参数m 的几何意义求解．
【详解】
由曲线C 的极坐标方程是2sin 4cos 0ρθθ+=，得22sin 4cos 0ρθρθ+=， 即曲线C 的直角坐标方程为24y x =-．
由直线l 的参数方程是()1123x t t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
为参数，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为
0y -=．
化直线l
的普通方程为参数方程12x m y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
，代入24y x =-，
得2320120m m ++=．
∴1220
3
m m +=-
，124m m =． ∴20
1153·43
QM PM PM QM PM QM ++===． 【点睛】
本题主要考查曲线的极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，以及参数方程中
t 的几何意义的应用，注意直线参数方程形式必须是标准式。

19．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
解析：【解析】
分析：根据题意，设2cos x θ=
，y θ=
，则有24cos 3sin x θθ=+，进而分
析可得()25sin x θα=+，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，即22143
x y +=，
设2cos x θ=
，y θ=，
则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 又由()15sin 1θα-≤+≤，
则525x -≤≤，
即2x 的最大值5； 故答案为5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．
20．【解析】分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系消去参数求曲线C 的直角坐标方程详解：由线的参数方程为（为参数）利用可得曲线C 的直角坐标方程为点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化在解题
解析：22
1416
x y +=.
【解析】
分析：利用同角三角函数关系式中的平方关系，消去参数求曲线C 的直角坐标方程. 详解：由线C 的参数方程为2,
4x cos y sin θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），
利用2
2
cos sin 1θθ+=可得曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=.
点睛：该题考查的是有关曲线的参数方程向普通方程的转化，在解题的过程中，对应的关键步骤就是消参，用到的知识点就是三角函数的平方关系.
三、解答题
21．（1）40x y +-=，(1)(1)2x y -+-=２２（2
）【解析】
分析：（1）消去t 得直线方程为40x y +-=，极坐标化为直角坐标可得曲线C 的直角坐标方程为：()()112x y -+-=２
２
；
（2）设曲线C
上的点为()
11P αα+，
，由点到直线距离公式可得d =
，则曲线C 上的点到直线l
的距离的最大值为 详解：（1）由31x t
y t
=-⎧⎨=+⎩，消去t 得：40x y +-=，
曲线C 的直角坐标方程为：()()112x y -+-=２
２
；
（2）设曲线C
上的点为()
11P αα+，， 则点P 到直线l
的距离为d ==
， 当1sin ４πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，max d
=
即曲线C 上的点到直线l
的距离的最大值为
点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程转化为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．（Ⅰ）24y x =；20x y --=；（Ⅱ
）. 【分析】
（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=，求得曲线C 的直角坐标方程，用代入法消去直线l 参数方程中的参数t 得到其普通方程；
（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程，得到2480t -+=，设
M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，利用韦达定理以及12PM PN t t +=+，计算即可求
得结果. 【详解】
（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=， 求得曲线C 的直角坐标方程为24y x =，
用代入法消去参数求得直线l 的普通方程20x y --=．
（Ⅱ）直线l
的参数方程为：22
42
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）， 代入24y x =
，得到2480t -+=，
设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，
则12t t +=1248t t ⋅=，
∴12PM PN t t +=+= 【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程与参数方程的应用，属于基础题型.
23．（1）S 的普通方程为：2240(04)x y x x +-=<≤；S 的极坐标方程为：
4cos 0,02πρθρθ⎛⎫
=>≤≤
⎪⎝
⎭
；（2）0,
3πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）利用点到直线的距离公式即d r ≤的应用即可求出结果. 【详解】 (1)显然参数1
4k ≥
由1x k 得1
(04)k x x
=<≤
，代入y k
=,并整理得2240(04,02)x y x x y +-=<≤≤≤，将222,cos x y x ρρθ+==代入2240x y x +-=得
24cos 0ρρθ-=，即4cos 0,02πρθρθ⎛⎫
=>≤≤
⎪⎝
⎭
, 故曲线S 的普通方程为2240(04,02)x y x x y +-=<≤≤≤， 极坐标方程为4cos 0,02πρθρθ⎛⎫
=>≤≤
⎪⎝
⎭
; （2）曲线C 的直角坐标方程化为22(2)4x y +-=，则曲线C 是以（0，2）为圆心，半径为2的圆, 当2
π
α=
时,
直线:l x =-C 没有公共点，
当2
π
α≠
时设直线的方程为(tan )y k x k α=+=，圆心（0，2
）到直线的距离为d =
=
由2d =
≤
，得0k ≤≤03π
α≤≤
即α的取值范围为0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，普通方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.
24．（1）22
1
4
x y +=（2）85 【分析】
（1）由伸缩变换公式得到变换后的参数方程，消去参数即可得到所求普通方程； （2）写出直线l 的参数方程，代入椭圆方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可知
12
2
t t MN +=
，利用韦达定理得到MN ，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】
（1）将曲线C 按照伸缩变换公式变换可得：2cos sin x y α
α=''⎧⎨=⎩（α为参数），
22
14x y ''∴+=，E ∴的普通方程为：2214
x y +=. （2）
（2）直线l 过()0,2M -，倾斜角为4π
，则其参数方程为：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参
数），
代入2
214
x y +=
得：25240t -+=，
则12,t t 为,A B 对应的参数，N 对应的参数为
122t t +
，122t t MN +∴==，
118
sin 22425
OMN S MN OM π∴=
⋅==△. 【点睛】
本题考查参数方程化普通方程、曲线的伸缩变换和直线参数方程中参数几何意义的应用等知识；关键是能够熟练应用直线参数方程，根据参数几何意义，结合韦达定理求得长度.
25．（Ⅰ）22149
x y +=，260x y +-=.（Ⅱ. 【分析】
（Ⅰ）曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程；直线l 的极坐标方程化为
2cos sin 6ρθρθ+=，利用cos ,sin x y ρθρθ==求出直线l 的直角坐标方程.
（Ⅱ）设()2cos ,3sin P ϕϕ，则P 到直线l 的距离：d =，由此能求出点
P 到直线l 距离的最大值与最小值. 【详解】
（Ⅰ）∵曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ
为参数），
∴曲线C 的普通方程为22
149
x y +=，
∵直线l 的极坐标方程是：1
2cos sin 6
θθ
ρ
+=
，
∴2cos sin 6ρθρθ+=，
∴直线l 的直角坐标方程为260x y +-=. （Ⅱ）∵点P 是曲线C 上的动点，
∴设()2cos ,3sin P ϕϕ，则P 到直线l 的距离：
d =
=
，
∴当()sin 1ϕθ+=-时，点P 到直线l 距离取最大值
max d ==；
当()sin 1ϕθ+=时，点P 到直线l 距离取最小值
min 5d == 【点睛】
本题主要考查考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及曲线上的点到直线的距离的最值的求法，还考查了运算求解能力，属于中档题.
26．（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2
212
x
y +=．（2）点
M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±
【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线
C 的直角坐标方程；
（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通
过8
||||3
MA MB =，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围． 【详解】 解：（1）
直线l 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，
∴直线l 的倾斜角为4
π
，且经过原点，
故直线的直角坐标方程为y x =
，
曲线C 的参数方程为(sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数）， ∴曲线C 的直角坐标方程为2
212
x y +=．
（2）设点0(M x ，0
)y 及过点M
的直线为0102:2
x x l y y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
， 由直线
1l 与曲线C
相交可得：2
22000032202
t x y +++-=，
8||||3
MA MB =
， 2200228332
x y +-∴=，即：220026x y +=，
∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．
取y x m =+代入22
x
得：2234220x mx m ++-=
由0∆解得33m
故点M 的轨迹是椭圆222
6x y +=夹在平行直线y x = 【点睛】
本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．。