高中数学课下能力提升六新人教A版选修11

课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 用反证法证明“否定性”命题
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①②④
2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是
( )
A ．假设三内角都不大于60°
B ．假设三内角都大于60°
C ．假设三内角至少有一个大于60°
D ．假设三内角至多有两个大于60°
5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．
6．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋y x
中至少有一个小于2. 题组3 用反证法证明“唯一性”命题
7．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )
A ．无解
B ．有两解
C ．至少有两解
D ．无解或至少有两解
8．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A ．a ，b ，c 都是奇数
B ．a ，b ，c 都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数
9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[能力提升综合练]
1．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a 不能被5整除
D ．a ，b 有1个不能被5整除
2．有以下结论：
①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )
A ．①与②的假设都错误
B ．①与②的假设都正确
C ．①的假设正确；②的假设错误
D ．①的假设错误；②的假设正确
3．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
4．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a ＞b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无穷多个
5．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
6．完成反证法证题的全过程．
题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．
证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．①
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________②
＝________③
＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．
7．设a ，b 是异面直线，在a 上任取两点A 1，A 2，在b 上任取两点B 1，B 2，试证：A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．
8．用反证法证明：对于直线l ：y ＝x ＋k ，不存在这样的非零实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝－x 对称．
答案
[学业水平达标练]
题组1 用反证法证明“否定性”命题
1．解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．
2．答案：③①②
3．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，
解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．
(2)证明：由(1)得b n ＝S n n
＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，
所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.
又p ，q ，r ∈N *，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0.
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22＝pr . (p －r )2
＝0，
所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．
所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
4．解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．
解析：假设a 、b 、c 都小于13
， 则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．
故a 、b 、c 中至少有一个不小于13. 答案：13
6．解：假设1＋x y
与1＋y x 都不小于2， 即1＋x y
≥2，1＋y x ≥2. 又∵x >0，y >0，
∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .
两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，
即x ＋y ≤2.
这与已知x ＋y >2矛盾．
所以假设不成立，
所以1＋x y 与1＋y x 中至少有一个小于2. 题组3 用反证法证明“唯一性”命题
7．解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．
8．解析：选D 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．
9．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
[能力提升综合练]
1．解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．
2．解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q >2.
故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
3．解析：选D 因为a 、b 、c 都是正数，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1c ≥6.故三个数中至少有一个不小于2. 4．解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，
即存在n 使得a n ＝b n ，
由题意a ＞b ，n ∈N *，
则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，
∴不存在n 使得a n ＝b n .
5．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．
答案：b 与c 平行或相交
6．解析：证明过程应为：假设p 为奇数，则有a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p 为偶数．
答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7
(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)
(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)
7．证明：假设A 1B 1与A 2B 2不是异面直线，则A 1B 1与A 2B 2可以确定一个平面α，点A 1，A 2，B 1，B 2都在平面α内，于是A 1A 2⊂α，B 1B 2⊂α，即a ⊂α，b ⊂α，这与已知a ，b 是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．
8．证明：假设存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
则线段AB 的中点M ⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝－x 上， 由⎩⎪⎨⎪
⎧ y ＝x ＋k ，y 2＝3x 2－1得2x 2－2kx －1－k 2＝0.
∴x 1＋x 2＝k ，可得M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2，3k 2. 这与M 在直线y ＝－x 上矛盾．
所以假设不成立，故不存在非零实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝－x 对称．。