高中数学函数图象关于点直线对称

高中数学，函数图象关于一条直线成轴对称图形，或关于一点成中心对称图形，涉及此知识点的，都是难题。

下面做2道相关的高考试题，很有难度，都是选择题里的最后一题。

先做一道高中数学课本的习题，理解知识点，再去挑战高考试题。

高一数学课本习题，拓广探索，题：
13，我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b 为奇函数。

⑴求函数f(x)=x ³-3x ²图象的对称中心；
⑵类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论。

解题：
⑴，解：13
结论。

为偶函数”的一个推广件是函数成轴对称图形的充要条轴
的图象关于写出“函数⑵类比上述推广结论，图象的对称中心；
⑴求函数为奇函数。

条件是函数成中心对称图形的充要的图象关于点函数可以将其推广为：为奇函数，有同学发现充要条件是函数中心对称图形的的图象关于坐标原点成，我们知道，函数广探索，题：
高一数学课本习题，拓)()(3)()()
,()()()(1323x f y y x f y x x x f b a x f y b a P x f y x f y x f y ==-=-+====
),,(3)(133b a x x x f 图象的对称中心为⑴设函数，解：
-=
结论。

为偶函数”的一个推广函数对称图形的充要条件是轴成轴的图象关于写出“函数⑵类比上述推广结论，图象的对称中心；
⑴求函数为奇函数。

件是函数中心对称图形的充要条成
的图象关于点推广为：函数可以将其为奇函数，有同学发现形的充要条件是函数中心对称图的图象关于坐标原点成，我们知道，函数广探索，题：
高一数学课本习题，拓)()(3)()(),()()()(1323x f y y x f y x x x f b a x f y b a P x f y x f y x f y ==-=-+====
[]成轴对称图形。

的图象关于函数②成中心对称图形。

的图象关于点函数①本题记忆点：
为偶函数。

是函数轴对称图形的充要条件成
的图象关于推广结论：函数⑵。

，即对称中心为解得，，
，且成立，可得，
上式对任意通过计算，整理，得
即，为奇函数，
则，图象的对称中心为⑴设函数，解：
a x x f y x a f x a f
b a P x f y b x a f x a f a x f y a x x f y b a b a a a x b a a x a b x a ax a b a x a x b a x a x b a x f b a x f b a x f y b a x x x f ==⇔
+=-=⇔
=++-+===--===--=-=--+-=---+++++-=-+--+--+-=-+--+=-=)()()(),()(2)()()()()2,1(2,103033,
0)3()33(,
0333,)(3)()(3)(,
)()()(),,(3)(1323232222323233
[]成轴对称图形。

的图象关于函数②成中心对称图形。

的图象关于点函数①本题记忆点：
为偶函数。

件是函数成轴对称图形的充要条关于的图象
推广结论：函数⑵。

，即对称中心为解得，，
，且成立，可得，
上式对任意通过计算，整理，得
即，为奇函数，
则，图象的对称中心为⑴设函数，解：
a x x f y x a f x a f
b a P x f y b x a f x a f a x f y a x x f y b a b a a a x b a a x a b x a ax a b a x a x b a x a x b a x f b a x f b a x f y b a x x x f ==+=-==++-+===--===--=-=--+-=---+++++-=-+--+--+-=-+--+=-=)(),()(),()(,2)()()()()2,1(2,103033,
0)3()33(,
0333,
)(3)()(3)(,
)()()(),
,(3)(13232322223232323
2021年高考数学全国甲卷，12题：
12，设函数f(x)的定义域为R ，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax ²+b.若f(0)+f(3)=6,则f(9/2)=（ ）
A ，-9/4， B,-3/2， C,7/4， D,5/2
R
x f 的定义域为，设函数题：
年高考数学全国甲卷，)(12122021
[]成轴对称图形。

的图象关于则，函数②若成中心对称图形。

的图象关于点则，函数①若本题记忆点：
为偶函数。

件是函数成轴对称图形的充要条关于的图象
推广结论：函数⑵。

，即对称中心为解得，，
，且成立，可得，
上式对任意通过计算，整理，得
即，为奇函数，
则，图象的对称中心为⑴设函数，解：
a x x f y x a f x a f
b a P x f y b x a f x a f a x f y a x x f y b a b a a a x b a a x a b x a ax a b a x a x b a x a x b a x f b a x f b a x f y b a x x x f ==+=-==++-+===--===--=-=--+-=---+++++-=-+--+--+-=-+--+=-=)(),
()(),()(,
2)()()()()2,1(2,103033,
0)3()33(,
0333,
)(3)()(3)(,
)()()(),
,(3)(13232322223232323
解：
[]25,47,23,49.._______)2
9(6)3()0()(2,1)2()1()(121220212D C B A f f f b ax x f x x f x f R x f ，，，，则，若时，当为偶函数，
为奇函数，，的定义域为，设函数题：
年高考数学全国甲卷，--==++=∈++[]25,47,23,49._______)2
9(6)3()0()(2,1)2()1()(121220212D C B A f f f b ax x f x x f x f R x f ，，，，则，若时，
为偶函数，当为奇函数，，
的定义域为，设函数题：
年高考数学全国甲卷，--==++=∈++[]25,47,23,49..______)2
9(6)3()0()(.2,1)2()1()(121220212D C B A f f f b ax x f x x f x f R x f ，，，，则，若时，
为偶函数，当为奇函数，，
的定义域为，设函数题：
年高考数学全国甲卷，--==++=∈++
2022年全国新高考Ⅰ卷，12题(多选)： 的定义域及其导函数，已知函数：
多选题年全国新高考Ⅰ卷，)()(12)(122022x f x f '。

，选所以，，联合解得，，图象的对称轴，为函数则为偶函数，
，
，图象的对称中心，为函数则点为奇函数，
，解：
D f f f f f f f b a f f b a f f b a f f x f x f x f x x f f f f x f x f x f x f 2
5)29(,2
52)23(2)23()25(),2
5()21(),21()29(.
2,26)3()0(,
0)1()3(),
4()2()0()2()2()(2)2(0)1(),1()1()1()1()()0,1()1(122=-=+⨯-==-=--==-==+=+==+-=-=+=-=+=-=+-=-+).2()1(.)4()1(.0)21(.0)0(..__________)2()22
3().
()()()(12)(122022g g D f f C g B f A x g x f x f x g R x f x f =-=-=-=+-'='，，，均为偶函数，则，若，记的定义域均为及其导函数，已知函数：
多选题年全国新高考Ⅰ卷，).2()1(.)4()1(.0)21(.0)0(.._________)2()22
3()..()()()(12)(122022g g D f f C g B f A x g x f x f x g R x f x f =-=-=-=+-'='，，，均为偶函数，则，若记，
的定义域均为及其导函数，已知函数：
多选题年全国新高考Ⅰ卷，
12题，解法参考：
，解：12。

故选：时，当对称。

的图象关于函数为偶函数，，所以对称的特点。

的图象关于符合函数反数。

所对应的导数值互为相两边等距离处，函数在此式意义为：
即，，的数值不确定。

是任意常数，也满足题目要求，由于为偶函数，所以，令对称。

的图象关于，函数即，为偶函数，，解法一：
BC g g g g g g g g g g g x g x g x g x g x g x g x x g x g x g x g g g g x x f x f x x g x g x f x f f c x h x g x f x h x h c x f c x f c x f x h f f f f x x f x f x f x f x f x f ).
2()1(0)2(),
2()1()3()0()4()1(,0)2
3()21()
1()2()2()1()3()(2)(),2()2()2(,0)2
3()23()23(2
3)()(2
3),2
3()23()23()23()0()(),()()()22
3()22
3()223(,
)()(),4()2
523()2523()1(2
3)()23()23()22
3()223()223(12≠-≠-===-=-=-==---=+=-=+-=--==-=++==-==+=--'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='='-++=+-+==+=-=-=+=-+=--。

故选：时，当对称。

的图象关于函数为偶函数，，所以对称的特点。

的图象关于符合函数反数。

所对应的导数值互为相两边等距离处，函数在此式意义为：
即，，的数值不确定。

是任意常数，也满足题目要求，由于为偶函数，所以，令对称。

的图象关于，函数即，为偶函数，，解法一：
BC g g g g g g g g g g g x g x g x g x g x g x g x x g x g x g x g g g g x x f x f x x g x g x f x f f c x h x g x f x h x h c x f c x f c x f x h f f f f x x f x f x f x f x f x f ).
2()1(0)2(),
2()1()3()0()4()1(,0)2
3()21()
1()2()2()1()3()(2)(),2()2()2(,0)2
3()23()23(2
3)()(2
3),2
3()23()23()23()0()(),()()()22
3()22
3()223(,
)()(),4()2
523()2523()1(2
3)()23()23()22
3()223()223(12≠-≠-===-=-=-==---=+=-=+-=--==-=++==-==
+=--'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='='-++=+-+==+=-=-=+=-+=--
13，解法二：
，解法二：12。

故选：，
，，，，不一定为所以，为偶函数。

为偶函数。

构造三角函数，为对称轴，为对称中心，，点假设必为周期函数。

函数，又是轴对称图形，
的图象是中心对称图形函数对称，的图象关于，函数，为偶函数，成中心对称图形。

的图象关于点函数为奇函数。

为偶函数，则形，对称中心函数一定是中心对称图导函数为偶函数话，原图象的对称中心。

为函数点的常数。

为不等于，，如数，
，原函数不一定为奇函但，导函数为偶函数话数，如奇函数的导函数为偶函数，如偶函数的导函数为奇函，解法二：
BC g g c f f g c f x x x g c x c x x f x x g x f c x x f x c T T x f x f x x f x f x f x f x f x f c x f c x f x g c x y c c x y x y x y x y x y x y 1)2(1)1()4()1(,0)2
1cos()21(0)0(,cos )2(cos )2(,)2cos()22
3(sin )223(,cos )()(,sin )(2
3),2(2,41232)()(2
3)()23()23()22
3()223()223(),2()()2()2(),0(c ),0(02c ,
2,.
sin ,cos 1232323=-=-==-=-=-==+=++-=+-=-=='+====-
=+=-+=---+++=='+=='=-='=πππππππππππ。

故选：，
，，；；，不一定为所以，符合题意。

为偶函数。

所构造函数为偶函数。

，构造三角函数，为对称轴，为对称中心，，点，假设必为周期函数。

函数，又是轴对称图形，
的图象是中心对称图形函数对称，的图象关于，函数，为偶函数，成中心对称图形。

的图象关于点函数为奇函数。

为偶函数，则形，对称中心函数一定是中心对称图导函数为偶函数话，原图象的对称中心。

为函数点的常数。

为不等于，，如数，
，原函数不一定为奇函但，导函数为偶函数话数，如奇函数的导函数为偶函数，如偶函数的导函数为奇函，解法二：
BC g g c f f g c f x x x g c x c x x f x x g x f c x x f x c T T x f x f x x f x f x f x f x f x f c x f c x f x g c x y c c x y x y x y x y x y x y 1)2(1)1()4()1(0)2
1cos()21(0)0(,cos )2(cos )2(,)2cos()22
3(sin )223(,cos )()(sin )(2
3),2(241232)()(2
3)()23()23()22
3()223()223(),2()()2()2(),0(c ),0(02c ,
2,.
sin ,cos 1232323=-=-==-=-=-==+=++-=+-=-=='+====-
=+=-+=---+++=='+=='=-='=πππππππππππ
四， 。

故选：，
，，；；，不一定为所以，所构造函数符合题意。

为偶函数。

为偶函数。

，构造三角函数，为对称轴，为对称中心，，点，假设必为周期函数。

函数，又是轴对称图形，
的图象是中心对称图形函数对称。

的图象关于，函数，为偶函数，成中心对称图形。

的图象关于点函数为奇函数。

为偶函数，则图形，对称中心原函数一定是中心对称导函数为偶函数话，
图象的对称中心。

为函数点的常数。

为不等于，，如数，
，原函数不一定为奇函但，导函数为偶函数话数，如奇函数的导函数为偶函数，如偶函数的导函数为奇函，解法二：
BC g g c f f g c f x x x g c x c x x f x x g x f c x x f x c T T x f x f x x f x f x f x f x f x f c x f c x f x g c x y c c x y x y x y x y x y x y 1)2(1)1()4()1(0)2
1cos()21(0)0(,cos )2(cos )2(,)2cos()22
3(sin )223(,cos )()(sin )(2
3),2(241232)()(2
3)()23()23()22
3()223()223(),2()()2()2()
,0(c ),0(02c ,
2,.
sin ,cos 1232323=-=-==-=-=-==+=++-=+-=-=='+====-=+=-+=---+++=='+=='=-='=πππππππππππ
12，已知函数f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上单调递减，判断f(x)在(-∞,0)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断。

9，⑴已知奇函数f(x)在[a,b]上单调递减，那么它在[-b,-a]上单调递增还是单调递减？
⑵已知偶函数g(x)在[a,b]上单调递减，那么它在[-b,-a]上单调递增还是单调递减？。