江苏省泰州市2021-2022学年九年级下学期第一阶段考试数学试题(一模)含答案

…………外○…………装………订…………○学校:___________姓名：_______考号：__________…内…………○………○…………订…………○……………………○…江苏省泰州市2021-2022学年九年级下学期第一阶段考试数学试题（一模）
一、单选题 1．﹣7的倒数是（ ） A ．17
B ．7
C ．-17
D ．﹣7
2．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市．下面的图形是各届冬奥会会徽中的部分图案，其中是．轴对称图形，但不是．．
中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
3．下列事件：①在体育中考中小明考了满分；①抛掷两枚正方体骰子的点数和大于1；①经过有交通信号灯的路口遇到红灯；①四边形的外角和为180度．其中属于随机事件的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．一个正方体削去一角后的立体图形如图所示，其主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。

金字塔的影长，推算出金字塔的高度。

这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A ．图形的平移
B ．图形的旋转
C ．图形的轴对称
D ．图形的相似
○
…
…
…
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
※
※
请
※
※
不
※
…
…
…
○
…
…
…
…
E分别是AB、AC的中点，CD与BE交于O，连接AO，则AO的长度为（）
A B C D
二、填空题
7．2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9
亿元用科学记数法表示为________元．
8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
9．已知一组数据a、3、1、10的平均数为5，则中位数是_________．
10．设a，b分别是方程220220
x x
+-=的两个实数根，则22
a a b
++的值是______．
11．若一个扇形的圆心角为60︒，面积为2
6
cm
π
，则这个扇形的弧长为__________ cm（结
果保留π）
12．若二次函数y=-x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m+4，0），该函数图像向下平
移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是________．
13．如图，点A的坐标为（6，0），△ABO是等腰三角形，OB=AB=5，点B在第一象限，
若反比例函数
k
y
x
=的图象经过点B，则k的值是______．
14．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA
∠+∠＝_____°（点A，B，P是网格线
交点）.
…………○…………线…………○…学校:_______…………装…………○………………○…………装…………则AD +BC 的值为_______．
16．在①ABC 中，①A ，①C 是锐角，若AB =2，且tan①C =2tan①A ，则①ABC 面积的最大值是_____． 三、解答题 17．（1）计算：4sin45°+（3-π）0 （2）解方程：
2x x +=2
1
x -+1； 18．先化简，再求值．
2121212
x x x x x x +÷---++，其中2320x x -+=． 19．已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球． (1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
(2)若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为2
7
，求袋中有几个红球被换成了黄球．
20．泰州教育推出的“泰微课”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“泰微课”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示A 等级的扇形圆心角为 °； (2)补全条形统计图；
(3)学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行“泰微课”平台使用的培训，若该校有4000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
○…………外○…………装…………○…………线…………※※请※※不※※要※※在※※※※ …
………
……
…
…○
…
…21．如图，已知①ABC 和①CDE 都为等腰三角形，且B 、C 、E 三点共线，①A =①D ，AB =AC =DC =DE ；
(1)试用无刻度的直尺找出CD 的中点F ； (2)证明你的作图．
22．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB 可以绕O 点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E 与显示屏顶端A 在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P 的的视线EP 与水平
线EA 的夹角①AEP ）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A 与底座C 的连线AC
与水平线CD 垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得①BCD ＝30°，①APE ＝
90°，液晶显示屏的宽AB 为32cm ．
（1）求眼睛E 与显示屏顶端A 的水平距离AE ；（结果精确到1cm ）
（2）求显示屏顶端A 与底座C 的距离AC ．（结果精确到1cm ）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3≈1.4）
23．如图，∠ABC ＝45°，其中P 、Q 分别是射线BA 、BC 上的点，BP ＝
…装…………○………○…………____姓名：___________班__________
…订…………○…………线………○…………内………（1）给出条件①PQ ＝4；①∠BPQ ＝105°；①PQ ＝6．能使BQ 的长唯一确定的条件是 ；
（2）在题（1）中选一个使BQ 的长唯一确定的条件，求出此时BQ 的长度． 24．某片果园有果树100棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y （千克），增种．．
果树x （棵），它们之间的函数关系如图所示．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若果园想收获的总产量为7650千，则需要增种果树多少棵？
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w （千克）最大？最大产量是多少？
25．如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F ，连接BE 、DF ，设EDF α∠=，EBF β∠=，
BG
k BC
=．
(1)求证：AE BF =；
(2)若tan 2tan βα=，试求k 的值； (3)若k =
tan tan βα+的值． 26．如图，已知抛物线2y x mx n =-++和直线y x =，抛物线顶点为A ，与y 轴交点为B ，直线y x =与抛物线对称轴交于点C ．
装…………○…………订…………○…………线…………○……※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……线
………
…
○………
（1）抛物线顶点坐标为 （用m ，n 表示），
（2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，求n 的最大值．
（3）若四边形ABOC 为平行四边形
①求m 的值．
①若直线y x =与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D ，当BOD 为直角三角形时，求n 的值．
①过C 点作线段CE AC ⊥，设CE=a ，是否存在实数a 值使ACE 的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a 和n 的关系式，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
此题根据倒数的含义解答，乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）．【详解】
解：﹣7的倒数为：1÷（﹣7）＝﹣1
7
．
故选C．
【点睛】
此题考查的知识点是倒数．解答此题的关键是要知道乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）．
2．C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】
A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符题意
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符题意
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符题意
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】
①在体育中考中小明考了满分，是随机事件；
①抛掷两枚正方体骰子的点数和大于1，是必然事件，
①经过有交通信号灯的路口遇到红灯，是随机事件，
①四边形的外角和为180度，是不可能事件．
则其中属于随机事件的是①①，共计2个，
故选B．
【点睛】
本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据从正面看到的图形判断即可；
【详解】
解：从正面看时，左下和右上都是个三角形，
A．选项正确，符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图：正对着我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面；在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．
5．D
【解析】
【分析】
根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】
根据题意画出如下图形：可以得到ABE CDE，则AB CD BE DE
AB即为金字塔的高度，CD即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】
本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
6．B
【解析】
【分析】
取BC的中点F，连接OF，如图，先判断O点为△ABC的重心，则A、O、F共线，AO=2OF，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AO的长．
【详解】
解：取BC的中点F，连接OF，如图，
①点D、E分别是AB、AC的中点，CD与BE交于O，
①O点为△ABC的重心，
①AF过O点，即A、O、F共线，AO=2OF，
①AF
AF
①OA=2
3
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的重心和重心的性质，勾股定理的应用，三角形三边中线相交于一点，这点叫三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
7．1.6959×1011
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：1695.9亿元=169590000000元=1.6959×1011元，
故答案为：1.6959×1011．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．3
x≥
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可．
【详解】
解：①在实数范围内有意义，
①30
x-≥．
①3
x≥．
故答案为：3
x≥．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题关键．
9．4.5##9 2
【解析】
【分析】
先由平均数计算出a的值，再求中位数即可．【详解】
解：①（a+3+1+10）÷4=5，
①a=6，
①该组数据为1、3、6、10，
中位数为：（3+6）÷2=4.5，
故答案为：4.5．
【点睛】
本题考查了平均数的计算和中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；掌握其定义是解题关键． 10．2021
【解析】
【分析】
根据题意得a 2+a -2022=0，即a 2+a=2022，利用根与系数的关系得到a+b=-1，代入整理后的代数式求值．
【详解】
解：a ，b 分别是方程x 2+x -2022=0的两个实数根，
①a+b=-1，a 2+a -2022=0，
①a 2+a=2022，
故a 2+2a+b=a 2+a+（a+b ）=2022-1=2021，
故答案为：2021．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠) 的根与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a
=． 11．3
π 【解析】
【分析】
先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得．
【详解】
设扇形的半径为rcm 则2603606
πr π= 解得1()r cm =或1()r cm =-（不符题意，舍去）
则这个扇形的弧长为
601()1803ππcm ⨯= 故答案为：
3
π． 【点睛】 本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键．
12．4
【解析】
【分析】
设交点式为y ＝﹣（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣4），在把它配成顶点式得到y ＝﹣[x ﹣（m +2）]2+4，则抛物线的顶点坐标为（m +2，4），然后利用抛物线的平移可确定n 的值．
【详解】
解：设抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣4），
①y ＝﹣[x 2﹣2（m +2）x +（m +2）2﹣4]
＝﹣[x ﹣（m +2）]2+4，
①抛物线的顶点坐标为（m +2，4），
①该函数图象向下平移4个单位长度时顶点落在x 轴上，即抛物线与x 轴有且只有一个交点， 即n ＝4，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：将求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
13．12
【解析】
【分析】
首先过点B 作BC 垂直OA 于C ，根据AO =6，△ABO 是等腰三角形，利用勾股定理求出B 点坐标，进而求出反比例函数解析式．
【详解】
解：过点B 作BC ①OA 于C ，如图：
①点A的坐标是(6，0)，
①AO=6，
①OB=AB=5，BC①OA，
①OC=3，BC，①点B的坐标是(3，4)，
把(3，4)代入反比例函数y=k
x
，
得k=12．
故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出B点坐标是解题关键．14．45
【解析】
【分析】
延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到①PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
①PD2+DB2=PB2，
①①PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
①①DPB=①PAB+①PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．12
【解析】
【分析】
作直径BF ，连接DF ，FC ．证明AD =FC ，设FC =2k ，BC =3k ，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】
解：如图，作直径BF ，连接DF ，FC ．
①BF 是直径，
①①BDF =①BCF =90°，
①BD ①DF ，
①AC ①BD ，
①DF ①AC
①DF 2AB AC =AC ，
①①CDF =①ACD ，
①AD CF =，
①AD =FC ，
①BC =2AD ，
①BC=2FC，
①可以假设FC=k，BC=2k，
①k2+（2k）2=（2，
①k=4或-4（舍弃），
①BC=8，FC=4，
①AD=FC=4，
①AD+BC=4+8=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查圆周角定理，弧、弦的关系，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16．3 2
【解析】
【分析】
如图，过B作BD①AC于D，根据三角函数定义和已知条件确定AD=2CD，设BD=h，CD=a，
则AD=2a，利用勾股定理得h2=4﹣4a2，计算a2•h2的值并配方，知道当a2=1
2
时，a2h2取最大值为1，最后根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】
解：如图，过B作BD①AC于D，
①tan①C=BD
CD
，tan①A=
BD
AD
，
①tan①C=2tan①A，①AD=2CD，
①AB=2，
①AD2+BD2=4，
设BD =h ，CD =a ，则AD =2a ，
Rt①ABD 中，h 2+4a 2=4，
①h 2=4﹣4a 2，
①a 2•h 2=a 2（4﹣4a 2）=4a 2﹣4a 4=4[a 2（1﹣a 2）]=4[14
﹣（a 2﹣12）2]， 当a 2=1
2时，a 2h 2取最大值为1，
①a 2h 2≤1，
①0＜ah ≤1， ①32ah ≤33122⨯=， ①S △ABC =11322AC BD h a ⋅=⋅⋅=32
ah ， ①①ABC 面积的最大值是32
， 故答案为：32
． 【点睛】
此题主要考查了解三角形和特殊角的三角函数值以及三角形面积求法，正确表示出AC ，
BD ，DC 的长是解题关键．
17．（1）1；（2）12x =-
【解析】
【分析】
（1）先根据特殊角锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】
解：（1）原式41=-
1=- 1=
（2）去分母得：()()()()12221x x x x x -=+++-， 解得：12
x =-， 当12x =-时，()()210x x +-≠，
①原方程的解为1
2
x=-
【点睛】
本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．
1
2
x
-
+
，
1
4
-
【解析】
【分析】
先由十字相乘法解一元二次方程；再根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简即可．【详解】
解：①2320
x x
-+=，
（x-2）（x-1）=0，
①x=2，或x=1，
①分式的分母不能为零，
①x=2，
原式=
()21
111
12222 x x x x
x x x x x
---
⨯-==-
-++++
，
x=2代入得：原式=
1
4 -；
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
19．(1)5 7
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式计算求值即可；
（2）设x个红球被换成了黄球，计算总的结果数和一白一黄的结果数，由概率公式解方程即可；
(1)
解：①一共7个球，5个红球，
①随机摸出一个球是红球的概率=5÷7=57
； (2)
解：设x 个红球被换成了黄球，
①每个球都可以跟其余的6个球组合，
①一共有7×6=42种结果，
1白球1黄球时有2x 种结果，
1黄球1白球时有x ×2种结果，
①一白一黄的概率=（2x +2x ）÷42=27
，
解得：x =3，
①有3个红球被换成了黄球．
【点睛】
本题考查了概率的计算；掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 20．(1)500，108
(2)补全条形统计图见解析
(3)估计该校需要培训的学生人数为400人
【解析】
【分析】
（1）根据条形统计图中A 项为150人，扇形统计图中A 项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360︒的30%即36030%︒⨯；
（2）根据扇形统计图中B 选项占40%，求出条形统计图中B 选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为50100%500⨯，由此估计 4000名学生所占的百分比也为
50100%500
⨯，进而求出该校需要培训的学生人数． (1) ①条形统计图中A 等级的人数为150，扇形统计图中A 等级所占比例为30%，
①本次调查的样本容量为010%53005÷=，
①扇形统计图中表示A 等级的扇形圆心角为36030%108︒⨯=︒，
故答案为：500；108；
(2)
①本次调查的样本容量为500，B等级人数占40%，①B等级人数为50040%200
⨯=（人），
故本次调查的B等级人数为200人，
补全条形统计图如下：
(3)
①本次调查的样本容量为500，D等级人数为50人，
①D等级人数所占比例为50
100%10% 500
⨯＝，
①全校4000人需要培训的学生人数400010%400
⨯=（人），
故估计该校需要培训的学生人数为400人．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AE与CD交于点F，则F为CD的中点；
（2）根据全等三角形的判定和性质求得AC①DE，再由平行四边形对角线互相平分的性质即可证明；
(1)
解：如图，连接AD，AE，AE与CD交于点F，则F为CD的中点；
(2)
证明：①△BAC=△CDE，AB=AC=DC=DE；
①①ABC①①DCE（SAS），
①①ACB=①DEC，
①AC①DE，
①AC=DE，
①四边形ACED是平行四边形，
①F是DC中点；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的性质；掌握相关性质是解题关键．
22．（1）约为53km；（2）约为34cm
【解析】
【分析】
（1）由已知得
1
16
2
AP BP AB cm
===，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A
的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF①AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
【详解】
（1）由已知得
1
16
2
AP BP AB cm ===，
在Rt△APE中，
①=AP
sin AEP
AE
∠，
①
1616
==53
180.3
AP
AE
sin AEP sin
≈≈
∠︒
，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；
（2）如图，过点B作BF①AC于点F，
①①EAB+①BAF＝90°，①EAB+①AEP＝90°，
①①BAF＝①AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cos①BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB•sin①BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，
①BF①CD，
①①CBF＝①BCD＝30°，
①==9.630=9.6 5.44
CF BF tan CBF tan
∠⨯︒≈，
①AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．23．（1）①①；（2）BQ＝
【解析】
【分析】
（1）根据确定三角形的条件判断即可；
（2）作PD①BC于D，连接PQ，构造直角三角形求解．
【详解】
（1）唯一确定三角形的条件有：已知三边，已知两边及其夹角，已知两角一边．
故只有①满足两角一边．另外，当PQ＝6时，PQ＞，BQ也能唯一确定，
故答案为：①①；
（2）如图：如在①的条件下：
作PD①BC于D，连接PQ．
①BP＝①ABC＝45°，
①①BPD＝45°，BD＝PD3．
①①BPQ＝105°，
①①DPQ＝105°﹣45°＝60°，
①DQ
＝
①BQ＝BD+DQ＝
在①的条件下：根据勾股定理得：DQ
①BQ＝BD+DQ＝
综上：BQ＝
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，以及解直角三角形，作辅助线，构造直角三角形是求解本题的关键．
24．(1)
1
80
2
y x
=-+；
(2)需要增种果树70棵；
(3)当增种30棵时，果园的总产量w（千克）最大，最大产量是8450千克；【解析】
【分析】
（1）根据直线上点的坐标，待定系数法求函数解析式即可；
（2）设增种m棵，根据总产量=单棵果树产果量×果树棵数，列方程求解即可；
（3）根据（2）列出产量代数式，再根据二次函数的性质计算最值即可；
(1)
解：设y =kx +b ，由函数图像可得：
74126628k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1280
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ①函数关系为：1802
y x =-+； (2)
解：设增种m 棵，
（100+m ）y =7650，
（100+m ）（12
-m +80）=7650， 解得：m =70或m =-10（舍去），
①需要增种果树70棵；
(3)
解：由题意得：w =（100+x ）（12
-x +80）， 化简得：w =()213084502
x --+， ①当增种30棵时，果园的总产量w （千克）最大，最大产量是8450千克；
【点睛】
本题考查了一次函数、一元二次方程、二次函数的实际应用；根据题中数量关系列出方程和表达式是解题关键．
25．(1)见解析
(2)k 的值为12
(3)tan tan βα+
【解析】
【分析】
（1）证明()ABF DAE AAS ∆≅∆，可得出AE BF =；
（2）由锐角三角函数的定义可得出
tan tan EF BF BF DE EF DE αβ==，证明AED GBA ∆∆∽，得出AE DE GB AB =，可得出结论；
（3）证明出ABG AFB ∽，得AB BF AG GB =，根据BG k AB BC BC ==，30BAG ∠=︒，设
1BG =，得出2AB AG ==，求出BF =32AF =，根据()ABF DAE AAS ∆≅∆AE BF ==，
分别求出tan 1EF BF β=
，tan 1EF ED α== (1)
解：证明：在正方形ABCD 中，AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，
DE AG ⊥，BF AG ⊥，
90AED BFA ∴∠=∠=︒，
90ADE DAE ∴∠+∠=︒，
90BAF DAE ∠+∠=︒，
ADE BAF ∴∠=∠，
()ΔΔABF DAE AAS ∴≅，
AE BF ∴=；
(2)
解：在Rt DEF △和Rt EFB △中，tan EF DE α=，tan EF BF
β=， ∴tan tan EF BF BF DE EF DE
αβ==． tan 2tan βα=， tan 1tan 2
αβ∴=， 12
BF DE ∴= 由①可知ADE BAG ∠=∠，90AED GBA ∠=∠=︒，
AED GBA ∴∆∆∽，
∴AE DE GB AB
=， 由①可知，AE BF =， ∴
BF DE GB AB =， ∴BF GB DE AB
=， BG k
BC
=，AB BC =，
∴
12BF BG BG DE AB BC ===， ∴12
k =
． (3) 解：,90BAG FAB AGB ABF ∠=∠∠=∠=︒，
ABG AFB ∴∽，
AB BF AG GB
∴=，
BG k AB BC BC ===，
tan BG BAG AB ∴∠== 30BAG ∴∠=︒，
设1BG =，
2AB AG ==，
AB BF AG GB =，
1
BF =，
BF ∴=， 32
AF ∴=， ()ΔΔABF DAE AAS ≅
AE BF ∴==
32EF AF AE ∴=-=
tan tan 1EF EBF BF
β∴∠===，
AD AB = 32
AF ED ∴==，
tan tan 1EF EDF ED α∴∠===，
tan tan 11βα∴+=+= 【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等、锐角三角形函数、勾股定理、相似三角形，解题的关键是综合运用三角形全等及相似结合来求解．
26．（1）A 2
(,)24
m m n +；（2）2；（3）①2；①2或6；①存在，26a n = 【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可；
（2）将（1）的结果代入直线21y x =+得到n 关于m 的函数，根据求二次函数的最值方法求解即可；
（3）①根据题意若四边形ABOC 为平行四边形，根据已知条件写出,,A B C 的坐标，由BO AC =即可求得m 的值；
①当BOD 为直角三角形时，分为90DBO ∠=︒,90BDO ∠=︒两种情况，由题意可知BOD 是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质即可求得n 的值；
①过C 点作线段CE AC ⊥，设点E 在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，E 点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设AE 的中点为P ，CE 的中点为Q ，,AQ CP 的交点G 即为AEC △的重心，分别求得,AQ CP 的解析式，再求直线交点坐标，将交点G 的坐标代入抛物线解析式即可求得a 和n 的关系式．
【详解】
（1）抛物线2y x mx n =-++，
1,,a b m c n =-==，
22A b m x a =-=，222
44444
A ac b n m m y n a ---===+-， 2
(,)24
m m A n ∴+， 故答案为：A 2
(,)24
m m n +； （2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，
22142
m m n +=⨯+， 2221111(44)2(2)2444
n m m m m m ∴=-++=--++=--+， 当2m =时，n 取得最大值，最大值为2，
（3）①A 2
(,)24
m m n +，点C 在y x =上，
(,)22
m m C ∴， 2y x mx n =-++与y 轴交点为B ，令0x =，则(0,)B n ，
若四边形ABOC 为平行四边形，
则BO AC =， 即242
m m n n =+-， 解得120,2m m ==，
0m =时，对称轴0x =，此时,A B 重合，故舍去，
2m ∴=，
∴22y x x n =-++，
①当BOD 为直角三角形时，分为90DBO ∠=︒,90BDO ∠=︒两种情况，
设AC 于x 轴交于点F ， (,)22m m C ， ,22
m m CF OF ∴==， 45COF OCF ∴∠=∠=︒，
45BOD ∴∠=︒，
当90DBO ∠=︒时，则BD y ⊥轴，
BD OB ∴=，
OB n =，
BD n ∴=，
(,)D n n ∴，
代入22y x x n =-++，
解得120,2n n ==，
D 在对称轴右侧部分，
2n ∴=，
当90BDO ∠=︒时，
如图，过点D 作DM y ⊥轴，垂足为M ，
45BOD ∠=︒，
45OBD ∴∠=°，
BD OD ∴=，
122
n DM OB ∴==， 122
n OM OB ∴==， (,)22
n n D ∴， 代入22y x x n =-++，
解得120,6n n ==，
D 在对称轴右侧部分，
6n ∴=，
综上所述，2n =或者6n =；
①存在，理由如下：
过C 点作线段CE AC ⊥，设点E 在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，E 点在抛物
线的右侧情况和左侧一致，设AE 的中点为P ，
CE 的中点为Q ，,AQ CP 的交点G 即为AEC △的重心，
CE a =，(1,1)C ，
∴(1,1)E a -，
22y x x n =-++，
(1,1)A n ∴+，
1111(,)22a n P +-++∴，即(1,1)22a n P -+，(1,1)2
a Q -， 设直线AQ 的解析式为y cx d =+， 则11(1)2n c d a c d +=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
， 解得221n c a n d n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
， ∴直线AQ 的解析式为221n n n a
y a x ++-=， 设直线CP 的解析式为1y kx b =+，
则1(1)221n a k b k b
⎧+=-+⎪⎨⎪=+⎩， 解得1n k a n b a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， ∴直线CP 的解析式为11n n y x a a
=-++， 12211n n y x n a a n n y x a a ⎧=++-⎪⎪∴⎨⎪=-++⎪⎩
， 解得1313a x n y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 即(1,1)33
a n G -+，
ACE 的重心恰好落在抛物线22y x x n =-++上， ∴21(1)2(1)333
n a a n +=----+， 解得26a n =．
∴a 和n 的关系式为26a n =．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，直角三角形的性质，三角形的重心，二次函数的性质，待定系数法一次函数求解析式，求两直线交点坐标，综合运用以上知识是解题的关键．。