求数列通项公式的11种方法之欧阳学创编

求数列通项公式的11种方法方
法
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、
数学归纳法（少用）
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、
特征根法
二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=
(2)n ≥，
则
21321(1)(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=++
+++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n n a n =+- 解法二：
13231
n n n a a +=+⨯+两边除以
1
3n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++，
则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，故 因此11
(13)2(1)211
3133133223n n n n n
a n n ---=++=+-
-⨯，
则21133.322
n n n a n =
⨯⨯+⨯- 练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且
*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：
12+-n n
练习
2.已知数列
}
{n a 满足
3
1=a ，
)
2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
答案：裂项求和
n a n 1
2-
= 评注：已知a a =1,
)
(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是
关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求
通项n a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列}{n a 中,0
>n
a 且
)(21n
n n a n
a S +=
,求数列}
{n a 的通项公式.
解:由已知)(21n
n n a n
a S +=
得
)(211
1---+-=
n n n n n S S n
S S S , 化简有
n
S S n n =--2
12,由类型(1)有
n
S S n ++++= 32212,
又
1
1a S =得
1
1=a ,所以
2
)1(2+=
n n S n ,又
0>n a 2)
1(2+=
n n s n ,,
则
2)1(2)1(2--+=
n n n n a n
此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法 1.适用于： 1()n n a f n a +=
----------这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若
1()n n a f n a +=，则31212
(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==⋅∏
例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故
1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)12
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3
2[(1)32]53
325
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
⋅⋅⋅
⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
所以数列{}n
a 的通项公式为(1)
1
2
325!.n n n n
a n --=⨯⨯⨯
例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且
()0
11221=+-+++n
n n n a a na a n （n =1，2，3，…），则它的通项
公式是n a =________.
解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a
0>n a (*
N n ∈)∴(n+1)0
1=-+n
n na a , 即11+=
+n n
a a n
n ∴2≥n 时，n n a a n n 1
1
-=
- ∴
1
1
2
211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =1
21
1
21⋅⋅--⋅- n n n n =n 1. 评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .
练习.已知1
,111->-+=+a n na a n
n ,求数列{an}的通项公式.
答案：=n a )1()!1(1+⋅-a n -1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
,
11-+=+n na a n n 转化为
),1(11+=++n n a n a 若令1
+=n n
a b ,则问题进一步转化为
n
n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如0
(,1≠+=+c d ca a n
n ,其中a a =1)型
（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a , 得λ
)1(1-+=+c ca a n
n ,与题设,
1d ca a n n +=+比较系数得
d
c =-λ)1(,所
以
)0(,1
≠-=
c c d
λ所以有：
)1(11-+=-+
-c d a c c d a n n
因此数列⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列，
所以
1
1)1
(1-⋅-+=-+
n n c c d
a c d a 即：
1)1(1
1--
⋅-+=-c d c c d a a n n .
规律：将递推关系
d
ca a n n +=+1化为
)1(11
-+=-++c d a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列
}1{-+
c d a n 从而求得通项公式)1(111
1-++-=-+c d a c c d a n n
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系
d
ca a n n +=+1中把n 换成n-1有
d
ca a n n +=-1,两式相减有
)
(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,
进而求得通项公式.
)
(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)
即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：121(2),n n a a n -=+≥
又{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列
12n n a ∴+=，即21n n a =-
解法二：121(2),n n a a n -=+≥
两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列
{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列，再
用累加法的……
练习．已知数列}{n a 中，
,2121,211+=
=+n n a a a 求通项
n
a 。

答案：1
)21
(1+=-n n a
2．形如：
n
n n q a p a +⋅=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n
n n q a a +=+1，累加即可.
②若1≠p 时，即：
n
n n q a p a +⋅=+1，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1
+n p .目的
是把所求数列构造成等差数列
即：
n
n n
n n q p p q a p a )
(11
1
⋅+=++,令
n n n p a b =，则
n
n n q
p p b b )
(11
⋅=-+,然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以1
+n q .
目的是把所求数列构造成等差数
列。

即： q q a q p q a n n n n 1
11
+⋅=++,
令
n
n n q
a b =
,则可化为
q b q p b n n 1
1
+⋅=+.然后转化为类型5
来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设
)
(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求
出λ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。

例7已知数列
{}
n a 满足
1112431
n n n a a a -+=+⋅=，，求数
列{}n a
的通项公式。

解法一（待定系数法）：设
11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅)
，比较系数得124,2λλ=-=，
则数列{
}
143n n
a
--⋅是首项为111435
a --⋅=-，公比为2的等
比数列，
所以
11
4352n n n a ---⋅=-⋅，即
11
4352n n n a --=⋅-⋅
解法二（两边同除以1+n q ）： 两边同时除以13n +得：
11224
3333n n n n a a ++=⋅+，下面解法略
解法三（两边同除以
1+n p ）： 两边同时除以12+n 得：
n
n n n n a a )23(342
21
1⋅+=++，下面解法略 练习.（2003天津理）
设0a 为常数，且
)(2311
N n a a n n n ∈-=--．证明对任意n ≥1，0
12)1(]2)1(3[51a a n n n n n
n ⋅-+⋅-+=-；
3．形如b
kn pa a n n ++=
+1 (其中k,b 是常数，且0≠k )
方法1：逐项相减法（阶差法） 方法2：待定系数法 通
过
凑
配
可转
化
为
)
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;
解题基本步骤： 1、确定()f n =kn+b 2、设等比数列)
(y xn a b n n ++=，公比为p 3
、
列
出
关系
式
)
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即
1
-=n n pb b
4、比较系数求x,y
5、解得数列
)
(y xn a n ++的通项公式
6、解得数列
{}n a 的通项公式
例8 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法）
解： ，,231n a a n n +=+①
∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，
两式相减得
2
)(311+-=--+n n n n a a a a .令
n
n n a a b -=+1,则
2
31+=-n n b b
利用类型
5的方法知2
351+⋅=-n n b 即
1
3511-⋅=--+n n n a a ②
再由累加法可得213251--⋅=
-n a n n . 亦可联立 ①②解
出
21
3251--⋅=
-n a n n .
例9. 在数列{}n a 中，3
62,23
11-=-=-n a a a n n ,求通项n a .
（待定系数法）
解
：
原
递
推
式
可化为
y
n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为1
2-=n n
b b
所以{}n b 是一个等比数列，首项
29
9611=
+-=n a b ,公比为21.1
)21(29-=∴n n
b
即：
n
n n a )21(996⋅=+- 故9
6)21
(9-+⋅=n a n n .
4．形如
c
n b n a pa a n n +⋅+⋅+=+21 (其中a,b,c 是
常数，且0≠a )
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

例10 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22
1(1)(1)2()n n
a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===，
所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠，得2310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18
231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以
2为公比的等比数
列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。

5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。

例11 已知数列{}n a 满足
211256,1,2
n n n a a a a a ++=-=-=，
求数列{}n a 的通项公式。

解：设
211(5)()
n n n n a a a a λλλ++++=++
比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同） 则
21123(2)
n n n n a a a a +++-=-，则{
}
12n n a a +-是首项为4，公
比为3的等比数列
1
1243n n n a a -+∴-=⋅，所以
11
4352n n n a --=⋅-⋅
练习.数列{}n
a 中，若2,82
1==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求
n
a .
答案：
n
n a 311-=.
四、迭代法 r
n n pa a =+1
(其中p,r 为常数)型 例12 已知数列{}n a 满足3(1)2115n
n n n
a a a ++==，，求数列{}n a 的
通项公式。

解：因为
3(1)21n
n n n
a a ++=，所以
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为
(1)
12
3!25
n n n n n a --⋅⋅=。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项
公式。

例13.（2005江西卷） 已知数列
:,}{且满足的各项都是正数n a N n a a a a n n n ∈-==+),4(2
1
,110
，
（1）证明12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式an. 解：（1）略（2）
],4)2([21
)4(2121+--=-=
+n n n n a a a a 所以
2
1)2()2(2--=-+n n a a
n
n n
n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)2
1()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令又b n =－1，所以
1
212)
21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即.
方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c n n b -=，则c
2
121-=
n n c ,转化为上面类型（1）来解
五、对数变换法 适用于r
n n pa a =+1
(其中p,r 为常数)型 p>0，0
>n
a
例14. 设正项数列{}n a 满足11=a ，
2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，
)1(log 21log 1
22+=+-n n a a ，设
1log 2+=n
a n
b ，则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，
11log 121=+=b 11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n ，
12log 1
2-=-n a n ，∴
1
2
1
2--=n n a
练习 数列{}n a 中，11=a ，12-=n n a a （n ≥2），求数列{}n a 的通项公式.
答案：
n
n a --=2222
例15 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。

两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++（同类型四） 比较系数得，lg3lg3lg 2
,4164
x y ==+ 由
1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164
a +
⨯++=+⨯++≠，得
lg3lg3lg 2
lg 04164
n a n +
++≠， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164
n a n +
++是以lg3lg3lg 2
lg 74164+
++为首项，以5为公比的等比数列，则
1
lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+
++=+++，因此11111111116
16
4
4
4
4
1111
15
16
164
444
541
5151164
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464
[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)lg(332)lg(73
2
)
n n n n n n n n n n a n --------=+++---
=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅
则11
54151516
4
73
2
n n n n n
a -----=⨯⨯。

六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例16 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。

解：求倒数得
11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++⎧⎫=+∴-=∴-⎨⎬⎩⎭
为等差数列，首项1
11a =，公差为1
2
，112(1),21
n n n a a n ∴
=+∴=+ 七、换元法 适用于含根式的递推关系
例17 已知数列
{}n a 满足111
(14116
n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令
n b 2
1(1)24
n n a b =- 代入
11
(1416
n n a a +=
++得 即2214(3)n n b b +=+
因为
0n b =≥， 则123n n b b +=+，即11322
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以
{3}n b -是以13332b -===为首项，以2
1为公比的等比数列，因此
12
11
32()()22
n n n b ---==，则
21()32n n b -=+21
()32n -=+，得
2111()()3423
n n n a =++。

八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n
项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。

例18 已知数列{}n a 满足11
228(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由122
8(1)
(21)(23)n n n a a n n ++=+
++及18
9
a =，得
由此可猜测22
(21)1
(21)
n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212(211)18
(211)9
a ⨯+-==⨯+，所以等式成立。

（2）假设当n k =时等式成立，即
22
(21)1
(21)
k k a k +-=+，则当1n k =+时，
由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*n N ∈都成立。

九、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有n S ，又有n a
分析：把已知关系通过11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n
S 的递推关系，然后采用相应的方法求解。

例19 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足
1
(1)(2)6
n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通
项公式。

解：∵对任意n N +∈有1
(1)(2)6
n n n S a a =++⑴ ∴当n=1时，11111
(1)(2)6
S a a a ==
++，解得11a =或12a =
当n ≥2时，1
111
(1)(2)6
n n n S a a ---=++⑵ ⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=
当11a =时，32n a n =-，此时2
429a a a =成立
当12a =时，31n a n =-，此时2429a a a =不成立，故12a =舍去
所以32n a n =-
练习。

已知数列}{n a 中,0>n a 且2)1(2
1
+=
n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.
答案：n n n
a S S =--12
12
)1()1(+=--n n a a 12-=n a n
2、对无穷递推数列 例20 已知数列{}n a 满足
11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==+++
+-≥，，求{}n a 的通项公
式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥
所以1
3
22212
2
![(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
⋅⋅⋅
⋅=-⋅⋅⨯=
③
由123123(1)(2)
n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则
21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅
⋅=。

所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数
()
f x 的定义域为D ，若存在
0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。

分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，在变形求解。

类型一：形如1 n n a qa d +=+
例21 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+，由()f x x
=得，不动点为-1
∴112(1)n n a a ++=+，…… 类型二：形如1n n n a a b
a c a d
+⋅+=
⋅+
分析：递归函数为()a x b
f x c x d
⋅+=
⋅+
（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分
别减去不动点p,q ，再将两式相除得11n n n n a p a p
k a q a q
++--=⋅--，其中a pc
k a qc -=-，∴111111()()()()
n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=
---
（2）若有两个相同的不动点p ，则将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得
111
n n k
a p a p
+=+--，其中
2c k a d
=
+。

例22. 设数列{}n a 满足7
24
5,211++==+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：
,7
2524
7)52(727)52(72451
++++
+=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a
令5
24
7++=t t t , 解之得t=1,-2 代入72)52(1+++=++n n n a t a t t a 得
721311
+-=-+n n n a a a ,7
22
921++=++n n n a a a ,
相除得2
1
312111+-⋅=+-++n n n n a a a a ,即{
21+-n n a a }是首项为4
1
2111=+-a a ， 公比为31
的等比数列,21+-n
n a a =n -⋅1341, 解得1342341
1-⋅+⋅=--n n n a . 方法2：,
7
21
3
11+-=-+n n n a a a ，
两
边取倒数得
1
3
32)1(39)1(2)1(3721
11-+=-+-=-+=
-+n n n n n n a a a a a a ，
令b 1
1
-=
n n a ，则b =
n n b 33
2
+,, 转化为累加法来求. 例23 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令2124
41x x x -=
+，得2420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的两个不动点。

因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)927
93341
n n n n n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。

所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨
⎬
-⎩⎭
是以112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故1
2132()39n n n a a --=-，则113132()1
9
n n a -=+-。

练习1：已知{}n a 满足1112
2,(2)21
n n n a a a n a --+==
≥+，求{}n a 的通项n a
答案：3(1)3(1)n n
n n
n
a --∴=+-
练习2。

已知数列{}n a 满足*1121
2,()46
n n n a a a n N a +-==
∈+，求数列{}n a 的通项n a
答案：135106
n n
a n -∴=
-
练习3.（2009陕西卷文）
已知数列{}n a 满足， *1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝
＝.
()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；
(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

答案：（1）{}n b 是以1为首项，12
-为公比的等比数列。

（2）1*
521()()332
n n
a n N -=--∈。

十一：特征方程法 形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 （已知 a1;a2)
形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程
为2
x px q =+…①
若①有二异根,αβ，则可令12
12(,n n
n a c c c c αβ=+是待定常数）
若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n
n a c nc c c α=+是待定
常数）
再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a
例24 已知数列
{}
n a 满足
*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通
项n a
解：其特征方程为
232
x x =-，解得
121,2
x x ==，令
1212n n n a c c =⋅+⋅，
由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得1
21
12
c c =⎧⎪
⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+
例25已知数列
{}
n a 满
足
*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a
解：其特征方程为
2441
x x =-，解得
1212
x x ==
，令
()1212n
n a c nc ⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
，
由1122121()121(2)24
a c c a c c ⎧
=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 132
2
n n n a --∴=
练习1．已知数列
{}
n a 满
足
*12211,2,441()n n n a a a a a n N ++===--∈，求数列{}n a 的通
项
练习2．已知数列{}n a 满足
*12211,2,444()n n n a a a a a n n N ++===---∈，求数列{}n a 的通项
说明：(1)若方程2x px q =+有两不同的解s , t,
则)(11-+-=-n n n n ta a s ta a , )(11-+-=-n n n n sa a t sa a ,
由等比数列性质可得1
121)(-+-=-n n n s ta a ta a ,
1121)(-+-=-n n n t sa a sa a ,
,s t ≠ 由上两式消去1+n a 可得()()()
n
n n t t s t sa a s t s s ta a a ..1212-----=
.
(2)若方程2x px q =+有两相等的解t s =，则
()()
12121211)(ta a s ta a s ta a s ta a n n n n n n n -==-=-=-----+ ，
2
1
211s ta a s a s a n n n n -=-∴++,即⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 是等差数列， 由等差数列性质可知()2
1
21.1s sa a n s a s a n n --+=， 所以n
n s n s sa a s sa a s a a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.2
122121． 例26、数列{}n a 满足1512a =-，且2125
4
2924
n n n a a a +-
=+
求数列{}n a 的通项。

解：2
2
11252925244429292244
n n n n n n n a a a a a a a λλλλ++-
++-
+==
+=++
……① 令229254λλ-=，解得1225
1,4
λλ==，将它们代回①得，
()21112924n n n a a a +++=
+……②，2
12525429424
n
n n a a a +⎛
⎫+ ⎪⎝⎭+=+……③，
③÷②，得2
1125254411n n
n n a a a a ++⎛⎫++ ⎪
= ⎪++ ⎪
⎝⎭
,
则11252544lg 2lg 11n n n n a a a a ++++=++，∴数列254lg 1n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪
⎩⎭
成等比数
列，首项为1，公比q =2
所以
1
25
4lg
21
n n n a a -+
=+，则
1
2254101
n n n a a -+
=+，
1
1
222510
4101
n n n a ---∴=-
十二、四种基本数列
1．形如)(1n f a a n n =-+型 等差数列的广义形式，见累加法。

2.形如)(1
n f a a n
n =+型 等比数列的广义形式，见累乘法。

3.形如)(1n f a a n n =++型
（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为
)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式
相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项. 例27. 数列{n a }满足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n }的通项公式.
分析 1：构造 转化为)(1n f a a n n =-+型
解法1：令n n
n a b )1(-=
则
n
a a a a
b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(111111⋅-=+-=---=-++++++.
2
≥n 时,⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=-=⨯⋅-=--⋅-=--⋅-=-----012)1()2(2)1()1(2)1(112
121211a b b b n b b n b b n n n n n n 各式相加
:
[]
1
)1(2)1()2()1()1()1(2231⋅-+⋅-++--+--=- n n b n n n
当n 为偶数时，n n n b n =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-⋅-+-=22)1()1(2. 此时n b a n n ==
当n 为奇数时，1)2
1
(2+-=--
=n n b n
此时n n a b -=,所以1-=n a n .故 ⎩
⎨⎧-=.,,
,1为偶数为奇数n n n n a n
解法2： n
a a n
n 21=++
∴2≥n 时，)1(21-=+-n a a n n ，两式相减得：211=--+n n a a . ∴,,,,531 a a a 构成以1a ,为首项，以
2为公差的等差数列;
,,,,642 a a a 构成以2a ,为首项，以
2为公差的等差数列
∴22)1(112-=-+=-k d k a a k k d k a a k 2)1(22=-+=.
∴⎩⎨⎧-=.
,,
,1为偶数为奇数n n n n a n 评注：结果要还原成
n 的表达式.
例28.（2005江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足 S n －S n －2=3,2
3,1),3()2
1(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公
式.
解：方法一：因为),3()2
1(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以
以下同上例，略
答案 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n 4.形如)(1n f a a n n =⋅+型
（1）若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得
)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
例29. 已知数列满足}{n a )(,)2
1(,3*1
1N n a a a n
n n ∈=⋅=+,求此数列的通项公式.
注：同上例类似，略.。