材料力学作业参考解答

材料⼒学作业参考解答
2-1 试绘出下列各杆的轴⼒图。

2-2（b ）答：
MPa 100cm 80kN
82
N ===
AB AB AB A F σ MPa 950cm 209kN
12N ===BC BC BC A F σ MPa 7.16cm
120kN
22
N ===
CD CD CD A F σ MPa 950max =∴σ
2-3答：以B 点为研究对象，由平⾯汇交⼒系的平衡条件
kN
12.12kN 14.97-==BC AB F F
MPa
1.12MPa
5.137-==BC AB σσ
2-2 求下列结构中指定杆内的应⼒。

已知(a)图中杆的横截⾯⾯积A 1=A 2=1150mm 2；解：（1）分析整体，作⽰⼒图∑=0)(i B
F M
：
F N
F N
A E
C
D
B F
A
F B
F AB
W
F N1F N2
(c)
041088=??-?A F 40kN A F =
（2）取部分分析，⽰⼒图见（b ）
∑=0)(i C
F M
：
02442.22=?+?-?q F F A N
2
(404402)
36.36kN 2.2
N F ?-?==
3
2622
36.361031.62MPa 115010N F A σ-?===?杆
（3）分析铰E ，⽰⼒图见（c ）
∑=0ix
F
：
0sin 12=-β
N N F F
1240.65kN N N F F ==
3
1
6
11
37.9610
35.3MPa 115010N F A σ-?=
==?杆
2-3 求下列各杆内的最⼤正应⼒。

（3）图(c)为变截⾯拉杆，上段AB 的横截⾯积为40mm 2，下段BC 的横截⾯积为30mm 2，杆材料的ρg =78kN/m 3。

解：1.作轴⼒图，BC 段最⼤轴⼒在B 处
6N 120.530107812.0kN B F -=+=
AB 段最⼤轴⼒在A 处
6N 1212(0.5300.540)107812.0kN A F -=++?+=
F A F Cx
N2(b)
A
B
C
12.0
12.0
F N (kN)
3
N 2
6
12.010
400MPa 30mm 3010B
B F σ--?===?
3
N 2
6
12.010
300MPa 40mm 4010A
A F σ--?===?
杆件最⼤正应⼒为400MPa ，发⽣在B 截⾯。

2-4 ⼀直径为15mm ，标距为200mm 的合⾦钢杆，⽐例极限内进⾏拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm ，直径缩⼩了0.022mm ，确定材料的弹性模量E 、泊松⽐ν。

解：加载⾄58.4kN 时，杆件横截⾯中⼼正应⼒为
3
N 24
58.410330.48MPa 1.5104
F A σπ-?==??＝线应变：3
33
Δ0.910 4.51020010
l l ε--?===??
弹性模量：3
3330.48MPa 73.410MPa 4.510
E σ
ε-===?? 侧向线应变：310467.115
022.0-?=＝，
ε泊松⽐：,0.326
εµε==
2-6图⽰短柱，上段为钢制，长200mm ，截⾯尺⼨为100×100mm 2；下段为铝制，长300mm ，截⾯尺⼨为200×200mm 2。

当柱顶受F ⼒作⽤时，柱⼦总长度减少了0.4mm ，试求F 值。

已知E 钢=200GPa ，E 铝=70GPa 。

解：柱中的轴⼒都为F ，总的变形（缩短）为：
12
0.20.3Δg l F F
l E A E A =
+ 123
99Δ0.20.30.410
0.20.3200100.10.170100.20.21931.0kN
g l l
F E A E A -=
+
=
+
=
2-7 图⽰等直杆AC ，材料的容重为ρg ，弹性模量为E ，横截⾯积为A 。

求直杆B 截⾯的位移ΔB 。

解： AB 段内轴⼒ N1F F gAx ρ=-- BC 段内轴⼒ N22F F gAx ρ=--
B 点位移为杆B
C 的伸长量： 22(2)d 21.5l
B l
F g A x x
F l g A l
E A E A
ρρ?-++==-
2-8 图⽰结构中，AB 可视为刚性杆，AD 为钢杆，⾯积A 1=500mm 2，弹性模量E 1=200GPa ；CG 为铜杆，⾯积A 2=1500mm 2，弹性模量E 2=100GPa ；BE 为⽊杆，⾯积A 3=3000mm 2，弹性模量E 3=10GPa 。

当G 点处作⽤有F =60kN 时，求该点的竖直位移ΔG 。

解：（1）求①、②杆轴⼒由平衡⽅程可以求出:
N1N3N2240kN
320kN 360kN
F
F F F F F =-=-=-=-==
（2）求杆的变形
34N1196
1140101Δ410m 2001050010AD F l l E A ---??===-（压缩） 34N2296
2260100.5Δ210m 10010150010CG F l l E A --??===（拉伸） 36
N3396
3320101Δ 6.6710m 1010300010BE F l l E A ---??===-（压缩）（3）由⼏何关系：4213
21
ΔΔΔ 6.8910m 33G l l l ?-=-?-＝（下降） 2-9答：任⼀截⾯上轴⼒为F ，由
2
12d d b l x -= 22)2(4
)(b d x A +=
π
得⾯积为
222122])([
4)2(4
)(l
l
d x d d b d x A +-=
+=
ππ
伸长量为
+-==?l l
l d x d d E x
Fl x EA x F l 02
2
2120])[(d 4)(d π 2
14d d E Fl
π=
2-11 图⽰⼀挡⽔墙⽰意图，其中AB 杆⽀承着挡⽔墙，各部分尺⼨均已⽰于图中。

若AB 杆为圆截⾯，材料为松⽊，其容许应⼒［σ］=11MPa ，试求AB 杆所需的直径。

解：（1）求⽔压⼒的合⼒：
2
1240kN P h b γ==
（2）作⽰⼒图（a ）由平衡⽅程求轴⼒
2N 3N ()0:
0.60.4011.11kN
O
i M
F F P F =??-?==∑ （3）由强度条件，设计截⾯尺⼨：
N
b b
N 3632[]
411.1110/(1110) 1.28610m 3.58cm F A d d σσπ-=≤≥=?≥ 2-10答：对⽔塔
∑=0A
M ，021********=?+?+?F
kN F 2503-=
∑=0ix
F ，02/21002=?+F
kN F 4.14121003-=-=
∑=0iy
F
，04002/2321=++?+F F F
kN F 501-=
][/11c N A F σ≤，21500mm A ≥
][/22c N A F σ≤，221414mm A ≥ ][/33c N A F σ≤，232500mm A ≥
2-12 图⽰结构中的CD 杆为刚性杆，AB 杆为钢杆，直径d =30mm ，容许应⼒［σ］=160MPa ，弹性模量E =2.0×105MPa 。

试求结构的容许荷载F 。

解：（1）求AB 杆的轴⼒F N
∑=0)(i C
F M
：
N N s i n 3022.5
2.5
F F F F ?-?==
（2）由强度条件求[]F
[][]
[]N 46
2.591016010
4
45.2kN
2.5
F F A A F σσσπ-=≤?≤==
F
l 2
2-14 图⽰AB 为刚性杆，长为3a 。

A 端铰接于墙壁上，在C 、B 两处分别⽤同材料、同⾯积的①、②两杆拉住，使AB 杆保持⽔平。

在D 点作⽤荷载F 后，求两杆内产⽣的应⼒。

设弹性模量为E ，横截⾯⾯积为A 。

解：
1．本题为超静定问题，
见图(a),设AB 杆产⽣⾓位移??，则 =??=?a l a l 3,21， 2．由Hooke 定律：
=?=?=?=
EA l a
EA F EA l a
EA
F N N 5.1222
11
3.由平衡⽅程：
∑=0)(i A
F M
：
EA
F
aF aEA aEA aF aF aF N N 5.5225.402321=?=?+?=-+ 4.由Hooke 定律：
F
F EA F F F EA F N N 5454.05.525.15.13636.05
.522
1=?=?===?=??
σ①
A F
A
F N 3636.01
== σ②
A
F
A
F N 5454.02
==
2-15 两端固定，长度为l ，横截⾯⾯积为A ，弹性模量为E 的正⽅形杆，在B 、C 截⾯处各受⼀F ⼒作⽤。

求B 、C 截⾯间的相对位移。

F NA
(a)
(b)
解： 1．
本题为超静定问题
解除A 截⾯处约束，代之约束⼒NA F ,见图（a ） A 截⾯的位移为杆件的总变形量
EA Fl EA l F EA l F F EA l F F EA l F l l l A NA NA NA NA CD
BC AB -=-+
-+=
++=3
)2(3)(3 2.由约束条件 0=?A 得：
F
F EA Fl
EA l F NA NA ==-0
3.见图(b),求BC 段轴⼒由平衡条件可知： 0=N F
所以B,C 截⾯相对位移为 03
==
EA
l F N BC
-1-
3-1 试作下列各杆的扭矩图。

3-2 ⼀直径d =60mm 的圆杆，其两端受外⼒偶矩T =2kN ·m 的作⽤⽽发⽣扭转。

试求横截⾯上1，2，3点处的切应⼒和最⼤切应变，并在此三点处画出切应⼒的⽅向。

(G =80GPa )。

解：横截⾯上切应⼒⼤⼩沿半径线性分布，⽅向垂直半径
33P 213200047.2MPa
3.140.06/16
0.0
2/331.4MPa
T W ττττ===?===
4max 3/ 5.910rad G γτ-==?
3-3 从直径为300mm 的实⼼轴中镗出⼀个直径为150mm 的通孔⽽成为空⼼轴，问最⼤切应⼒增⼤了百分之⼏?
解：实⼼轴max13P116x x
M M W d τπ==
空⼼轴max 234P216(10.5)
x x
M M W d τπ==-
最⼤切应⼒增⼤了4343
max 2max14
max1316160.5(10.5)100%100%100% 6.67%1610.5x x
x
M M d d M d
ττππτπ-
--?=?=?=-
100
Mx
(N?m)
Mx
(kN?m)
-2-
3-4 ⼀端固定、⼀端⾃由的钢圆轴，其⼏何尺⼨及受⼒情况如图所⽰（空⼼处有两段，内径10mm ，外径30mm ）,试求： (1)轴的最⼤切应⼒。

(2)两端截⾯的相对扭转⾓(G =80GPa)。

解：（1）作扭矩图， AB 段中最⼤切应⼒ max 36P
6035.56MPa 31016
x M W πτπ-===??
CD 段中最⼤切应⼒ ()()max 946P 644031101616401024MPa 2713x M W πτπ
α---==??-??=?=-
所以轴中，MPa 56.35max =τ（2）相对扭转⾓分四段计算
P1P1P2P2
400.2300.1300.1600.15
ΔΔΔΔΔDC CE EB BA GI GI GI GI ππππ=+++=
+++
P1P2P1P211121112GI GI G I I πππ??
=
+=+
()94844811120.011426rad 118010310133103232πππ---??
=+= -
3-2 ⼀变截⾯实⼼圆轴，受图⽰外⼒偶矩作⽤，求轴的最⼤切应⼒。

解：
作扭矩图，
可见最⼤切应⼒发⽣在AB 段
MPa W M
P
x 97.162105.216
1
50063max =??==-πτ
3-5 ⼀圆轴AC 如图所⽰。

AB 段为实⼼，直径为50mm ；BC 段为空⼼，外径为50mm ，内
60лл 30л 40л
A B C
D
-3-
径为35mm 。

要使杆的总扭转⾓为0.12°，试确定BC 段的长度a 。

设G =80GPa 。

解：（1）作扭矩图100N
m x M =? （2）杆件A 、C 截⾯相对扭转⾓分两段计算
()
()4P P ΔΔΔ0.91AC BC BA x x M a M a
GI GI α=+-=
+
-
P 4
P 948Δ350.9,0.7
50
1Δ0.315960.980100.1251018032
0.91000.31596
0.405m
AC x AC
x
GI a
a M GI a M a a ?αα?ππ-=+--=
--??
==其中＝＝
3-8 传动轴的转速为n =500转/分，主动轮输⼊功率P 1=500kW ，从动轮2、3分别输出功率P 2=200kW ，P 3=300kW 。

已知［τ］=70MPa ，［θ］=1°/m ，G =8×104MPa 。

(1)确定AB 段的直径d 1和BC 段的直径d 2。

(2)若AB 和BC 两段选⽤同⼀直径，试确定直径d 。

解：（1）由输⼊和输出功率求等效⼒偶，作扭矩图
123500
9.559.55kN m
500200
9.55 3.82kN m 500300
9.55 5.73kN m
500
T T T ==?==?==?
由强度条件：[]max max P
x M W ττ=≤ 3
31
163
3
226
169.5510,0.089m
701016 5.7310,0.075m 7010d d d d π
π
≥=?≥=? 由刚度条件：[]max max P
x M
GI θθ=≤
3
41
1102
3
422102
329.5510,0.091m 810180
32 5.3710
,0.080m 810180
d d d d ππ??≥=≥
=??
为满⾜强度和刚度条件，AB 段的直径d 取91mm ；BC 段的直径d 取80mm 。

⊕
100N·m M x
A
C
9.55
M x
-4-
1.19375 1.91 1,91
0.4775
（2）若AB 和BC 两段选⽤同⼀直径，直径d 取91mm 。

3-7 图⽰传动轴的转速为200转/分，从主动轮3上输⼊的功率是80kW ，由1、2、4、5轮分别输出的功率为25、15、30和10KW 。

设［τ］=20Mpa (1)试按强度条件选定轴的直径。

(2)若轴改⽤变截⾯，试分别定出每⼀段轴的直径。

解：1.由输⼊和输出功率计算等效⼒偶
k N m
T k N m
T k N m T k N m
T k N m
T 82.3200
8055.94775.0200
1055.94325.1200
3055.971625.0200
1555.919375.1200
2555.935421=?==?==?==?==?=
2.作扭转图
（1）[]ττ≤==P
x x W M
kNm M max max ,
91.1 [
]m
d W P 0786.010
955.01610955.010
2010
91.13
14
4
6
3
=??≥?=??≥--π
d 取79mm ，适⽤于全轴。

（2）mm d d 67,10201019375.11616
33
1=≥π适⽤于1，2轮之间 mm d d 50,1020104775.0163633
2=≥
π适⽤于4，5轮之间
3-14 ⼯字形薄壁截⾯杆，长2m ，两端受0.2kN·m 的⼒偶矩作⽤。

设G =80GPa ，求此杆的最⼤切应⼒及杆单位长度的扭转⾓。

解：
-5-
()M P a h M i i x
18.181024.009.06
10112.0210109.0301.0102.03
1663633max
3
max =?+=+??==
---∑δ
δτ ()
()m r a d
h G
M i i x
0227.01024.009.080106.010112.0210109.010803
102.03
33
6363933=?+??=
+??=
=
--∑δθ
2-16 试校核图⽰销钉的剪切强度。

已知F =120kN ，销钉直径d =30mm ，材料的容许应⼒［τ］=70MPa 。

若强度不够，应改⽤多⼤直径的销钉?解：
MPa A F 8884104921012024
3
./===-πτ不满⾜强度条件
46
3
2
4
110571810
702101202-?==≥=.][τπF d A cm d 33.≥
3-10(b) F=40kN, d=20mm 解：中⼼c 位置80/3c x =
50 50 等效后：
kN
F M 936103802003.)/(=?-=-由F 引起的切应⼒
MPa d kN A F 44240324
3.)/()/(==='πτ由M 引起的剪切⼒满⾜
321r F r F r F B A c ///==M
r F r F r F B A C =++321解得
kN
F C 839.=C 铆钉切应⼒最⼤
MPa d kN A F C 712683924
.)/(./===''πτ
-6-
F N
⊕
F
3F/5
A
B
2-17 两块钢板塔接，铆钉直径为25mm ，排列如图所⽰。

已知［τ］=100MPa ，［σbs ］=280MPa ，板①的容许应⼒［σ］=160MPa ，板②的容许应⼒［σ］=140MPa ，求拉⼒F 的许可值，如果铆钉排列次序相反，即⾃上⽽下，第⼀排是两个铆钉，第⼆排是三个铆钉，则F 值如何改变? 解：
1．铆钉强度,求[]F
抗剪强度：
[][][]kN
A F A
F 4.24510100105.24
555
642===≤-πτττ＝
挤压强度
[]kN
A F bs b bs 56010280106.15.255
64==≤=
-σσ
2.板的抗拉强度条件求[]F ,A 的截⾯
[]σσ≤-?-)
016.0105.22016.016.0(2F
＝
[]kN F 6.28110160)108.01056.2(633=-?=--
B 截⾯： []σσ≤-?=--)
016.0105.231056.2(5323F
[]kN F 67.32610160)102.11056.2(3
5633=-??=--
综合上述结果，F 的许可值取245.4kN (最⼩值) 3．改变铆钉排列后，求解过程与上述相同。

-7-
F 1 2
F
(b) 3-6答：
42
0P
P
16d d d d G ml x GI M x GI M l
x x
π??=
==
3-10 图(a)所⽰托架，受⼒F =40kN ，铆钉直径d =20mm ，铆钉为单剪，求最危险铆钉上的切应⼒的⼤⼩及⽅向。

解：将F 等效移⾄铆钉群中⼼，得⼒偶， k N m F M 8.822.0=?=
1. 由F 引起的切应⼒（每个铆钉⼤⼩相同，⽅向向下）
M P a A
F
83.311024
1101044231===-πτ 2. 先求由M 引起的各铆钉剪⼒，见图(b)
==+d F d
F M dF dF 5.05.132121
解得：kN F kN F 11,3321== 上部和底部铆钉中切应⼒最⼤
-8-
1
2τ
(c)
（⽔平⽅向）
＝MPa A
F 04.10510
24
10
334
23
1
2==-π
τ 3. 最⼤切应⼒ 14
.73,3.3tan 76.1091
22
221===βττβτττ⽅向＝＋＝MPa
A-2 试求图形⽔平形⼼轴z 的位置，并求影阴线部分⾯积对z 轴的⾯积矩S z 。

解：分三块计算215050501501505022
500m m i A A ==?+?+?=∑ 形⼼轴位置
()123
3
1257517591.67mm
25500.025cm z A A A h A S A h ?+?+?=
==?-=
A-3 试计算(b)图形对y ，z 轴的惯性矩和惯性积。

解：查型钢表得20a 号⼯字钢⼏何性质：'4'
4200mm,2370cm ,158cm z y h I I ===
故 '362120.1 1.4100.10.0140.10712z z I I -??=++ 4888237010321010558010m －－－＝＋＝
'
23
8884
1
2 1.4100.112
15810233.310391.310m y y I I ----=+?
=?+?=? 由对称性，0=yz I
A-8 计算图⽰（a ）图形的形⼼主惯性矩。

解：1.⾸先求形⼼位置：15050252005015015050200501687500 96.43
17500
h ??+??=
+==
A 3
h
-9-
2.求惯性矩
33
411
5152051212
1406.25208.331614.58cm y I =??+??=+= ()()
22
334
11520520159.6431555159.6432.51212
3333.32869.7156.253826.710185.95cm z I =
=＋－＋＋－＝＋＋＋
4-1 求下列各梁指定截⾯上的剪⼒和弯矩。

解：（b ）⾃右向左分析：1-1截⾯Q12F F =，弯矩12M Fl =-；
2-2截⾯Q22F F =，弯矩1M Fl =-
（c ）⽀座反⼒68820
kN 63
A F ?-=
=（铅直向上）
，⾃左向右分析： 1-1截⾯Q16kN F =-，弯矩112kN m M =-?； 2-2截⾯Q22/3kN F =，弯矩212kN m M =-?
4-2 写出下列各梁的剪⼒⽅程、弯矩⽅程，并作剪⼒图和弯矩图。

解：⽀座反⼒52A F ql =，3
2B F ql =，⾃左向右分析：
剪⼒⽅程：Q 5
()2(02)2
F x ql qx x l =-<<
Q ()0(23)F x l x l =<<
弯矩⽅程：25
()(02)2
M x qlx qx x l =-≤≤
2
()(23)M x ql l x l =≤≤
由⽅程作图。

注意标出最⼤弯矩所在截⾯位置及最⼤弯矩值。

F A
F A
F B
5ql /2
F Q
M
-10-
4-3 利⽤剪⼒、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪⼒图和弯矩图。

解：(a)⾃左向右分析（这样不需要计算固定端反⼒）梁分3段，5个控制⾯
Q110,3F M Fl ==-；Q220,3F M Fl ==- Q33, 3.5F F M Fl =-=-；Q440, 3.5F M Fl ==- Q55,4F F M Fl =-=-
(b)⽀座反⼒29/3kN,13/3kN A A F F == 梁分3段，6个控制⾯
Q110,4kN m F M ==?；Q226kN,2kN m F M =-=-? Q3311/3kN,2kN m F M ==-? Q4411/3kN,16/3kN m F M ==? Q5511/3kN,4/3kN m F M ==? Q6613/3kN,0F M =-= max 169/36kN m M =?位置距离右端13/6m
5-1 图(a)所⽰钢梁(E =2.0×105MPa )具有(b)、(c)两种截⾯形式，试分别求出两种截⾯形式下梁的曲率半径，最⼤拉、压应⼒及其所在位置。

解：（b ）截⾯ 341
1018486012
z I cm =
= 1183
1
2.010486010,1215810z z EI M
m EI M ρρ-====? 1
2
3 4
5
F Q
M
Fl
1
2 3
4 6
5
F A F B
F Q /kN
M /kN ? z
h
-11-
3max
2
81014.8110.10.186
z M MPa W σ?===??（上拉下压）（c ）截⾯形⼼位置：mm h 5.8250
1802140
501802550180=+??=
()()4
2
3237.85686.29755.1876.297524305.225.851851812
125.814185185121cm I z =+++=-??+??+-??+??=
m M EI z 18.2142108107.8568100.23
8
11===-ρ
()MPa I M MPa I M z
c z t 77.130825.023.07.70825.0107.85681080825.0max
8
3max
=-?===?=-σσ
5-4 求梁指定截⾯a-a 上指定点D 处的正应⼒，及梁的最⼤拉应⼒m ax t σ和最⼤压应⼒m ax c σ。

解：1.求弯矩
⽀座反⼒：kN F A 3
10
=
a-a 截⾯弯矩
kNm M 67.62310
=?=
最⼤弯矩：kNm M 34.13340max ==
2.求形⼼轴
22
1
2030151520
5465.7412.911423.3203015
4h cm ππ??-??===?-?
()()
22
3424
1203020301512.9115152012.9112644
450002620.862485.058883.136252.7z I cm ππ=
+--?--=+－－＝ 322max max
8
13.341012.911012.9110 4.7536252.710 t
z M MPa I σ
---?=??=??=? A
B z h。