集成电路制造工艺的Cpk及P水平评价

集成电路制造工艺的Cpk及P水平评价
作者：曾臣
来源：《电脑知识与技术》2012年第05期
摘要：该文在阐述Pσ设计概念以及与成品率、DPMO换算方法的基础上，分析了影响Pσ设计水平评价精度的关键问题，提出了解决问题的算法，并且自行开发了相应的计算软件，实现了Pσ设计水平与成品率、DPMO相互间的高计算精度换算。

关键词：Pσ设计；DPMO
中图分类号：TP393文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)05-1166-02
随着微电子技术的迅速发展，对集成电路的可靠性做出进一步的要求，提出了6σ设计要求，即对应的pkC为1.5。

为了评价实际达到的设计水平，如何准确实现Pσ设计水平与DPMO（百万机会缺陷数）之间的换算成为需要探讨的问题：
根据6σ设计的基本理论，Pσ设计水平与相应的DPMO之间存在下述关系：
DPMO＝｛(1.5)PF-＋［1－(1.5)PF+］｝*100000(1)
当P大于3的时候，[1－(1.5)PF+］值远小于(1.5)PF-值，可以用下面近似公式计算DPMO：
DPMO＝(1.5)PF-*100000
(2)
目前出版的关于“6σ”设计，“6σ管理”的著作和教材中基本都附有6σ设计水平与DPMO对照表。

但是一般存在下述两个问题: 1）对照表中通常只给出7σ水平以内的对照数据，对于较高设计水平（例如大于7σ设计水平）情况，查阅不到相应的DPMO值。

2）在低的设计水平下给出的DPMO值偏差较大。

不少出版物给出的6σ设计水平范围内的Pσ设计水平与DPMO 对照数据中存在一个共同的问题，即是在低于2σ设计水平的时候，给出的DPMO明显偏低。

设计水平越低，对应的DPMO值偏差就越大。

在超过3σ设计水平的时候，相应的DPMO的值才是正确的。

表1列出的4σ设计水平范围内Pσ设计水平与DPMO值的对照数据明显地反映了这一问题。

（括号内是一些关于“6σ设计”，“6σ管理”的著作和教材中给出的数据）
表1 Pσ设计水平与DPMO对照表
在设计水平较低情况下，Pσ设计水平同DPMO换算关系出现偏差的原因是，不管P值是多大，即使P值小于2，这些出版物中均直接采用（2）式计算DPMO，而没有采用“精确”公式(1)。

2对于Pσ设计指标的算法
2.1关于正态分布的算法
在高设计水平情况下，为了实现Pσ设计水平与DPMO值之间的高精度换算，我们需要对正态分布函数算法进行优化，以获得高精度的计算结果。

采用连分式计算正态分布函数可以满足这一要求。

下面会展开讨论换算的关键在于正态分布的计算，要是结果达到比较高的精度，就需要对正态分布进行优化的计算，因为xj( )是对称函数，只需要给出x>0时，()XF的计算方法可得() xj -的值。

()XF的两个连分式展开式为：
采用上述连分式，当取n=28时，精度可达10-12。

2.2给出Pσ设计水平而计算DPMO
在设计水平较低的时候，我们利用（1）式计算DPMO，当P大于3的时候，可以用近似公式（2）计算DPMO。

其中正态分布函数
()X F采用(5)式所示的连分式计算方法，以保证计算精度。

2.3给出DPMO计算Pσ设计水平
采用式（1）有给出的DPMO计算对应的表征Pσ设计水平的P值结果是一个非线性方程的求解问题。

在编程里采用的是二分法。

只要确定了含根区间，就一定可以利用f(x)=0的解，因而算法安全可靠，在计算机字长允许的情况下，可以达到很高的精度。

将方程含根区间(a,b)重复分半：1,2,( , )()...()
例如：若要求算评价的设计水平范围一直到8s设计水平，即b=8,a=0,设计水平评价要求为0.01。

由上面的式子得：N312.9,即：需要13次迭代计算。

3设计水平较高的水平下，DPMO的值
在较高设计水平下，通过以上的算法可以自行开发软件，并且计算得出下面的Pσ与DPMO(单位: PPM)的对照表:
表2高设计水平下, Ps与DPMO对照表
以上数据计算结果与Mathematic工具结果相一致。

笔者开发的这款软件在参考文献[1]中被引用作为换算工具。

参考文献：
[1]贾新章,李京苑.统计过程控制与评价-Cpk, SPC和PPM技术[M].北京:电子工业出版社,2004.
[2] Eugene L,Grant, R S.Leavenworth, Statistical Quality Control[M].6th, McGraw-Hill,1976.。