高二数学最新教案-二项式定理02018 精品
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(2)注意区别二项式系数与指定项的系数二者异同
在(a十b)n的展开式中，系数 (r＝0，l，…，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数，而与a、b无关，因此称为二项式系数．而(a十b)n的展开式中指定项系数与a、b是有联系的．例如：(1十x)n的展开式第r十1项的系数为 ，而(1十2x)n的展开式第r十l项的系数为2r ，(2十x)n的展开式第r十1项的系数为
师生共同完成
课堂练习
1.写出(p＋q)7的展开式.
2.求(x3＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
3、求(x－ )9的展开式中的常数项。
板演
小结与作业
课堂小结
杨辉是我国古代数学家的杰出代表，是我们炎黄子孙的骄傲。利用杨辉三角可以展开（a+b）n(n∈N,n不太大时)
杨辉三角（组合形式）从上一行推出下一行时用到了组合数的性质Cmn+Cm-1n=Cnn+1,故用数学归纳法证明二项式定理从n=k到n=k+1时，关键也是用这个性质。
二项展开式的特征。
本课作业
1. 的展开式中，第五项是……………………………………（）
A. B. C. D.
2. 的展开式中，不含a的项是第…………………………（）项
（3）(a十b)n展开式的特点
二项式定理(a十b)n＝C0 an十C1 an-1十…十 an-rbr十…十Cn bn的特点是：
(1)项数：共有n十1项；
(2)系数：第r十1项的系数是 (r＝O，l，2，…,n)；
(3)指数：a的指数是从n开始，逐渐减1按降幂排列到0；b的指数是从0开始，逐渐加1按升幂排列到n；
（4）杨辉三角的应用
[例]展开（1+ ）4
2、二项式定理
（1）观察杨辉三角，猜想二项式定理
既然表中除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和，如将第1行的1、1用组合数C01、C11表示，那么第2行的中间一数应为C01+ C11= C12，引导学生利用组合的性质C0n=Cnn=1, Cmn+Cm-1n= Cmn+1
讲解为主
概念分析
1、杨辉三角
（1）杨辉三角的引出
写出(a+b)n的展开式关键在于确定每一项的系数。（由于二项展开式的每一项系数都是一些抽象听组合数，所以我们可采用从具体到一般的规律进行教学）
提问二项式(a+b)1, (a+b)2, (a+b)3, (a+b)4, (a+b)5的展开式，并根据学生的回答，将展开式的系统列成下表：
1左右两边斜行各数都是1：
②其余各数都等于它肩上的两个数字的和。
（3）利用杨辉三角进行爱国主义教育
我国南宋数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》一书里附有如下一幅图：
左积右隅
本积一
商除一一
平方一二一
立方一三三一
三乘一四六四一
四乘一五十十五一
五乘一六十五二十十五六一
图后附有“增乘方求廉草”说明图中各数的求法。贾宪1200年用此术，可见我国这一幅“乘方求廉”的图至迟在1200年左右已经出现了，比欧洲巴斯卡（1623-1662）早了400年。杨辉一生创造出了一毓世界性的数学成果且长期居于先进地位。我们华夏古国是个文明古国，具有辉煌的历史。更值得自豪的是我们炎黄始祖首创十进制位值记数，领先世界数千年…。用这些事实激发学生的民族自豪感。明确为振兴中华而努力学习的目的，立志为实现“九五”计划和2010年远景目标而奋斗。
课题：
授课教师：丁蜀高级中学汤文兵
教学目的
1、通过“杨辉三角”的教学进行爱国主义教育。
2、遵循认识规律：从特殊到一般，从具体到抽象，从杨辉三角到二项式定理，培养学生的概括能力和严瑾的逻辑推能力。
3、掌握二项式定理，并能灵活运用通项公式解决问题。
教学重点难点
重点：1、杨辉三角及应用。2、二项式定理
难点：二项式定理的证明．
重在启发，引导学生归纳
例题讲解
【例1】展开(1＋ 1)4。
【例2】求（2a+b）5的展开式的
（1）第四项；
（2）第四项的二项式系数；
（3）第四项的系数。
简解：（1）T3+1= =10·4a2b3=40a2b3
(2) =10
(3) 40
强调：展开式中某项的系数与二项式系数是不同的概念。
【例3】求(x－ )9的展开式中x3的系数。
（a+b）1…………………………. 1 1
(a+b)2…………………………. .1 2 1
(a+b)3………………………. 1 3 3 1
(a+b)4……………………. .1 4 6 4 1
(a+b)5…………………. .1 5 10 10 5 1
（2）杨辉三角的结构规律
启发引导学生观察表格中每个数的特征及其关系，归纳出表的结构规律：
(4)项的次数：各项次数和都是n；
(4)注意事项（通项公式的应用）
二项展开式的通项Tr+1= ，(r＝0，l，2，…，n)是(a十b)n展开式的第r十l项，而不是第r项．其中还要注意下面两点：
第一点是a、b的位置不能颠倒，即(b十a)n的展开式第r十1项，不是 ，而应为 ；
第二点是(a一b)n的展开式第r十1项为 =(－1)r .
分析：抓住通项公式。
【例4】求( 一 )15的展开式中常数项．
分析( 一 )15的展开式中的常数项，就是展开式中x的指数为零的项.
解设( 一 )15展开式中常数项为第r十1项，则Tr+1＝
= ，令 解得r＝6，从而可知不含x的项是展开式中的第7项.
所以展开式中常数项为T7＝(一1)6 ＝5005．
评注根据已知条件求二项展开式中特定的项的问题，往往先根据己知条件或通项公式，把问题转化为求方程的解，最后再代人通项公式求出问题的解。
将杨辉三角中每个数转化成组合数形式：
归纳猜想：(a十b)n展开式的系数是 ， ， ，…， 于是
(a十b)n＝C0 an十C1 an-1十…十 an-rbr十…十Cn bn
（2）概念：这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫做(a十b)n的二项展开式，
(r=0、1、……n)叫做二项式系数， 叫做二项展开式的通项，记作Tr+1= 。
教学模式
讲解研讨法
教学过程
教学方法
引入
在初中时已经学过二项式的平方、立方的展开式，即（a+b）2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b +3ab2+b3
那么(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3那么(a+b)4,(a+b)5,…(a+b)n(n∈N)的展开式又是什么呢？这就是本节要研究和学习的问题。
在(a十b)n的展开式中，系数 (r＝0，l，…，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数，而与a、b无关，因此称为二项式系数．而(a十b)n的展开式中指定项系数与a、b是有联系的．例如：(1十x)n的展开式第r十1项的系数为 ，而(1十2x)n的展开式第r十l项的系数为2r ，(2十x)n的展开式第r十1项的系数为
师生共同完成
课堂练习
1.写出(p＋q)7的展开式.
2.求(x3＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.
3、求(x－ )9的展开式中的常数项。
板演
小结与作业
课堂小结
杨辉是我国古代数学家的杰出代表，是我们炎黄子孙的骄傲。利用杨辉三角可以展开（a+b）n(n∈N,n不太大时)
杨辉三角（组合形式）从上一行推出下一行时用到了组合数的性质Cmn+Cm-1n=Cnn+1,故用数学归纳法证明二项式定理从n=k到n=k+1时，关键也是用这个性质。
二项展开式的特征。
本课作业
1. 的展开式中，第五项是……………………………………（）
A. B. C. D.
2. 的展开式中，不含a的项是第…………………………（）项
（3）(a十b)n展开式的特点
二项式定理(a十b)n＝C0 an十C1 an-1十…十 an-rbr十…十Cn bn的特点是：
(1)项数：共有n十1项；
(2)系数：第r十1项的系数是 (r＝O，l，2，…,n)；
(3)指数：a的指数是从n开始，逐渐减1按降幂排列到0；b的指数是从0开始，逐渐加1按升幂排列到n；
（4）杨辉三角的应用
[例]展开（1+ ）4
2、二项式定理
（1）观察杨辉三角，猜想二项式定理
既然表中除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和，如将第1行的1、1用组合数C01、C11表示，那么第2行的中间一数应为C01+ C11= C12，引导学生利用组合的性质C0n=Cnn=1, Cmn+Cm-1n= Cmn+1
讲解为主
概念分析
1、杨辉三角
（1）杨辉三角的引出
写出(a+b)n的展开式关键在于确定每一项的系数。（由于二项展开式的每一项系数都是一些抽象听组合数，所以我们可采用从具体到一般的规律进行教学）
提问二项式(a+b)1, (a+b)2, (a+b)3, (a+b)4, (a+b)5的展开式，并根据学生的回答，将展开式的系统列成下表：
1左右两边斜行各数都是1：
②其余各数都等于它肩上的两个数字的和。
（3）利用杨辉三角进行爱国主义教育
我国南宋数学家杨辉在1261年所著《详解九章算法》一书里附有如下一幅图：
左积右隅
本积一
商除一一
平方一二一
立方一三三一
三乘一四六四一
四乘一五十十五一
五乘一六十五二十十五六一
图后附有“增乘方求廉草”说明图中各数的求法。贾宪1200年用此术，可见我国这一幅“乘方求廉”的图至迟在1200年左右已经出现了，比欧洲巴斯卡（1623-1662）早了400年。杨辉一生创造出了一毓世界性的数学成果且长期居于先进地位。我们华夏古国是个文明古国，具有辉煌的历史。更值得自豪的是我们炎黄始祖首创十进制位值记数，领先世界数千年…。用这些事实激发学生的民族自豪感。明确为振兴中华而努力学习的目的，立志为实现“九五”计划和2010年远景目标而奋斗。
课题：
授课教师：丁蜀高级中学汤文兵
教学目的
1、通过“杨辉三角”的教学进行爱国主义教育。
2、遵循认识规律：从特殊到一般，从具体到抽象，从杨辉三角到二项式定理，培养学生的概括能力和严瑾的逻辑推能力。
3、掌握二项式定理，并能灵活运用通项公式解决问题。
教学重点难点
重点：1、杨辉三角及应用。2、二项式定理
难点：二项式定理的证明．
重在启发，引导学生归纳
例题讲解
【例1】展开(1＋ 1)4。
【例2】求（2a+b）5的展开式的
（1）第四项；
（2）第四项的二项式系数；
（3）第四项的系数。
简解：（1）T3+1= =10·4a2b3=40a2b3
(2) =10
(3) 40
强调：展开式中某项的系数与二项式系数是不同的概念。
【例3】求(x－ )9的展开式中x3的系数。
（a+b）1…………………………. 1 1
(a+b)2…………………………. .1 2 1
(a+b)3………………………. 1 3 3 1
(a+b)4……………………. .1 4 6 4 1
(a+b)5…………………. .1 5 10 10 5 1
（2）杨辉三角的结构规律
启发引导学生观察表格中每个数的特征及其关系，归纳出表的结构规律：
(4)项的次数：各项次数和都是n；
(4)注意事项（通项公式的应用）
二项展开式的通项Tr+1= ，(r＝0，l，2，…，n)是(a十b)n展开式的第r十l项，而不是第r项．其中还要注意下面两点：
第一点是a、b的位置不能颠倒，即(b十a)n的展开式第r十1项，不是 ，而应为 ；
第二点是(a一b)n的展开式第r十1项为 =(－1)r .
分析：抓住通项公式。
【例4】求( 一 )15的展开式中常数项．
分析( 一 )15的展开式中的常数项，就是展开式中x的指数为零的项.
解设( 一 )15展开式中常数项为第r十1项，则Tr+1＝
= ，令 解得r＝6，从而可知不含x的项是展开式中的第7项.
所以展开式中常数项为T7＝(一1)6 ＝5005．
评注根据已知条件求二项展开式中特定的项的问题，往往先根据己知条件或通项公式，把问题转化为求方程的解，最后再代人通项公式求出问题的解。
将杨辉三角中每个数转化成组合数形式：
归纳猜想：(a十b)n展开式的系数是 ， ， ，…， 于是
(a十b)n＝C0 an十C1 an-1十…十 an-rbr十…十Cn bn
（2）概念：这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫做(a十b)n的二项展开式，
(r=0、1、……n)叫做二项式系数， 叫做二项展开式的通项，记作Tr+1= 。
教学模式
讲解研讨法
教学过程
教学方法
引入
在初中时已经学过二项式的平方、立方的展开式，即（a+b）2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b +3ab2+b3
那么(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3那么(a+b)4,(a+b)5,…(a+b)n(n∈N)的展开式又是什么呢？这就是本节要研究和学习的问题。