华师大版八年级下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华师大版数学八年级下册第17章 函数及其图象 复习课件ppt(共31张PPT)
如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强 度，纵坐标表示氧化铁回收率.
(1)将试验所得数据在上图所给的直角坐标系中用点 表示（注：该图中坐标轴的交点代表点(1,70)）； (2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接，若此 图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关 系式，试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式； (3)利用题(2)所得的关系，求氧化铁回收率大于85% 时，该装置通过是电流应该控制的范围（精确到
解方程kx+b=0(k≠0)，相当于一次函数y=kx+b(k≠0) 的函数值为0时，求自变量的值.
两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的 函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函 数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的 坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来 求某些方程组的解．
例如，图中的两条直线：y=2x-5和y=-x+1，它们的
横坐标 符号
+
－
－
+ x
0
纵坐标 符号
+ +
－ －
0
y
y
3E
A2
1
B
F
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
D -1
C
-2
-3
第二象限
3 2
Ⅱ
1
y
第一象限 Ⅰ
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
-1
Ⅲ -2
Ⅳ
第三象限 -3 第四象限
坐标轴上的点不属于任何一个象限.
对称点的坐标
P(x, y)关于 x 轴的对称点 P′(x, -y); P(x, y)关于 y 轴的对称点 P′(-x, y); P(x, y)关于原点的对称点 P′(-x, -y);
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳精编WORD版
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2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=0 5．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华东师大初中数学八年级下册《函数及其图象》全章复习与巩固—知识讲解(基础)(精选)
《函数及其图象》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解变量与常量、变量与函数、直角坐标系、函数图象、平面直角坐标系的概念，能正确画出平面直角坐标系，根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征；2.了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；3.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能用待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式；4.能写出实际问题中一次函数关系与反比例函数关系的解析式及自变量的取值范围，并能应用它们解决简单的实际问题；运用数形结合的方法，深刻理解和掌握函数的性质，学会用数学建模的方法与技巧．【知识网络】【要点梳理】要点一、变量与函数1. 常量、变量、函数（1）常量：在问题研究过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量.（2）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.（3）函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数.y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、平面直角坐标系1. 有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．2. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.3. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．4. 坐标平面（1）象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.（2）坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x 轴，y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 5. 坐标的特征（1）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． （2）象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a ，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a ，-a)． （3）关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． （4）平行于坐标轴的直线上的点平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y 轴的直线上的点的横坐标相同.要点三、一次函数 1、一次函数的定义一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.2、一次函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化. 3、一次函数的性质掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象.4、求一次函数的表达式待定系数法：先设待求函数表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 5、用函数的观点看方程（组）与不等式要点四、反比例函数 1.反比例函数的定义一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 要点诠释：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.2.反比例函数的图象和性质 （1）反比例函数图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k xky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=， 当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.（2）反比例函数的性质①图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大. ②若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.③正比例函数与反比例函数的性质比较④反比例函数y ＝中k 的意义过双曲线xky =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x ky =(k ≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .要点五、实践与探索 1.数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.2.正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3.选择最佳方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、函数的概念1.下列说法正确的是：（ ）A.变量,x y 满足23x y +=，则y 是x 的函数；B.变量,x y 满足x y =||，则y 是x 的函数；C.变量,x y 满足x y =2，则y 是x 的函数； D.变量,x y 满足221y x -=，则y 是x 的函数.【答案】A ；【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的x 的值，都有两个y 值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B；类型二、平面直角坐标系2.已知点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B 的坐标．【思路点拨】由“点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B 到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝-3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝-3．∴点B的坐标是(-3，3)或(-3，-3)．【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.类型三、一次函数3.（2015春•高新区期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=6，O为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=6时，求P点坐标．【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式即可得出结论；（2）根据（1）中函数关系式及点P在第一象限即可得出结论；（3）把S=6代入（1）中函数关系即可得出x的值，进而得出y的值．【答案与解析】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（4，0）、（x，y），∴S=×4×y=2y．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函数关系式为：S=﹣2x+12．（2）由（1）得S=﹣2x+12＞0，解得：x＜6；又∵点P在第一象限，∴x＞0，综上可得x的范围为：0＜x＜6．（3）∵S=6，∴﹣2x+12=6，解得x=3．∵x+y=6，∴y=6﹣3=3，即P（3，3）．【总结升华】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2015秋•南京校级期末）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求△ABP的面积．【答案】解：（1）当x=0时，y=﹣x+3=3，则Q（0，3），∵点Q恰与点P关于x轴对称，∴P（0，﹣3），把P（0，﹣3），A（﹣2，5）代入y=kx+b得，解得，所以这个一次函数解析式为y=﹣4x﹣3；（2）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=6，则B（6，0），当y=0时，﹣4x ﹣3=0，解得x=﹣，则直线y=﹣4x ﹣3与x 轴的交点坐标为（﹣，0）， 所以△ABP 的面积=×（6+）×5+×（6+）×3=27．4.已知正比例函数y kx =（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k =+的图象大致是图中的（ ）．【答案】B ；【解析】∵y 随x 的增大而减小，∴ k ＜0．∵y x k =+中x 的系数为1＞0，k ＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B ．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0时，函数值随自变量x 的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数()21y m x =-的图象上两点A(1x , 1y ), B(2x ,2y )，当 12x x <时,有12y y >,那么m 的取值范围是( ) A ． 12m <B ．12m >C ． 2m <D ．0m > 【答案】 A ；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以210m -<，选A 答案.类型四、反比例函数5.如图所示，P 是反比例函数ky x=图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出k 的值，P 点既在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说，P 点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长． 【答案与解析】解：设P 点的坐标为(x ，y )，由图可知，P 点在第二象限，∴ x ＜0，y ＞0．∴ 图中阴影部分矩形的长、宽分别为－x 、y ．∵ 矩形的面积为2，∴ －xy ＝2，∴ xy ＝－2．∵ xy ＝k ，∴ k ＝－2．∴ 此反比例函数的关系式是2y x=-． 【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得矩形面积为|k |这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．举一反三： 【变式】如图，过反比例函数)(0x x2y >=的图象上任意两点A 、B ，分别作x 轴的垂线，垂足为''B A 、，连接OA ，OB ，'AA 与OB 的交点为P ，记△AOP 与梯形B B PA ''的面积分别为21S S 、，试比较21S S 与的大小.【答案】解：∵AOP AOA A OP S S S ''∆∆∆=-，OB A OP A PBB S B S S ''''∆∆=-梯形且AOA 112122A A S x y '∆==⨯=，OB 112122B B B S x y '∆==⨯= ∴21S S =.类型五、实践与探索6.（2016•临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？【思路点拨】（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y 甲关于x 的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y 乙关于x 的函数关系式；（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．【答案与解析】解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3．（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：1＜x＜4．综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．【总结升华】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系得出函数关系式；（2）根据费用的关系找出一元一次不等式或者一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格返回报社，在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天，每天可卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为，每月所获得的利润为．（1）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）。
华师版八年级下册数学精品教学课件 第17章 函数及其图象 小结与复习
关系是
( D)
A. y3＜y1＜y2
B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3
D. y3＜y2＜y1
解析：可分别把各点代入函数解析式求出 y1，y2，y3 的
值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较．
针对训练
11.已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反
比例函数y k x
33×800＋17×960 ＝ 42720(元)． 即最低成本是 42720 元．
方法总结
用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把 文字语言转化为数学语言，列出相应的函数式或方程， 若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所 对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选 择最佳方案.
针对训练
第17章 函数及其图象
小结与复习
一、函数 1. 常量与变量 取值发生变化的量 叫变量， 取值固定不变的量 叫常量.
2. 函数定义： 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并
且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与
其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
3. 函数的图象：对于一个函数，如果把自变 量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图象.
9. 李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升)与行驶里程 x (千米)之间是一 次函数关系，其图象如图所示， 那么到达乙地时油箱剩余油量是 多少升？
解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋35， 将(160，25)代入，得 160k＋35 ＝25， 解得 k＝ ， ∴一次函数的表达式为 y ＝ x＋35. 再将 x ＝ 240 代入 y＝ x＋35， 得 y＝ ×240＋35 ＝ 20， 即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升．
(完整word版)华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华东师大版八年级下册第17章函数及其图象小结与复习课件(共25张)
变式6．已知一次函数y＝(2m＋4)x＋m－3，求： (1)当m为何值时，y随x的增大而增大？ (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？ (3)当m为何值时，函数图象经过原点？ (4)当m为何值时，这条直线平行于直线y＝－x?
解：（1）2m＋4＞0，所以m＞－2. （2）m－3＜0，且2m＋4≠0， ∴ m＜3，且m≠－2. （3）m－3＝0且2m＋4≠0， ∴m＝3. （4）2m＋4＝－1， ∴m＝－52.
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
5.函数的三种表示方法：
列表法 解析法
图象法.
例1．(1)设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的
高h的关系式是V＝πR2h，在这个变化过程中常量和
变量分别是什么？解：（1）常量是π和R，变量是V和h.
(2)设圆柱的高h不变，在圆柱的体积V与圆柱的底面半
则 k＝_____3_______．
例 10 ． 一 次 函 数 y ＝ 5x － 10的 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 是 ____(_2_，__0_) ___，与y轴的交点坐标是_(0_，__－__1_0_)．
例11、一次函数y＝kx－k(k<0)的大致图象是( A )
例12、已知一次函数y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b)，两个函数的
y2＝kx2(k2≠0)的图象交于 A(4，1)，B(n，－2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式
(2)请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围． 解：（1）将 A(4，1)的坐标代入 y2＝kx2得 k2＝4，所以反 比例函数的表达式为 y2＝4x. （将2）B根(n据，图－象2)的可坐以标看代出入y1＜y2y＝2时4x得x的n取＝值－范2，围所为以x点<－B2的或0<x<4. 坐标为(－2，－2)．将 A(4，1)，B(－2，－2)的坐标分 别代入 y1＝k1x＋b 得4－k12＋k1b＋＝b1＝，－2，解得kb1＝＝－12，1.所 以一次函数的表达式为 y1＝12x－1.
华师大版八年级数学下函数与其图像知识点归纳
反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k﹙k是常数k≠0﹚〃那么x与y这两个量成反比例关系〃这里x与y既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式〃例如y+3与x成反比例那么有y+3= 成反比例〃那么y=例关系。
k,y与x2xkk,成反比例关系不一定是反比例函数〃但是反比例函数y=中的两个变量必定成反比xx2第5/6页〔六〕反比例函数y=k﹙k≠0﹚中的比例系数k的几何意义x11S矩形=|k|。
221?如图〃过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。
2?连结PO,那么S△POM=六?函数的应用1?利用图像比拟两个函数值的大小在同一直角坐标系中的两个函数图像〃如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方〃那么该函数值就比另一个函数值大〃假设在下方〃那么该函数值就比另一个函数值小〃而其交点的横坐标就是分界点。
2?两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系如果两个一次函数的图像相交〃那么交点坐标必定同时满足两个函数解析式〃故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。
3?一次函数与方程、不等式的关系〔1〕一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0〃反映在函数解析式就是函数值等于0〃那么其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。
〔2〕一次函数y=kx+b在x轴上方的图像〃任意一点的纵坐标都大于0〃反映在函数解析式就是函数值y＞0〃那么对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集。
〔3〕一次函数y=kx+b在x轴下方的图像〃任意一点的纵坐标都小于0〃反映在函数解析式就是函数值y＜0〃那么对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集。
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华师大版数学八年级下册_知识全解：函数的图象
17.2 函数的图象
1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、有点的位置写出点的坐标。
2.了解函数图象的意义，能根据函数图象认识问题中的运动、变化规律，从中获取信息，并能用文字符号进行描述。
3.会用描点法画出简单函数的图象，画函数图象要求准确、美观，培养良好的学习习惯。
重点：平面直角坐标系
难点：函数的图象
（1）教师要求学生一定要亲自动手画图象，从中总结画图象的步骤．给学生充分的画图象时间，让学生在画的过程中发现问题，改正问题，真正掌握画好图象的方法；
（2）在学生画图象及读图象获取信息的学习过程中，教师不要进行规律性的总结，给学生充分的时间进行思考、交流．教师融入学生中去发现问题，但不要进行讲解，要让学生自己通过反思，自己悟出各自的特征.这样学生理解的比较深刻，运用起来比较方便.
学习过程中要敢于动手动脑，善于与同学交流讨论．一边动手画图象，一边注意总结规律．在自己的总结和反思中获得知识．。
华师大版八年级下册18.2.2函数的图像
$x in R$且$x neq 0$。
反比例函数的值域
3
$y in R$。
反比例函数的图像特点
当$k > 0$时，反比例函数的 图像位于第一象限和第三象限；
当$k < 0$时，反比例函数的 图像位于第二象限和第四象限；
反比例函数的图像是双曲线， 且随着$k$的取值不同，图像 的位置和形态也会发生变化。
华师大版八年级下册 18.2.2函数的图像
目录
CONTENTS
• 函数图像的引入 • 一次函数的图像 • 二次函数的图像 • 反比例函数的图像 • 函数图像的变换
01
函数图像的引入
函数的概念
函数
在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的 值与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数可以用来描 述一些物理量之间的关系，如电流与 电阻的关系、电容与电压的关系等；
在实际生活中，反比例函数的应用还 有很多，如电路设计、建筑设计等领 域。
在经济学中，反比例函数可以用来描 述一些经济量之间的关系，如生产成 本与生产量的关系、价格与需求量的 关系等；
关于y轴的对称
将函数图像关于y轴进行对称 ，即y和-x互为对称点。
THANKS
感谢您的观看
函数的定义域
使函数有意义的自变量的取值范围。
函数的值域
函数值的集合。
函数图像的意义
01
02
03
直观反映函数关系
函数图像能够直观地表示 出变量之间的关系，使我 们能够快速理解函数的性 质和变化规律。
比较不同函数
华师大版八年级下函数及其图象复习
例2、若点A（1，y）在直线y=2x+1上，且反比例函数的 图象过点A，求
（1）、求反比例函数的解析式。 （2）、过点A作X轴的垂线，垂足为B，求S△AOB （3）、若点M（X1，y1）、N（X2，y2）和在该反比例函 数的图象上，且x1<x2<0，比较y1、y2的大小。 （4）、过M、N分别作X轴的垂线，垂足分别为P、Q，
鹤溪中学初中数学组
荆丹伟
教学过程： 一、复习回忆
1．一次函数(y＝kx＋b，k≠0) (1)k、b的符号对图象的影响是怎样的? (2)如何求一次函数的图象与坐标轴的交点坐标? (3)如何画一次函数的图象? (4)若两条直线互相平行，k的值是否会相同? (5)会用待定系数法求一次函数的解析式吗? (6)一次函数的性质如何表述?
比较S△QON、S△POM的大小。
Hale Waihona Puke k 例3：已知直线y＝kx－k与双曲线y＝ x 则它们在同一坐标系中的图象大致是( )
(k≠0)， C
三、课堂练习 1．已知一次函数与直线y=-x+1平行，且过点（2，3） （1）、求一次函数的解析式。 （2）、求该一次函数与坐标轴的交点坐标。 （3）、求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积。 （4）、若点M（X1，y1）、N（X2，y2）和在该一次函 数的图象上，且x1<x2，比较y1、y2的大小。
k 2．反比例函数(y＝ x ，k≠0)
(1)k的符号对图象的影响是怎样的? (2)如何画反比例函数的图象?画图象时与上述的一次函 数的图象的画法有何区别? (3)双曲线经过一点，能确定它的解析式吗? (4)反比例函数的性质是如何描述的?
二、例题分析
例1．已知一次函数的图象过点（1，6）（0，4）； （1）、求一次函数的解析式。 （2）、求该一次函数与坐标轴的交点坐标。 （3）、求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积。 （4）、若点M（X1，y1）、N（X2，y2）和在该一次函 数的图象上，且x1<x2，比较y1、y2的大小。
华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一.变量与函数1 .函数的定义:一般的,在某个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数。
2.自变量的取值范围:(1)能够使函数有意义的自变量的取值全体。
(2)确定函数自变量的取值范围要注意以下两点:一就是使自变量所在的代数式有意义;二就是使函数在实际问题中有实际意义。
(3)不同函数关系式自变量取值范围的确定:①函数关系式为整式时自变量的取值范围就是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围就是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围就是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 .函数值:当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题:(1)当已知自变量的值求函数值就就是求代数式的值。
(2)当已知函数值求自变量的值就就是解方程。
(3)当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就就是解不等式或不等式组。
二.平面直角坐标系:1.各象限内点的坐标的特征:(1)点p(x,y)在第一象限→ｘ＞0,y＞0、(2)点p(x,y)在第二象限→ｘ＜0,y＞0、(3)点p(x,y)在第三象限→ｘ＜0,y＜0(4)点p(x,y)在第四象限→ｘ＞0,y＜0、2 .坐标轴上的点的坐标的特征:(1)点p(x,y)在x轴上→ｘ为任意实数,y=0(2)点p(x,y)在y轴上→x=0,y为任意实数3 .关于x轴,y轴,原点对称的点的坐标的特征:(1)点p(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)、(2)点p(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)、(3)点p(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)4 .两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征:(1)点p(x,y)在第一、三象限夹角平分在线→x=y、(2)点p(x,y)在第二,四象限夹角平分在线→x+y=05.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征:(1)位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
华东师大初中数学八年级下册函数与函数的图象 知识讲解精选
函数与函数的图象【学习目标】．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的定义域的基本方法；给出自变1 量的一个值，会求出相应的函数值．．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．23. 能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量.只取同一数值的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个ts t?60s 为变量.和里程60千米变化过程而言的.例如，/时是常量，时间，速度要点二、函数的定义y xx的每一个确定的值，与一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量，并且对于yyy xx的函是称为自变量，称为因变量，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；x的取值，必须要使代数式有实际意义；）对于自变量（2y x是否都有允许取的每一个值，（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；x的取值范围相同. ②自变量否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变x的取值范围有时容易忽视，这点应注意.量要点三、定义域与函数值一般地说，一个函数自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域.要点诠释：定义域的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，定义域是全体实数；（2）当解析式是分式时，定义域是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，定义域是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，定义域应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，定义域必须使实际问题有意义.yy axax bb时的函数值的函数，如果当.＝时叫做当自变量为＝，那么是要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一2xy?x的值为±时，自变量4中，当函数值为比如：.个函数值对应的自变量可以是多个2.要点四、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点五、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系及象限在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.要点诠释：x y轴上的点(包括原点)）坐标轴（1不属于任何象限．轴与（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 点的坐标xxa yy，轴、轴上对应的数轴作垂线，垂足在，过点平面内任意一点PP分别向轴、aa bbb). ,P的横坐标、纵坐标，有序数对（分别叫做点P的坐标，记作,:P(）叫做点要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．aax ybb轴的距离.|中，||表示点到|轴的距离；表示点到P(2（）点，)x y)(和它对应，反过来对于任，对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(3)意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律3.要点诠释：.）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上（1x y．轴上的点的横坐标为（2）坐标轴上点的坐标特征：0轴上的点的纵坐标为0；）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标3（平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．要点六、函数的图象那么坐标纵坐标，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、.平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象列表时，自变量的要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.又不至于使自变量或对应取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，. 的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况【典型例题】类型一、变量与函数 1】【高清课堂：389341 变量与函数，例x y的函数有（1、下列等式中，是）22||yx|,x?1,y?y?x,y?|23x?y?0,x?个个 C. 3个 D.4A .1个 B.2 ；【答案】C221,y?x?x当要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义. 对于【解析】3x yy||yx?和它有两个值±和它对应，对于取2取2，，2有两个值±，当x y对应，都有唯一确定的值与对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：C.所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选xx y的每一个确定的值，与，并且对于【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量xx yy抓住函数定义中.都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，的函数是x yy，也可以是“多都有唯一确定的值”，的关键词语“之间的对应，可以是“一对一”与. ，不能是“一对多”对一”举一反三：x?y表示同一函数的是（）【变式】下列函数中与2x233?y)?yx(x?yxy? D. B.A. C.x；D【答案】．提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、（2016春?红桥区期末）下列图象分别给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数的是（）．． CDA． B．【思路点拨】利用函数的定义，对于给定的x的值，y都有唯一的值与其对应，进而判断得出．【答案】B．【解析】解：在图象A，C，D中，每给x一个值，y都有2个值与它对应，所以A，C，D中y不是x的函数，在B中，给x一个正值，y有一个值与之对应，所以y是x的函数．故选：B．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．举一反三：【变式】（2015春?海淀区期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（）． BA ．． DC ．【答案】C.类型二、函数的解析式【高清课堂：389341 变量与函数，例3】、求出下列函数的自变量34x2y?2?y?xx?5x?3?y 2（）．．1（））3．（3?x2．x3?yx1?y?2?y．（4）．（6）（5）．2?x12x?x的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式【思路点拨】定义域是使函数有意义的. 的分母不为零等等【答案与解析】25?x?x?yx为任何实数，函数都有意义；（1）．，解：x43?y xx．2）－3≠0，即（≠；，要使函数有意义，需23x?2233??y2x??x x 0，即，要使函数有意义，需2；（3）＋．3≥2x1?yx?x，要使函数有意义，需2；－1（4）．＞0，即21?2x3x21y??x为任何实数，函数都有意义；（5），．03?x??3x??y xx2. ，要使函数有意义，需）6，即．≠－≥－3且（?2?x0?x?2?.自变量的取值范围必须使整个解析式有意义【总结升华】】【高清课堂：389341 变量与函数，例 4P，设P为BC上任一点，点BC中，∠C＝90°，AC＝6，＝104、如图所示，在△ABC x y 表示△APB的面积．不与点B、C重合，且CP＝．若x y之间的函数关系式；与 (1)求x的取值范围． (2)求自变量【答案与解析】 10，906，∠C＝°，BC＝ (1)解：因为AC＝1130?10?ACBC??S?6所以．ABC?2211?ACPC?S?6?x?3x，又APC?22y?S?S?S?30?3xy?30?3x．，即所以APC?APB??ABC x＜10．0＝10，所以＜ BCCBP(2)因为点不与点、重合，【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P是一动点这个规律，结合图移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．P形观察到点．举一反三：cm的等腰三角形．请你写出底边长80 小明在劳动技术课中要制作一个周长为【变式】xxcmcm y的取值范围． )与腰长)((的函数关系式，并求自变量【答案】2x?y＝解：由题意得，80,y?80?2x，所以由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，x?0??y?80?2x?020?x?40?所以，解得?2x?80?2x?40x?x,20?y?80?2.所以类型三、函数值1xx yy630x?y?的值为（）5、若时，与，当的关系式为＝3 A．5 B．10 C．4 D．－41?x代入关系式可求得函数值.【思路点拨】把3【答案】C；14?10?6y?30??6?.【解析】3axax yybb. ，那么＝时【总结升华】叫做当自变量为是＝的函数，如果当时的函数值类型四、平面直角坐标系、指出下列各点所在的象限或坐标轴．60). G(0，F(3，0)、4) 1)2－，3)、C(－4，－、D(2.5，－2)、E(0，－、5) A(4，、B(【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断所在象限．【答案与解析】y轴在第四象限，点E在在第一象限，点解：点AB在第二象限，点C在第三象限，点D x轴上，点G上，点F在在原点上．解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个【总结升华】本题主要考查点的坐标的性质，x y象限内点的符号，但注意坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在轴上，又在轴上．举一反三：xn轴的距离为________．4．则点A】点【变式1A(3，)在第四象限，到的坐标为． (3【答案】，－4)】3 1 369934【高清课堂：第一讲平面直角坐标系练习a b )P (2【变式】若点 ,在第二象限，则：a b P1（）点在第－（ ,)象限； 1a b)在第象限；2）点P（－ , （2a b)在第象限；（－ ,－（3）点P3a b )在第（象限 , . （4）点P4【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型五、函数的图象7、（2015春?抚州期末）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小红家到舅舅家的路程是米，小红在商店停留了分钟；（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？【思路点拨】（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间．【答案与解析】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了14分钟．故答案为：1500，14；（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，分钟最快，速度为=450米14/分．﹣故小红在12（3）读图可得：小红共行驶了1200+600+900=2700米，共用了14分钟．【总结升华】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始．( )匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是【答案】B.。
华师大版八年级下函数及其图象1变量与函数
《变量与函数》知识全解学习目标1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量和变量的意义。
2.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。
3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
4.体会函数时刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，理解“变化与对应”的思想，能用适当的函数表示法描述实际问题中变量之间的关系。
重点难点难点1：函数的概念难点2：函数自变量的取值范围重点1：函数关系式重点2：函数值重点3：函数的表示方法思维导图教法建议中学生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平，初中生以形式逻辑思维水平为主．函数是一个辩证概念，且理解函数概念时，需要学生在头脑中建构一个情景（例如：解析式、表格或图形），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握，而学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期,看问题往往是局部的、静止的、割裂的,不善于把抽象的概念与具体的事例联系起来,还不能用辩证思维的思想来理解函数概念,这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的．例如,学生常常认为，“x”代表一个单个的数(可能是未知数)；求函数值就是把数带入“公式”中的字母运算；学生常常把函数概念与“公式”等同起来,因此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应．对初中学生的思维水平来说,建立函数这样一个复杂的概念需要克服许多困难．在函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换．但在初中学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的．对函数的教学作出以下建议：1．抓住函数概念核心，加强概念形成的教学；2．注意早期渗透，螺旋上升，分散教学难点；3．加强函数与相关内容的联系，用函数观点统领相关内容．学法建议经历观察、分析、思考等数学活动过程，合情推理，有条理地、清晰地阐述自己的观点．逐步感知变量间的关系．会用运动的观点观察事物，分析事物．通过小组讨论交流，培养合作意识；敢于发表自己的见解，培养自身对数学学习的积极性及自信心．从生活实例中抽象出函数概念，通过例题、练习等形式，对函数概念形成一个完整的认识．。
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华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p （x,y ）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
（2）位于平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标相同。
6．点到坐标轴及原点的距离：（1）点p （x,y ）到轴的距离为 ｜y ︱.（2）点p （x,y ）到y 轴的距离为∣x ∣.（3）点p （x,y ）到原点的距离为22y x（4）同在x 轴上的两点A （x 1,0）与B （x 2,0）之间的距离为AB=|x 1-x 2|（5）同在y 轴上的两点C （0,y 1）与D （0,y 2）之间的距离为CD=|y 1-y 2|三．函数的图像函数图像上的点与其解析式的关系1．函数图像上任意一点p ﹙x,y ﹚中的x 、y 满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值﹙x,y ﹚都在函数的图像上。
2．判断点p ﹙x,y ﹚是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标 ﹙x,y ﹚代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。
四．一次函数（一） 一次函数的定义1．定义:含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y ＝kx+b(其中k 和b 为常数，k ≠0)叫做一次函数。
正比例函数：在一次函数y=kx+b 中如果b=0即变为y=kx(其中k ≠0)，这样的函数叫做正比例函数。
2．注意：（1）由一次函数和正比例函数的定义可知;① 函数是一次函数→解析式为y ＝kx+b 的形式。
② 函数是正比例函数→解析式为y=kx 的形式。
（2）一次函数解析式y=kx+b 的结构特征：① k ≠0 ②x 的次数是1 ③常数b 为任意实数（3）正比例函数解析式y=kx 的结构特征① k ≠0 ②x 的次数是1 ③常数b=03．说明：在y=kx+b 中若k=0则y=b ﹙b 为常数﹚这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。
4．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。
一次函数y=kx+b ，当b=0时为正比例函数一次函数y=kx+b ，当b ≠0时一般的一次函数（二） 一次函数的图像1．一次函数图像的形状：一次函数y=kx+b 的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b正比例函数y=kx 的图像也是一条直线，称为直线y=kx2．一次函数图像的主要特点:一次函数y=kx+b 的图像经过点﹙0，b ﹚的直线，正比例函数y=kx+b 的图像是经过原点﹙0，0﹚的直线 注意：点﹙0，b ﹚是直线y=kx+b 与y 轴的交点。
① 当b ＞0时，此时交点在y 轴的正半轴上，② 当b ＜0时，此时交点在y 轴的负半轴上，③ 当b=0时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。
3．一次函数图像的画法：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。
那么，先描出哪两点比较好呢选两点应以计算和描点简单为原则，一般来说，当b ≠0时，一般的一次函数y=kx+b 的图像，应选取它与两个坐标轴的交点﹙0，b ﹚与﹙-kb ,0﹚；当b=0时，画正比例函数y=kx 的图像，通常取﹙0，0﹚与﹙1，k ﹚两点，个别情况下可以做些变通，例如画函数y=32x 的图像，可以取﹙0，0﹚与﹙1，32﹚两点，也可以取﹙0，0﹚与﹙3，2﹚两点。
4．直线y=kx+b 与坐标轴的交点（1） 令x=0,则y=b 所以直线y=kx+b 与y 轴的交点坐标为﹙0，b ﹚（2） 令y=0,则kx+b=0所以x=-kb 所以直线y=kx+b 与x 轴的交点坐标为﹙-k b ,0﹚注意：此时直线y=kx+b 与x 轴，y 轴围成的三角形面积S=21×∣-kb ∣×∣b ∣ 5．两直线在直角坐标系内的位置关系:（1）两直线的解析式中当k 相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”（2）两直线的解析式中当b 相同时，其位置关系是相交，交点坐标为﹙0，b ﹚.（三）一次函数的性质1．正比例函数的性质（1）当k＞0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx从左到右上升。
（2）当k＜0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx从左到右下降。
2．一次函数y=kx+b的性质（1）当k＞0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大。
（2）当k＜0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小。
（3）当b＞0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交。
（4）当b＜0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。
3．直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势，b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴，还是负半轴，还是原点。
k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况：①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；②当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；③当k＜0， b＞0时，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；④当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；⑤当k＞0，b=0时，直线经过第一、三象限；⑥当k＜0，b=0时，直线经过第二、四象限。
（四）正比例函数与一次函数解析式的确定1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。
2．待定系数法：先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚，再根据已知条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
其中的未知系数也称待定系数，如正比例函数y=kx中的k，一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数。
3．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式；（2）把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数；（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
注意：通常正比例函数解析式设y=kx ，只有一个待定系数k ，一般只需一对x 与y 的对应值即可；一次函数解析式设y=kx+b ，其中有两个待定系数k 和b ，因而需要两对x 与y 的对应值，才能求出k 和b 的值。
五．反比例函数（一）反比例函数定义1．一般的，函数y=xk ﹙k 是常数，k ≠0﹚叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成y=kx -1的形式，其中k 叫做比例系数。
2．反比例函数解析式的主要特征：（1）等号左边是函数y,右边是一个分式，分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x 的指数是1，若写成y=kx -1的形式，则x 的指数是-1。
（2）比例系数“k ≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。
（3）自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数。
（二）反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点成中心对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以它的图像与x 轴和y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
（三）反比例函数的性质1．当k ＞0时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小。
2．当k ＜0时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大。
（四）反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=xk 中只有一个待定系数，因此只需要一对x 与y 的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
（五）“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系反比例关系是小学学过的概念：如果xy=k ﹙k 是常数k ≠0﹚，那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 与y 既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式，例如y+3与x 成反比例则有y+3=x k ,y 与x ²成反比例，则y=2x k ,成反比例关系不一定是反比例函数，但是反比例函数y=x k 中的两个变量必定成反比例关系。
（六）反比例函数y=xk ﹙k ≠0﹚中的比例系数k 的几何意义 1．如图，过双曲线上一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,所得矩形PMON 面积为|k|。
2．连结PO,则S △POM=21S 矩形=21|k|。