四川省乐山市峨眉山第二中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析

四川省乐山市峨眉山第二中学2020-2021学年高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=，则f（﹣10）的值是（）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
参考答案：
D
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由题意，代入分段函数求函数的值．
【解答】解：f（﹣10）=f（﹣10+3）=f（﹣7）=f（﹣7+3）
=f（﹣4）=f（﹣4+3）=f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）
=log22=1．
故选D．
【点评】本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
2. 设函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】数列的求和；导数的运算．
【分析】函数f（x）=x m+ax的导函数f′（x）=2x+1，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求
出m，a，然后利用裂项法求出的前n项和，即可．
【解答】解：f′（x）=mx m﹣1+a=2x+1，
∴a=1，m=2，∴f（x）=x（x+1），
==﹣，用裂项法求和得S n=．
故选A
3. 定义,若实数满足,则的最小值为
（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
试题分析:因,故,故.又因,故,所以,所以.则
,所以的最小值为.故应选答案B.
考点：二元一次不等式组表示的区域及运用．
4. 函数的定义域是（）
A．B．C．D．[0，+∞）
参考答案：
B
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：x＞﹣且x≠0，
故选：B．
5. 已知且对任意m,n都有
⑴=1;⑵;⑶.给出下列三个结论：
①②③.其中正确的个数是……………………………………………………………………… ( )
A 3个
B 2个
C 1个
D 0个
参考答案：
A
6. 下列有关命题的说法正确的是 ( )．
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“”是“”的必要不充分条件．
C．
D．命题“” 的逆否命题为真命题．
参考答案：
D
7. 定义为n个正数的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为
，且，则
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
A
8. 已知i是虚数单位，复数（
A．i B．-i C．1 D．-1
参考答案：B
9. 已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是（）A．[－5,6) B．[－5,6] C．(2,9) D．[－5,9]
参考答案：
A
10. 若角的终边过点，则的值为
A. B. C. D.
参考答案：
【知识点】任意角的三角函数的定义．C1
B 解析：因为角的终边过点，所以，
所以故选B.
【思路点拨】利用任意角的三角函数的定义可求得，再利用二倍角的余弦即可求得答案．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集是___________.
参考答案：
12. ．有下列命题：①函数y=f (-x+2)与y=f (x-2)的图象关于轴对称；
②若函数f（x）＝，则，都有；
③若函数f（x）＝loga| x |在（0，＋∞）上单调递增，
则f（－2）> f（a＋1）；
④若函数 (x∈)，则函数f(x)的最小值为.
其中真命题的序号是 .
参考答案：
②④
13. 函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_____.参考答案：
或
略
14. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为__________.
参考答案：
2
【分析】
先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．
【详解】作出约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（,），
由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，
易知过点A时直线在y上截距最小，
所以的最小值为+．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．
15. 设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为________．
参考答案：
16. 对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体
和(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从
每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样
本中的概率，则
= ; 所有(1≤i＜j≤的和等于 .
参考答案：
【答案】 , 6
【解析】第二空可分:
①当时, ;
②当时, ;
③当时, ;
所以
17. （5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式
的解集为，则实数c 的值为▲．
参考答案：
9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

由值域为，当时有，即，
∴。

∴解得，。

∵不等式的解集为，∴，解得。

1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，若，求实数的取值范围.参考答案：
【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等问题；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想.
【试题简析】解：（Ⅰ）由得，，故的定义域为. 1分
，2分
因为，所以. 3分
①当时，，在上单调递增；4分
②当时，由，得，
故在上单调递减；
由，得，
故在和上单调递增；5分
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
在和上单调递增. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）当时，在上单调递增，所以当时，
，
则7分
从而两式相减得；8分
当时，在上单调递减；
所以当时，，9分
则从而10分
两式相减得，不符合题意，舍去；11分
综上可得，实数的取值范围. 12分
【变式题源】（2011全国卷Ⅰ·理21）
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求,的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围．
19. 新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y（万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；
（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
将对补贴金额的心理预期值在[1,2)（万元）和[6,7]（万元）的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.
参考公式及数据：①回归方程，其中，；
②.
参考答案：
（1）易知，
，
，
则关于的线性回归方程为，
当时，，即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆.
（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取人，由分层抽样的定义可知，解得
在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为，则所有的抽样情况如下：,,,, ,,
,
,,,,,,,共15种
其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由9种
记事件A为“抽出的2人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则
20. (本小题满分12分)
已知函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：存在．
参考答案：
解:由题意知的定义域为，而对求导得，.
因为且，故只需.
又，所以得. -----------------3分
若，则.显然当时，，此时在上单调递减；当，，此时在上单调递增.所以是的唯一极小值点，故. 综上，所求的值为. ----------------5分
（2）由（1）知，．------7分
设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．----------------9分
又，，，所以在有唯一零点，
在有唯一零点1，----------------10分
且当时，；当时，，因为，所以是的唯一极大值点．
即是在（0，1）的最大值点，所以成立.--------12分
21. 已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x++1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．
参考答案：
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．
【专题】计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得f（x）=2sin（2x+）+1，再利用三角函数的周期公式，即可算出f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[﹣，]得2x+∈[0，]，利用正弦函数的图象与性质算出sin（2x+）
∈[0，1]，即可得到函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x++1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∴函数f（x）的最小正周期T==π；
（2）∵x∈[﹣，]可得2x+∈[0，]，
∴sin（2x+）∈[0，1]，可得2sin（2x+）+1∈[1，3]，
由此可得f（x）=2sin（2x+）+1的值域为[1，3]．
【点评】本题给出三角函数的表达式，求函数的周期并求它在[﹣，]上的值域，着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
22. (本小题满分12分)
在ΔABC中，内角所对的边分别为. 若－. （1）求角C的大小；
（2）已知，ΔABC的面积为. 求边长的值.
参考答案：
（１）（2）
【知识点】余弦定理；正弦定理．菁优网B4
解析：（１）由条件得=2（2）
即==……2分
化简得
, …4分
∵∴
又∴＝…6分
（２）由已知及正弦定理得………8分又 SΔABC=8，C=∴ ，得………10分
由余弦定理得. …12分
【思路点拨】（1）由已知等式化简可得cos（A+B）=﹣，结合角的范围即可求得C的大小．（2）由已知及正弦定理求得b，又 S△ABC=8，C=从而解得a，由余弦定理即可解得c的值．。