安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题【含答案】

=tan
=
=
，
法 2：由已知等式变形得：cosA+cosB=
，
∴利用正弦、余弦定理化简得：
+
=
，
整理得：（a+b）（c2﹣a2﹣b2）=0， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC 为直角三角形
（2）解：由已知得：a2+b2=c2①，a+c=2b②， ab=6③， 由②得：c=2b﹣a，代入①得：a2+b2=（2b﹣a）2=a2﹣4ab+4b2，即 3b2=4ab，
因为
，所以
，
则（x+y）2≤40000，即 x+y≤200，
当且仅当 x=y=100 时，上式不等式成立．
故当 AB，AC 边长均为 100 米时，所用材料长度最短为 200 米
∴3b=4a，即 a= b，代入③得：b2=16， ∴b=4cm，a=3cm，c=5cm 19.（1）解：∵a1=2，an+1=Sn+2． ∴a2=4，n≥2 时，an=Sn﹣1+2，可得 an+1﹣an=an，即 an+1=2an，n=1 时也满足． ∴数列{an}是等比数列，首项为 2，公比为 2． ∴an=2n． （2）解：bn=（2n﹣1）•an=（2n﹣1）•2n． ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=2+3×22+…+（2n﹣1）•2n， 2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，
C.2n+1
D.2n+2
7.当 满足不等式组
时,目标函数
最小值是
A.-4
B.-3
C.3
D.
8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 =3，则 =
A.
B.
C.2
D.3
9.等比数列{an}中，a3=5，a8=2，则数列{lgan}的前 10 项和等于
A.2
B.5
C.10
D.lg50
10.关于 的不等式
安徽省淮南市寿县第二中学 2019-2020 学年高一数学下学期期中试 题
第 I 卷（选择题 60 分） 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.在
中，若
，则
A.
B.
C.
D.
2.如图，在杨辉三角形中，斜线 l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数
列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前 n 项之和为 Sn ， 则 S21 的值为
∴A 为锐角，sinA=
=
根据正弦定理，得
，
∴
，
∴ （2）解：根据余弦定理，得 a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴9=4+c2﹣2×2c× ， ∴3c2﹣4c﹣15=0
解之得：c=3 或 c=﹣ （舍去）， ∴c=3
18.（1）解：法 1：sinC= ∵sinC≠0，∴cosC=0， ∵0°＜C＜180°，∴C=90°， ∴△ABC 为直角三角形；
x＞2}
22.（1）解：在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=BC2，
所以 x2+y2﹣2xycos120°=30000，
即 x2+y2+xy=30000，
又因为 x＞0，y＞0，所以 （2）解：要使所用的新型材料总长度最短只需 x+y 的最小， 由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，
只有一个整数解，则 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
11.在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若
，则 =
A.
B.3
D.3 或
12.设正实数 x，y 满足 x+y=1，则 A.4
的最小值为 B.5
C.6
D.
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
21.（1）解：由题意可得，1 和 b 是 ax2﹣3x+2=0 的两个实数根，由韦达定理可得 1+b=
，且 1×b= ， 解得 a=1，b=2
（2）解：关于 x 的不等式 解集为{x|x≠2}；
＞0 等价于 （x﹣c）（x﹣2）＞0，当 c=2 时，不等式的
当 c＞2 时，不等式的解集为{x|x＞c，或 x＜2}；当 c＜2 时，不等式的解集为{x|x＜c，或
（1）求 x，y 满足的关系式（指出 x，y 的取值范围）；
（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最 短长度是多少？
参考答案
1.A 2.D
3.A 4.B 5.A 6.A 7.B
8.B
9.B 10.C
11.C
12.B
13.4
14.
16.
15.36
17.（1）解：∵△ABC 中，cosA= ＞0，
A.66
B.153
C.295
D.361
3. 如图，△ADC 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD 与 AC 交于 E
点．若 AB＝2，则 AE 的长为
A． －
B． ( － )
C． ＋
D． ( ＋ )
4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 已知 a1=10，a2 为整数，且 Sn≤S4 ， 设 ，则数列{bn}的前项和 Tn 为
13.
，
．
时，若
，则
的最小值为
14.在
中，内角
所对应的边分别为
，已知
C. 或 3 ，若
，则
的值为
．
15.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 a3+a4=18﹣a6﹣a5 ， 则 S8=
．
16.今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近 30 天每天因病请假人数依次构成数列
，已知
，
，且
，则这 30 天因病请假
∴﹣Tn=2+2（22+23++…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2× •2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6， ∴Tn=（2n﹣3）•2n+1+6 20.（1）解：设等差数列{an}的公差为 d，
﹣2﹣（2nБайду номын сангаас1）
则
，解得
∴an=13+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+15
（2）解：由（1）可得 Sn=13n+ =﹣n2+14n=﹣（n﹣7）2+49 当 n=7 时，Sn 有最大值，为 S7=49
的人数共有
人.
三、解答题(共 6 小题,共 70 分)
17.（10 分）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
． （1）求 sinB 的值； （2）求 c 的值．
18. （12 分）已知△ABC 的三个内角 A，B，C，满足 sinC=
．
（1）判断△ABC 的形状；
（2）设三边 a，b，c 成等差数列且 S△ABC=6cm2 ， 求△ABC 三边的长． 19. （12 分）设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，已知 a1=2，an+1=Sn+2． （1）求数列{an}的通项公式． （2）令 bn=（2n﹣1）•an ， 求数列{bn}的前 n 项和 Tn ． 20. （12 分）已知在等差数列{an}中，a2=11，a5=5． （1）求通项公式 an； （2）求前 n 项和 Sn 的最大值． 21. （12 分）已知关于 x 的不等式 ax2﹣3x+2＞0 的解集为{x|x＜1 或 x＞b}
（1）求实数 a、b 的值；
（2）解关于 x 的不等式
＞0（c 为常数）
22. （12 分）“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的
重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形 ABC 形状的主题公
园，其中一边利用现成的围墙 BC，长度为 100 米，另外两边 AB，AC 使用某种新型材料 围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y 单位均为米）．
A.
B.
C.
D.
5.等差数列{an}的公差为 2，若 a2 ， a4 ， a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn=
A.n（n+1）
B.n（n﹣1）
C.
D.
6.已知等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=31，a2+a3+a4+a5+a6=62，则通项 an 等于
A.2n﹣1
B.2n