陕西省西安市第七十中学高二上学期期末考试数学(理)试

一、选
择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 命题“若，则”的逆否命题是 （ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若a ≤b ，则
D. 若，则a ≤b
2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．(0, +∞)
B ．(0, 2)
C ．(0, 1)
D ． (1, +∞)
3. 已知P:,q:，则“非P ”是“非q ”的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
4．双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5， 那么△ABF 2的周长是 （ ） A 、 24 B 、 25 C 、 26 D 、 28 5. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m= （ ） A . B . C .
D .
6．在同一坐标系中，方程)0(01222
22>>=+=+b a by ax b
y a x 与的曲线大致是 （ ）
7. 椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1PF 2，则
PF 1F 2的面积为 （ ） A. 9 B. 12
C. 10
D. 8
8．正方体的棱长为1，是的中点，则到平面的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若向量与的夹角为，，，则 （ ）
A．B．4 C．6 D．12
10．方程表示双曲线，则的取值范围是（）
A．B．C．D．或
11. 方程(a＞b＞0,k＞0且k≠1)，与方程(a＞b＞0)表示的椭圆
（）
A 有等长的短轴
B 有共同的焦点
C 有等长的长轴
D 有相同的离心率
12．如图1，梯形中，，且平面，
，点为内一动点，且，
则点的轨迹为
（）
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线
上．）
13.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的
必要条件，那么丙是甲的（①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件，③.
充要条件）.
14．在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为．
15.抛物线的的方程为，则抛物线的焦点坐标为____________.
16.以下三个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双
曲线。

②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
③双曲线与椭圆有相同的焦点。

④已知抛物线y2=2px,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切
其中真命题为（写出所有真命题的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
17．(10分)写出命题“若1
-y
+
+
x
x且
y
则”的逆命题、否命题、逆
22-
,0
2
)1
(
=
=
=
否命题，并判断它们的真假.
18. (12分)叙述抛物线的定义，并推导其一个标准方程。

19．(12分)已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b (O 为原点)?
20．(12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的
取值范围．
21．(12分) 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.
(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；
22．(12分) 如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右
焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
3，22在椭圆上，且点M 到两焦点距离之和为4. (1)求椭圆的方程；
(2)设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A ，B (A ，B 不重合)，求O A →·O B →的取值范围．
高二理科参考答案
二、填空题：
13. ① 14. 1200
15. （，0） 16. ②③④ 三、解答题：
18. 参考课本70—71页。

19．解： (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.
(2)假设存在点E ，设 AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →
＝(－3，－1,4)＋t (1，
－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，
所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95
.
因此存在点E ，使得OE →
⊥b ， 此时E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－65
，－145，25.
综上所述，实数c 的取值范围是⎨⎧⎬⎫
c ⎪⎪
12
＜c ＜1.
21.(1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥
AC . 又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且 平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，
∴AA 1⊥平面ABC .
(2)解：由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ，由题意知，
在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2， ∴AB ⊥AC .
∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A －xyz . A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，于是
A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1
B →＝(0,3，－4)，B 1
C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→
＝(0,0,4)． 设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
A 1C 1→·n 1＝0，A 1
B →·
n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
4x 1＝0，3y 1－4z 1＝0，
∴取向量n 1＝(0,4,3)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
B 1
C 1→·n 2＝0，BB 1→·
n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2－3y 2＝0，
4z 2＝0.
取向量n 2＝(3,4,0)， ∴cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝165×5＝16
25
.
22. 解： (1)∵2a ＝4，∴a ＝2， 又M ⎝
⎛⎭
⎫
3，
22在椭圆上， ∴34＋12b 2＝1，解得b 2
＝2，∴所求椭圆方程x 24＋y 22
＝1. (2)由题意知k MO ＝
6
6
，∴k AB ＝－ 6. 设直线AB 的方程为y ＝－6x ＋m ，
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
2＝1，
y ＝－6x ＋m ，
消去y ，得13x 2－46mx ＋2m 2－4＝0，
Δ＝(－46m )2－4×13×(2m 2－4)＝8(12m 2－13m 2＋26)＞0， ∴m 2＜26，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝46m
13，x 1x 2＝2m 2－413，
则O A →·O B →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋m 2
＝3m 2－2813
∈⎣⎡⎭⎫
－2813，5013.
∴O A →·O B →的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－2813，5013.。