2008-2016青岛市一模,立体几何

B
A
C
D
P
E
1。

（08青岛一模19）．如图，在底面是正方形的四棱锥ABCD P -中，2==AC PA ，
6==PD PB ，点E 在PD 上，且1:2:=ED PE ．
（Ⅰ）在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF //平面AEC ？证明你的结论； （Ⅱ）求二面角E AC P --的平面角的大小.
1-1（09青岛一模20）．在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，
1
(0)AB PA BC a a
==>.
(Ⅰ)当1a =时，求证：BD PC ⊥；
(Ⅱ)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥，
求此时二面角Q PD A --的余弦值.
1-2（10青岛一模19）下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，
SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.
（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;
（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.
1-3（11青岛一模18）．如图,PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面PDCE ⊥平面
A
B
Q
D
C
P A
B
C
M
S
N
侧视图
俯视图
4
ABCD ,90BAD ADC ∠=∠= ,1
2
AB AD CD a ==
=,PD =. (Ⅰ)若M 为PA 中点,求证://AC 平面MDE ;
(Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.
1-4（12青岛一模18）．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为平行四边
形，且2AD =，13AB AA ==，60BAD ∠=
，E 为
AB 的中点.（Ⅰ） 证明：1AC ∥平面1EBC ；（Ⅱ）求直线1ED 与平面1
EBC 所成角的正弦值.
答案：
1．（08青岛一模19）．(理) 证明（Ⅰ）当F 是棱PC 的中点，则有//BF 平面AEC
取PE 中点M ，连接,FM BM ，连接BD
交AC 于O ，连接OE
,F M 分别是,PC PE 的中点 //,FM CE ∴
又,FM AEC CE AEC ⊄⊂面面
//FM AEC ∴面…………3分
y
A
1
A D C
1D 1C 1
B B
E
又E 是DM 的中点
//,OE BM OE ⊂面,AEC BM ⊄面AEC //BM ∴面AEC 且BM FM M =
∴平面//BFM 平面ACE
又BF ⊂平面BFM
//BF ∴平面ACE …………6分
（Ⅱ）在底面是正方形的四棱锥ABCD P -中，2==AC PA ，6=
=PD PB ，
AB AD ∴==222222,PB PA AB PD PA AD ∴=+=+
,7PA AB PA AD PA ABCD ∴⊥⊥∴⊥ 面分
建立如图所示坐标系A xyz -
则有(0,0,0),(0,0,2),A P D O
B D ，且BD ⊥面PAC
∴面PAC
的法向量为1(n BD ==
…………9分 设面AEC 的法向量2(,,1)n x y =
,
由AC =
,2263OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
且220,0n OE n AC ⋅=⋅=
得
:
2202102
630x x y y n ⎧⎧=⎪-++=⎪⎪⇒⎨⎨⎪+==⎪⎩∴= 分
121212
cos ,n n n n n n ⋅∴<>==
P
M
∴二面角P AC E --的平面角的值为4
π
…………12分
1-1．（09青岛一模）20. 解：(Ⅰ)当1a =时，底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥ 又因为BD PA ⊥,BD ∴⊥面PAC …………………………2分 又PC ⊂面PAC
BD PC ∴⊥…………………………3分
(Ⅱ) 因为AP AD AB ,,两两垂直，分别以它们所在直线
为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，如图所示，令1AB =，可得BC a = 则)1,0,0(),0,,1()0,,0(),0,0,1(P a C a D B …………………4分 设m BQ =，则)0)(0,,1(a m m Q ≤≤
要使QD PQ ⊥，只要0)(1=-+-=⋅m a m QD PQ 即2
10m am -+=………6分 由0∆=2a ⇒=，此时1m =。

所以BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥
Q 为BC 的中点，且2=a …………………………8分设面PQD 的法向量)1,,(y x =
则00p QD p DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即⎩⎨⎧=+-=+-0
120y y x 解得)1,21,21(=…………………………10分 取平面PAD 的法向量)0,0,1(=
则〉〈.的大小与二面角Q PD A --的大小相等 所以6
6
.cos =
=
〉〈
因此二面角Q PD A --的余弦值为6
6
…………………………12分
1-2（10青岛一模） 19.(本题满分12分)
解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ， 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,, 所以OB AC SO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .
所以SB AC ⊥ …………4分
(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,
则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -
.
(4,0,0),AC SB ∴=-=-
.).2,0,1(),0,3,3(-==MN CM …………6分
设=n ),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,
则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅0
2033z x MN n y x CM n ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分
又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==CN CB 设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅0
2320322c b a b a ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,3
6
,2(-=…………10分 所以1133
3
33
3122|
|||,cos -=⨯
+--=
>=
<n m
所以二面角B NC M --的余弦值为
11
33
. …………12分
1-3（11青岛一模）18．（本小题满分12分）
(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中 点 ∴//MN AC …………2分
因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分
(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以
,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则),(,,0),(0,2,0)P B a a C a
(,,),(,,0)PB a a BC a a ==-
…………6分
设平面PAD 的单位法向量为1n
，
则可设1(0,1,0)n =
…………7分
设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =
，应有
22(,,1)(,,)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a n BC x y a a ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩
即：00ax ay ax ay ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩
，解得：2
x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，所以
2(,1)22
n = …………10分
∴12
121
cos 2
||||n n n n θ⋅===
…………11分 所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为1
2
…………12分 1-4（12青岛一模）18．（本小题满分12分）
解（Ⅰ） 证明：连接1BC ，11B C BC F = 因为AE EB =，1FB FC =,所以EF ∥1AC ……………2分
因为1AC ⊄面1EBC ，EF ⊂面1EBC 所以1AC ∥面1
EBC ……………4分
x
1
A
（Ⅱ）作DH AB ⊥，分别令1,,DH DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴,建立坐标系如图因为
60BAD ∠= ，2AD =，所以1AH =
，DH =
所以1
,0)2
E ，1(0,0,3)D ，(0,3,0)C
，1B ，……………6分
11135(,3),(0,,3),(,0)222
ED EB EC =-==
设面1
EBC 的法向量为(,,)n x y z =
,所以10n EB ⋅= ，0n EC ⋅=
化简得3
302
50
2
y z y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1y =
，则1)2n =- ………10分
设1,n ED θ=
，则11
cos 70n ED n ED θ⋅==-⋅
设直线1ED 与面1EB C 所成角为α，则
cos cos(90)sin θαα=+=-
所以sin 70
α=
，则直线1ED 与面1
EBC 所成角的正弦值
……12分。