函数模型及其应用

稿费(扣税前)为 C.3 800元 √
A.2 800元 B.3 000元
D.3 818元
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解析
答案
6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长
p＋1q＋1－1 率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________________.
解析 设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
解析 答案
斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.
3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油量最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时， 消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙 √ 车更省油
∴x＝ 1＋p1＋q－1.
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解析
答案
题型分类
深度剖析
题型一
用函数图象刻画变化过程
自主演练
1.高为H，满缸水量为 V的鱼缸的轴截面如图所示，其 底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深 为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是
解析 v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质 函数 性质
y＝ax(a>1)
递增 单调_____
y＝logax(a>1)
递增 单调______
y＝xn(n>0) 单调递增 相对平稳
随n值变化而各 有不同
在(0，＋∞)上的增减性 增长速度
1 解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－ (x－18)2＋142， 2 当x＝18时，L(x)有最大值.
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解析
答案
4.[P107A组T4]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，
要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_____. 3
解析 设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，
已知函数模型的实际问题
师生共研
典例 (1)(2017· 石家庄质检 ) 加工爆米花时，爆开且不
糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 “ 可食用率 ”.
在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t( 单位：分钟 )
满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记
录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 3.75 分钟. 可以得到最佳加工时间为______
知识梳理 1.几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) k f(x)＝ x ＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
越来越快
y轴 表现为与____ 平行
越来越慢
随x的增大逐渐 随x的增大逐
图象的变化
渐表现为与
x轴 平行 _____
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
【知识拓展】 1.解函数应用题的步骤
2.“对勾”函数 a 形如 f(x)＝x＋x (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
x0
n 0
(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大
于y＝xa(a>0)的增长速度.( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a· bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越
来越快的形象比喻.( × )
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题组二 教材改编 2.[P102例3]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，
解析 答案
思维升华
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模
型，再结合模型选图象.
(2) 验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的
变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合
实际情况的答案.
题型二
(1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a] 上单调递减.
(2)当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 某种商品进价为每件 100元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降 价，若按九折出售，则每件还能获利.( × ) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( × ) (3)不存在x0，使 a < x <logax0.( × )
24－4x 则 y＝x× 2 ＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，y最大.
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解析
答案
题组三 易错自纠
5.国家规定个人稿费纳税办法：不超过 800元的不纳税；超过 800元而
不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部
稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得
则下列说法中错误的是
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的
收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元 √
解析 答案
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3.[P104例5]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一 1 个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝ x2＋2x＋20(万元).一万 2 件售价为 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量 为_____ 18 万件.
解析 答案
√
2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳
定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间
T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如
图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是
√
解析 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线