宜宾市选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．过双曲线22
115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ） A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 2．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）
A ．22
B ．2
C ．322
D ．32
3．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6m ，已知行车道总宽度7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（ ）
A ．3.90m
B ．3.95m
C ．4.00m
D ．4.05m
4．已知双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若16MF =，则E 的离心率为（ ）
A 3
B ．2
C 5
D 2
5．设1F 、2F 分别是椭圆22:1259
x y C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）
A ．3
B ．33
C ．6
D ．9
6．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．12y x =±
B ．y x =±
C ．3y x =
D ．5y x = 7．设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-
,，则C 的离心率取值范围为（ ）
A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．(1,23
C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[2,23]
8．设F 1，F 2是双曲线C ：22
221x y a b
-=(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
A 30x y ±=
B ．270x =
C 320x y ±=
D ．230x ±=
9．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）
A ．2313e <<
B ．23e >
C ．3e >
D ．13e <<
10．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．(1,2]
B ．5
(1,]3 C ．[2,)+∞ D ．4
[,)3
+∞ 11．“04a <<”是“方程22
14x y a a
+=-表示为椭圆”的（ ） A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知点P 在双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P 不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．()2,+∞
B ．)2,⎡+∞⎣
C ．()1,2
D ．(
1,2⎤⎦ 二、填空题
13．若A ､B ､C 是三个雷达观察哨，A 在B 的正东，两地相距6km ，C 在A 的北偏东30°，两地相距4km ，在某一时刻，B 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1km /s ，4s 后A ､C 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P 的坐标___________.
14．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>右焦点(c,0)F 关于直线2y x =的对称点Q 在双曲线上，则双曲线的离心率是______．
15．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=平行，则双曲线的离心率为___________.
16．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-->>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线l 与双曲线
有唯一交点P ，若124sin 5F PF ∠=，则该双曲线的离心率为___________. 17．F 是抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，若10AF =，则OAB 的面积为__________.
18．已知抛物线218
y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，抛物线的准线与y 轴交于点M ，当AM AF
最大时，弦AB 长度是___________. 19．在双曲线22
221x y a b
-=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.
20．已知椭圆T 的中心在坐标原点，左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，(4,3)M -是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列，椭圆T 的标准方程________.
三、解答题
21．椭圆22
12516x y +=上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足1()2
OM OP OF =+（O 为坐标原点），则||OM =________．
22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =的距离为
2,A B ，为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .
（1）求抛物线C 的方程；
（2）求NAB △面积的取值范围.
23．已知P 是圆224x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，点M 满足
12
DM DP =
．当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）设()2,0A -，()2,0B ，Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点．求证：直线QA 、QB 的斜率之积为定值．
24．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C 的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上．
（1）求点N 的轨迹方程；
（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．
25．设命题:p 方程
2
2137x y a a +=-+表示双曲线；命题:q 不等式10a x -<对01x <≤恒成立. （Ⅰ）若命题p q ∨为真，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，求实数a 的取值范围.
26．已知点(-在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，E 的离心率为2
． （1）求E 的方程；
（2）设过定点(0,2)A 的直线l 与E 交于不同的两点,B C ，且COB ∠为锐角，求l 的斜率的取值范围．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】 求得两圆的圆心和半径，设双曲线2
2
115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】
解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =；
圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，
设双曲线
2
21
15
y
x-=的左右焦点为1(4,0)
F-，
2
(4,0)
F，
连接1
PF，
2
PF，
1
F M，
2
F N，可得
222222
1122
||||(||)(||)
PM PN PF r PF r
-=---
222
12
(||2)(||1)
PF PF
=---
22
121212
||||3(||||)(||||)3
PF PF PF PF PF PF
=--=-+-
1212
2(||||)32(||||)322328313
a PF PF PF PF c
=+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选：B．
【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．
2．C
解析：C
【分析】
根据抛物线的定义和性质，可以求出A的坐标，再求出直线AB的方程，可求出点B的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB的面积．
【详解】
抛物线24
y x
=的焦点为(1,0)
F，准线方程为1
x=-，
不妨设A在第一象限，设1(A x，1)y、2(B x，2)y，
||3
AF=，所以A到准线1
x=-的距离为3，
1
13
x
∴+=，
解得12
x=，
1
22
y
∴=，
∴直线AB2222
=
∴直线AB的方程为22(1)
y x
=-，
由
24
22(1)
y x
y x
⎧=
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，整理可得2
2520
x x
-+=，
解得12x =，212x =
当212
x =时，2y = 因此AOB 的面积为：
121111||||||||112222AOB AOF BOF S S S OF y OF y =+=+=⨯⨯⨯． 故选：C.
【点睛】
方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 3．B
解析：B
【分析】
设抛物线的方程为2
x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，求出a 的值，将 3.5x =代入抛物线方程，求出y 的值，即可得解.
【详解】
设抛物线的方程为2
x ay =，可知点()5,5-在该抛物线上，则255a -=，解得5a =-， 所以，抛物线的方程为2
5x y =-，
将 3.5x =代入抛物线方程得25 3.5y -=，解得 2.45y =-，
因此，车辆通过隧道的限制高度为()7 2.450.6 3.95m --=.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义. 4．A
解析：A
【分析】
由点到直线的距离公式可得2||MF b =，由勾股定理可得||OM a =，则1MF =，1
cos a FOM c
∠=-，由此利用余弦定理可得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得答案．
【详解】 由题得2(,0)F c ，不妨设:0l bx ay -=，
则
2||MF b ==，
OM a ==，
1MF =，
12cos cos a FOM F OM c
∠=-∠=-， 由余弦定理可知
222222111||||622OM OF MF a c a a OM OF ac c
+-+-==-⋅， 化为223c a =，
即有=
=c e a
故选：A ．
【点睛】 方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ；②构造,a c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
5．D
解析：D
【分析】
设点()00,P x y ，求出2
0y 的值，由此可求得12PF F △的面积. 【详解】 在椭圆22
:1259
x y C +=中，5a =，3b =
，则4c ==，所以，1228F F c ==，
设点()00,P x y ，则22001259
x y +=，可得220025259x y =-，
4OP ===，解得208116y =，094y ∴=， 因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =
⋅=⨯⨯=△. 故选：D.
【点睛】
方法点睛：本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，常用以下两种方法求解： （1）求出顶点P 的坐标，利用三角形面积公式求解；
（2）利用余弦定理和椭圆的定义求得12PF PF ⋅的值，利用三角形面积公式求解. 6．D
解析：D
【分析】
设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由b y x a
=±
可得渐近线方程. 【详解】
设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，
当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小， ()2mi 2n 1PF PQ EF =-+， 所以2418EF +-=，解得25EF =，
设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，
因为2a =，所以b =，
所以双曲线的渐进线为：b y x x a =±
=， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n 1PF PQ EF =-+求出25EF =. 7．A 解析：A
【分析】
根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据
55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦
-,列出关于e 的不等式，求解范围. 【详解】 取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以
222
22222
224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 2
21111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e ，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，
即
2
2
4990 2116160
e e
e e
⎧--≤
⎨
--≥
⎩
，解得
4
3
3
≤≤
e.
故选：A.
【点睛】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式
c
e
a
=；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222
b c a
=-转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或2a转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．
8．C
解析：C
【分析】
利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理找出a,c的等量关系,从而可求a,b的比值，即可得出双曲线C的渐近线方程．
【详解】
解：因为F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，
所以由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
又知|PF1|＋|PF2|＝4a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理可得
222
1212
12
||||||
cos60=
2||||
PF PF F F
PF PF
+-
⋅
，
即
222
(3)41
=
232
a a c
a a
+-
⨯⨯
，所以3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，
所以
2
23
=
4
b
a
，所以双曲线C的渐近线方程为
3
2
y x
=±320
x y
±=.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，再利用余弦定理解三角形是
解答本题的关键．
9．B
解析：B 【分析】
设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出
12MF F △为等边三角形，可得出tan 30b
a >，再由公式2
1b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
可求得该双曲线离
心率的取值范围. 【详解】 如下图所示：
设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，
由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上， 由对称性可得21122MF MF F F c ===，22
113MO MF OF c =-=，
所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=， 所以，双曲线的渐近线b y x a =
的倾斜角α满足30α>，则123
tan b PF F a >∠= 因此，该双曲线的离心率为2
22222
2313c c a b b e a a a a +⎛⎫====+> ⎪⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率
e 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
10．A
解析：A 【分析】
根据题中条件，由双曲线的定义，得到2PF a =，13PF a =，根据1212+≥PF PF F F ，即可求出结果. 【详解】
因为点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又213PF PF =，所以222PF a =，即2PF a =，则13PF a =， 因为双曲线中，1212+≥PF PF F F ，
即42a c ≥，则
2c
a
≤，即2e ≤， 又双曲线的离心率大于1，所以12e <≤. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可.
11．C
解析：C 【分析】
根据方程22
14x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断
出“04a <<”是“方程22
14x y a a
+=-表示椭圆”的条件.
【详解】
若方程22
14x y a a
+=-表示椭圆，
则0404a a a a >⎧⎪
->⎨⎪≠-⎩
，解得02a <<或24a <<， 记为{}
02,24A a a a =<<<<或， 又记{}
04B a a =<<，A
B
则“04a <<”是“方程22
14x y a a
+=-表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.
12．C
解析：C 【分析】
把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，
则||PA ==
又∵点P 在双曲线上，
∴2200221x y a b -=，即2222002
b x y b a
=-，
∴||PA ==
=
．
当PA 最小时，02
24202a a
x e e
-=-=>． 又点P 不在顶点位置，
∴
22a
a e
>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴
1e <<
故选：C ． 【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．
二、填空题
13．【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上联立方程即可得解【详解】由题意点即则线段的中点为直线的斜率所以线段的垂直平分线的斜率所以线段的垂直平分线的
解析：(-
【分析】
转化条件为点P 在线段AC 的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解.
【详解】
由题意，点()3,0A ，()3,0B -，()
34cos60,4sin 60C +
即(5,C ， 则线段AC
的中点为(，直线AC
的斜率AC k ==， 所以线段AC
的垂直平分线的斜率k =， 所以线段AC
的垂直平分线的方程为)4y x =-
即y x =+
， 设(),P x y ，由PA PC =可得点P 在线段AC 的垂直平分线上，
又46PA PB AB -=<=，所以点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，
该双曲线的方程为()22
1245
x y x -=≤-，
所以22
1452x y x y x ⎧-
=⎪⎪⎪≤-⎨⎪
⎪=+
⎪⎩
，解得8
x y =-⎧⎪⎨
=⎪⎩. 所以点P
的坐标为(-.
故答案为：(-. 【点睛】 关键点点睛：
解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P 为线段AC 的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解.
14．【分析】由题意可得Q 点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出
【分析】
由题意可得Q 点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率. 【详解】
设(,)Q m n ，则FQ 中点(
,)22+m c n
，=-FQ n k m c
由题意可得32522
4215c n
m c m n c n m c +⎧⎧=-=⨯⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⨯=-=⎪⎪-⎩⎩
，
由(,)Q m n 在双曲线上，可得
2222
42242222234()()9165511950250
2525()
-
-=⇒-=⇒-+=-c c c c c a c a a b a c a 两边同除4a ，可得42950250e e -+=
，解得3
==e e （舍）
【点睛】
关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
15．【分析】由双曲线的一条渐近线与直线平行求得进而求得双曲线的离心率得到答案【详解】由题意双曲线的渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线与直线平行可得即则故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其
【分析】
由双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，求得1
2
b a =，进而求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】
由题意，双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a
=±，
因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=平行，
可得12b a -=-，即12b a =
，则2c e a ===
.
. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
16．或【分析】首先设出直线的方程与双曲线方程联立求得点的坐标利用弦长公式求得并根据定义表示中根据余弦定理表示再求离心率【详解】如图当直线与渐近线平行时与双曲线有唯一交点设与双曲线方程联立得解得：中由余弦
【分析】
首先设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，求得点P 的坐标，利用弦长公式求得1PF ，并根据定义表示2PF ，12F PF △中，根据余弦定理表示122
8
1cos 3
F PF e ∴-∠=+，再求离心率. 【详解】
如图，当直线与渐近线平行时，l 与双曲线有唯一交点P ，设():b
l y x c a
=
+，与双曲线方程联立，得2
2
2cx a c -=+，解得：22a c
x c
+=-，
()22222
122
122P b c a c b PF x c c a a c a +=+--=-+=， 22
21422b a PF PF a a +=+=
，122F F c =， 12F PF △中，124sin 5F PF ∠=
，123cos 5
F PF ∴∠=±， 由余弦定理2
2
2
12
1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠
()
()2
12
121221cos PF PF PF PF F PF =-+-∠，
()()()2222
2122
44221cos 4b a b c a F PF a
+∴=+⋅
-∠，
221222222888
1cos 433
a a F PF
b a
c a e ∴-∠===
+++， 当123cos 5F PF ∠=
时，2
82
35e =+，17e =， 当123cos 5F PF ∠=-
时，2
88
35
e =+，2e =，
172 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.
公式法：c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
17．【分析】设点为第一象限内的点设点利用抛物线的定义可求得点的坐标可得出直线的方程将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理求出的值由此可求得的面积【详解】设点为第一象限内的点设点抛物线的准线方程为由抛 解析：
103
【分析】
设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，可得出直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出12y y -的值，由此可求得OAB 的面积. 【详解】
设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
抛物线2
4y x =的准线方程为1x =-，由抛物线的定义可得1110AF x =+=，解得
19x =，
由于点A 为第一象限内的点，则10y >
，可得16y ==，即点()9,6A ，
直线AF 的斜率为63914
AF k =
=-，所以，直线AB 的方程为()3
14y x =-，即
4
13
x y =
+， 联立2413
4x y y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理可得2
16403y y --=， 由韦达定理可得12163y y +=，21161626333
y y ∴=
-=-=-， 因此，1211210
162233
OAB S OF y y =⋅-=⨯⨯+=△. 故答案为：103
. 【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.
18．【分析】作出图形过点作垂直于抛物线的准线于点可得出可知当取最小值时即直线与抛物线相切时最大可求出直线的斜率求出点的坐标利用对称性可求得点的坐标抛物线的焦点弦长公式进而可求得弦的长度【详解】设点为第一 解析：8
【分析】
作出图形，过点A 作AE 垂直于抛物线2
18
y x =
的准线于点E ，可得出1
sin AM AF AME
=∠，可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，
AM AF 最大，可求出直线AM 的斜率，求出点A 的坐标，利用对称性可求得点B 的坐标，抛物线的焦点弦长公式，进而可求得弦AB 的长度. 【详解】
设点A 为第一象限内的点，过点A 作AE 垂直于抛物线2
18
y x =的准线于点E ，如下图所示：
由抛物线的定义可得AE AF =，则1
sin AM AM AF AE AME
==∠， 可知当AME ∠取最小值时，即直线AM 与抛物线相切时，AM
AF
最大，
抛物线2
18
y x =
的焦点为()0,2F ，易知点()0,2M -. 当直线AM 与抛物线2
18
y x =
相切时，直线AM 的斜率存在， 设直线AM 的方程为2y kx =-，联立22
8y kx x y
=-⎧⎨=⎩，消去y 得28160x kx -+=，
264640k ∆=-=，因为点A 在第一象限，则0k >，解得1k =，
方程为2
8160x x -+=，解得4x =，此时，2
28
x y ==，即点()4,2A ，
此时AB y ⊥轴，由对称性可得()4,2B -， 因此，448AB =+=. 故答案为：8 【点睛】
方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++或12AB y y p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
19．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所
解析：5 【分析】
首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为
24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心
率. 【详解】
设12PF PF >，并且122PF PF a -=，
12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，
则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又
1290F PF ∠=，()()22
224224c a c a c ∴-+-=，
整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，
2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），
所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.
20．【分析】根据题意结合椭圆定义可得设代解得代回方程即可【详解】解：因为是椭圆上一点且成等差数列所以所以故椭圆方程可设为代解得所以椭圆方程为故答案为：【点睛】椭圆几何性质的应用技巧：（1）与椭圆的几何性
解析：22
12015
x y +=
【分析】
根据题意结合椭圆定义可得2a c =，设22
22143x y c c
+=代(4,M 解得25c =代回方程即
可.
【详解】
解：因为M 是椭圆上一点，且1MF ，12F F ，2MF 成等差数列
所以2121224MF a MF F F c ===+，所以2a c =，b =
故椭圆方程可设为22
22143x y c c +=代(4,M 解得25c =
所以椭圆方程为22
12015x y +=
故答案为：22
12015
x y +=
【点睛】
椭圆几何性质的应用技巧：
（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形；
（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如：
,,01a x a b y b e -≤≤-≤≤<<，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或
最值时，要注意应用这些不等关系.
三、解答题
21．2 【分析】
根据222a c b -=求出左焦点F 的坐标，然后设P 的坐标00(,)P x y ，根据两点间的距离公式求出P 到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得P 的坐标，由1
()2
OM OP OF =
+得到M 为PF 的中点，根据中点坐标公式求出M 的坐标，利用两点间的距离公式求出
||OM 即可．
【详解】
由椭圆22
12516
x y +
=得5a =，4b =， 左焦点(3,0)F -，设00(,)P x y ，则()2
2
00336x y ++=又22
0012516
x y +=
解得053
x =
或055
3x =-（舍去）；
又P 在椭圆上，则将053
x =
代入到椭圆方程中求出0y =
所以点5(3P
，；
由点M 满足1
()2
OM OP OF =
+，则得M 为PF 中点，
根据中点坐标公式求得2,3M ⎛- ⎝⎭， 所以||(2OM =-=
故答案为：2. 【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，属于中档题． 22．（1）24y x =；（2）(0,4].
【分析】
（1）利用抛物线焦点F 到直线l 的距离为
2
，求出抛物线方程； （2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围． 【详解】 （1）,02p F
⎛⎫
⎪⎝⎭
由
p
d ==
，解得2p = 所以抛物线方程为2
4y x =
（2）设直线AB 的方程为：22
1212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
联立方程组24y x x my t
⎧=⎨=+⎩，消去x 得2
440y my t --=
所以121244y y m
y y t
+=⎧⎨
=-⎩，
得(2,2)M m m
有22
12444
y y m +=，即()21212216y y y y m +-= 所以222t m m =- 点N 到AB 的距离
h =
||AB ==
所以1
||2|2|2
NAB
S
AB h m t =⋅⋅=+
42m m =-
令u =u = 由2
4y x
y x
=⎧⎨
=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)， 因点M 在l 上可得(0,2)m ∈ 所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NAB
S
u =∈
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式，解决本题的关键点是由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法和函数的性质得出NAB △的面积的取值范围，考查了学生计算能力，属于中档题．
23．（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）令()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，由已知条件，结合向量的坐标表示有
002x x y y
=⎧⎨
=⎩，由P 是圆22
4x y +=上一点，即可求Γ的方程； （2）由（1）知Q 是曲线Γ上不同于A 、B 的任意一点，则存在QA k 、QB k ，令()11,Q x y 即可得21214
QA QB y k k x ⋅=-，即可证斜率之积为定值． 【详解】
解：（1）设()00,P x y ，(),M x y ，则()0,0D x ，
由1
2DM DP =得：00
2x x y y =⎧⎨=⎩．
由题意，22004x y +=，得22
44x y +=．
所以，曲线的方程为2
214
x y +=．
（2）证明：设()11,Q x y ，则2
21114
x y +=．
由题意知：QA k 、QB k 存在. ∴112QA y k x =
+，1
12
QB y k x =-． ∴2121144
QA QB
y k k x ⋅==--， ∴直线QA 、QB 的斜率之积为定值1
4
-． 【点睛】 关键点点睛：
（1）应用向量的坐标表示，找到M 点坐标与点P 的坐标间的数量关系，由P 是圆
224x y +=上求M 的轨迹方程.
（2）由已知，根据直线斜率的坐标表示可得QA QB k k ⋅关于Q 坐标的数量关系，进而可证结论.
24．（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析. 【分析】
（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．
（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为
()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得
到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设
()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．
【详解】
（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -， 设(,)N x y 是2
2
2
:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点，
弦MN 的中点2,22r x y -+⎫
⎛
⎪⎝
⎭恰好落在y 轴上， 202
r x
-+∴
=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+， 整理得2
8y x =，2r >，0x ∴>，
∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>．
解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ⎫
⎛ ⎪⎝
⎭
，(,0)M x -， 因为M 在x 轴的负半轴上，故0x >．
()2,,2,2y CQ MN x y ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭，
由垂径定理得CQ MN ⊥，故2
2220,8(0)2
y x y x x -⨯+=∴=>．
（2）证法一：设直线NB 的方程为2x my =+，则
由282
y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>． 设()11N x y ,，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-，
11
ON y k x ∴=
，∴直线ON 的方程为1
1y y x x =， ∴令2x =-，则112y y x -=
，1122,y A x ⎫
⎛-∴-⎪ ⎝⎭
． 设点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，与2
8y x =相切，
由()222
8y y k x x y x
⎧-=-⎨
=⎩，消去x ，整理得
()222880ky y y kx -+-=，22220k x ky ∴∆=-+=，
()22
222220408y k ky y k -+=⇒-=，2
4BD k y ∴=， ∴直线()222
4
:BD y y x x y -=
-，令0x =，则 2
22222244x x y y y y y --+=+=22222484x x x y y -+==，2240,x D y ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭
， 212122*********
24AD x y x y y k y x y x y ⎫⎛∴=+=+=+⎪ ⎝⎭12
113244y y y y +==， 1212
4416
1AD BD k k y y y y ∴⋅=
⋅==-，AD BD ∴⊥． 证法二：设()()000,0N x y x >，则直线ON 的方程为00y y x x =，0022,y A x ⎫⎛∴--⎪ ⎝
⎭， 设直线NB 的方程为2x my =+，
则由282
y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得2
8160y my --=，264640m ∆=+>，
设()11,B x y ，则101200016
321616,y y y B y y y ⎫⎛=-⇒=-
⇒-⎪ ⎝⎭
， 由抛物线的对称性，不妨设B 在x 轴下方， 则由曲线28y x =
，得y y '=-⇒=-=，
切线的斜率为
4y k ===-， 切线方程为020016324y y x y y ⎫
⎛+
=--⎪ ⎝⎭，则080,D y ⎫⎛⎪ ⎝⎭
， 020
000283282,,y AD BD x y y y ⎫⎫
⎛⎛⋅=-⋅-⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭
22000000
641664641664
088AD BD y x y x x x =-
+-=-+-=⇒⊥． 【点睛】
思路点睛：（1）求动点的轨迹方程，几何法、动点转移法、参数法等．
（2）直线与抛物线的位置关系中的定值问题，一般联立直线方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简目标代数式，涉及到切线范围，可借助导数来求切线的斜率． 25．（Ⅰ）(,3)a ∈-∞；（Ⅱ）(,7][1,3)a ∈-∞-⋃. 【分析】
（Ⅰ）分别求出命题,p q 为真时a 的范围，然后由或命题为真的真值表求解； （Ⅱ）命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，则,p q 是一真一假，由此可得参数范围． 【详解】
（Ⅰ）当命题p 为真时，由题意()()370a a -+<，解得73a -<<.
当命题q 为真时，由题意可得min
1a x ⎛⎫
< ⎪
⎝⎭，由此可得1a <.
若命题p q ∨为真命题，则73a -<<或1a <， 即(,3)a ∈-∞.
（Ⅱ）命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，则p ，q 一真一假.
p 真q 假时，73,
1,
a a -<<⎧⎨
≥⎩13a ∴≤<，
p 假q 真时，7?3,?
1,a a a ≤-≥⎧⎨
<⎩
或7a ∴≤-，
综上，(,7][1,3)a ∈-∞-⋃. 【点睛】
方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：
26．
（1）22
:14
x E y +=；（2）32,,2
⎛⎛⎫-
⎪⎝
⎭⎝⎭. 【分析】
（1）由点在椭圆上及椭圆离心率的定义列方程可得2
1a b c ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩，即可得解；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，转化条件为0OC OB ⋅>，运算即可得解. 【详解】 （1）
点⎛- ⎝⎭在椭圆2
2
2
21(0)x y a b a
b
+=>>上，∴221314a b +=，
∴2c
e a ==，
由222a b c =+解得2
1a b c ⎧=⎪
=⎨⎪
=⎩，
∴轨迹2
2:14
x E y +=；
（2）依题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，
∴设:2l y kx =+，1122(,),(,)B x y C x y ，
∴22
214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理有：()221416120k x kx +++=， ∴()221648(14)0k k ∆=-+>得k >
k <，。