【数学】浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高二下学期期中考试试题

减。………4 分
(II) 由（I）知当 a 0 时显然不符合题意。
当 0 1 1，即 a 1 时， f (x) 在 1, 上单调递减，又 f 1 0 ，所以 f (x) 0 在 1, 上
a 恒成立，无零点，不符合题意．
当
1 1 ，即 0 a 1 时， a
f (x)
在
1,
1 a
上
单
x0
1 a
,
且0
a
1 ，由 ln
x0
a( x0
1)
要证 x0
1
2 a
，即证 x0
1 ln x0
x0 1
2 ，即证 ln x0
2 x0 1
x0 1
令 h(x)
ln
x
2 x 1
x 1
，则 h(x)
1 x
x
4
12
x 12 x x 12
0
，
h(x) 在 1, 上递增， h(x) h(1) 0 ，
.
6
6
……14 分
19. (本小题满分 15 分)
解析：(I) f (x) sin x cos x 2 sin(x ) ， 4
………2
分
f (x ) 2 sin(x ) ，由函数 f (x ) 是偶函数得 sin( ) 1，…4 分
4
4
k
故 k
,
故
ln
x0
2 x0 1
x0 1
，由此
x0
1
2 a
……15
分
g(t) g(1) 2 e 0 故 g (t) 在 1, 上递减，因此 g (t) g (1) 2 e 0 ，
1
即 f (ea ) 0
故
f
(x)
在 1,
1 a
上无零点，在
1 a
,
上有唯一零点．
综上，满足条件的实数 a 的取值范围是 0,1 ……10 分
(III)证明：由(II)得，
x
0,
2
， x ， tan 2x tan 2
3
3
3
………6 分
（II）
a与b
的夹角为
2
， cos
a, b
a b
sin x
3 cos x 1 ，……8 分
3
ab
2 1
2
sin( x
3
)
1 2
，
x
0,
2
，
x
3
3
, 6
， x
3
6
，………13
分
即x
.
故 x 的值为
即
gk
(x)
x kx 1
，
x
则当 n
k
1 时，
g k 1 ( x)
g(gk (x))
gk (x) = gk (x)+1
kx 1
x
x 1 (k 1)x 1
kx 1
即结论成立．
由①②可知，结论对 n N * 恒成立． ………15 分
21. (本小题满分 15 分)
解析：(I) 由题意得 a＝1 时，令 x x 2 1 0 ,当 x 2 时， x(x 2) 1 0 ，
解得 x 1 2 ；
当 x 2 时， x(x 2) 1 0 ，解得 x 1 . 故函数 y f (x) 的零点为1 2 和 1…4 分
(II)
f
(
x)
x2 2ax 1,
x2
2ax
1,
x
x 2a, 2a,
其中 f (0) f (2a) 1 ,
由于
a
0,
3 2
于是最大值在 f (1), f (2), f (2a) 中取．
………6 分
当 0 2a 1，即 0 a 1 时， f (x) 在 1, 2上单调递减，
2 故 f (x)max f (1) 2a ；
当 a 1 2a 2 ，即 1 a 1时，f (x) 在1, 2a 上单调递增，2a, 2
2 上单调递减，故 f (x)max f (2a) 1 ；
x
x) 1
x 1 x ， x 1 2x 1
x 1
……5 分
x
g3 ( x)
g(g2
(x))
g(
x) 2x 1
2x 1 x ， x 1 3x 1
2x 1
可猜想
gn (x)
x nx 1
………9 分
下面用数学归纳法证明．
①当 n
1 时，
g1 ( x)
x ，结论成立． x 1
②假设当 n k (k 1, k N *) 时结论成立，
参考答案
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1. C
2. C 3. A 4. A 5. C 6. B 7.B
8. D
9. D
二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题 每小题 6 分，单空题 每小题 4 分，共 36 分)
10. A
11. 1 , 2
12. 3
13.
；3
，
的值为 3
和
.
…7 分
42
4
44
（II） f (x)
2 sin(x
),
f(
A)
2 sin(
A)
6
，
4
42
22 2
sin( A) 3 A 为 ABC 的内角， A .
22 2
3
………9 分
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，得 b2 c2 bc 4 。由 b2 c2 2bc ， 知 bc 4 。…13 分
SABC
1 bc 2
sin
A
1 2
4
3 2
3 . 于是 ABC 的面积的最大值为
3 .…15 分
20. (本小题满分 15 分)
解析：(I) f (x) 1 ， k f (0) 1 ，在原点处的切线方程为 y x …3 分 x 1
x
（II）由已知，
g2
(x)
g ( g1 ( x))
g(
2a, 0
a
1, 2
综上，
f
( x) max
1,
1 2
a
1,
5
4a,1
a
3, 2
………11 分
(III) x 0, 时 ，f (x)max 1，故问题转化为在给定区间内 f (x) 1恒成立．
因 f (a) a2 1，分两种情况讨论：
当 a2 1 1 时， T (a) 是方程 x2 2ax 1 1的较小根，
当1 a 2 2a ，即1 a 2 时， f (x) 在 1, a 上单调递减，a, 2 上单调递增，
故 f (x)max max f (1), f (2) ；因为 f (1) f (2) (2 2a) (5 4a) 2a 3 0 ，
故 f (x)max f (2) 5 4a 。
即 a 2 时， T (a) a a2 2 ；
当 a2 1 1 时， T (a) 是方程 x2 2ax 1 1 的较大根，
即 0 a 2 时， T (a) a a 2 2 ；
综上
T
(a)
a
a2 2,a
2,
a a2 2, 0 a 2,
………15 分
22. (本小题满分 15 分)
解析(I)由题意知， f (x) 的定义域为 0, ， f (x) 1 a 1 ax
x
x
2 当 a 0 时， f (x) 0 恒成立， f (x) 在 0, 上单调递增。
②当 a 0
时，令 f (x) 0
，则 x 1 a
，
f
(x)
在பைடு நூலகம்
0,
1 a
上单调递增，在
1 a
,
上单调递
调
递
增
，
在
1 a
,
上
单
调
递
减
，
所
以
f
1 a
ln
1 a
a
1
f
(1)
0 ，又
f
1
(ea )
1 a
1
aea
a
a(
1 a2
1
1ea )
,令 t
1 a
1，
设 g(t) t 2 1 et ，则 g(t) 2t et ， g(t) 2 et 0 （ t 1） g(t) 在 1, 上
递减
3
14. 8 3
15.
2, ;
1 2
,
5
16. 1, 0
17. 8,1
三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18. （本小题满分 14 分）
解析：(I)
a
b
，
a
b
0
，故 sin x 3 cos x 0 ， tan x
3
………4 分