九龙县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

九龙县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．设集合（）
A．B． C．
D．
2．已知e为自然对数的底数，若对任意的
1
[,1]
x
e
∈，总存在唯一的[1,1]
y∈-，使得2
ln1y
x x a y e
-++=
成立，则实数a的取值范围是（）
A.
1
[,]e
e
B.
2
(,]e
e
C.
2
(,)
e
+∞ D.
21
(,)
e
e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
3．方程1
x-=表示的曲线是（）
A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆4．已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{a n}的前28项之和S28=（）
A．7 B．14 C．28 D．56
5．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）
A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3
6．=（）
A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i
7．圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的1
2
，则圆锥的体积（）
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的16
8． 若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）
A ．
＞
B ．＞
C ．|a|＞|b|
D ．a 2＞b 2
9． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →
|为（ ）
A ．1 B.4
3
C.53
D ．2
10．数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2
（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
11．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________.
12．已知实数x ，y 满足约束条，则z=
的最小值为 ．
13．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．
14．函数
的定义域为 ．
15．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 16．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．
三、解答题
17．已知函数f （x ）=|x ﹣10|+|x ﹣20|，且满足f （x ）＜10a+10（a ∈R ）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a 的取值集合A
（Ⅱ）若b ∈A ，a ≠b ，求证a a b b ＞a b b a
．
18．（本小题满分12分）
已知圆M 与圆N ：2
22)35()35(r y x =++-关于直线x y =对称，且点)3
5,31(-D 在圆M 上.
（1）判断圆M 与圆N 的位置关系；
（2）设P 为圆M 上任意一点，)35,1(-A ，)3
5,1(B ，B A P 、、三点不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交
AB 于G . 求证：PBG ∆与APG ∆的面积之比为定值.
19．已知向量
，
，．
（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 的取值范围；
（2）若在△ABC 中，∠B 为直角，求∠A ．
20．如图：等腰梯形ABCD ，E 为底AB 的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED 折成四棱锥A ﹣BCDE ，使AC=．
（1）证明：平面AED ⊥平面BCDE ； （2）求二面角E ﹣AC ﹣B 的余弦值．
21．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1
(1)n n
b n a =+，求数列{}n b 的前项和为n T .
22．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD 绕
AD 旋转一周所成几何体的表面积．
九龙县高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，
集合B中的解集为x＞，
则A∩B=（，+∞）．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．【答案】B
【解析】
3．【答案】A
【解析】
试题分析：由方程1
x-=，即22
x-=22
1
x y
-++=，所
(1)(1)1
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.
考点：曲线的方程.
4．【答案】C
【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．
∴函数f（x）关于直线x=1对称，
∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），
∴a6+a23=2．
则{a n }的前28项之和S 28==14（a 6+a 23）=28．
故选：C ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n 项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
5． 【答案】C
【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，
即2，﹣1是f ′（x ）=0的两个根，
∵f （x ）=ax 3+bx 2
+cx+d ， ∴f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c ， 由f ′（x ）=3ax 2
+2bx+c=0，
得2+（﹣1）==1，
﹣1×2=
=﹣2，
即c=﹣6a ，2b=﹣3a ，
即f ′（x ）=3ax 2+2bx+c=3ax 2
﹣3ax ﹣6a=3a （x ﹣2）（x+1），
则=
==﹣5，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．
6． 【答案】 B
【解析】解： =
=
=i ．
故选：B ．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2
113
V r h π=，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则体积为2
22111(2)326V r h r h ππ=⨯=，所以12
2V V =，故选A.
考点：圆锥的体积公式.1
8． 【答案】A 【解析】解：∵a ＜b ＜0，
∴﹣a ＞﹣b ＞0，
∴|a|＞|b|，a 2＞b 2
，
即，
可知：B ，C ，D 都正确， 因此A 不正确． 故选：A ．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
9． 【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ）， ∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →
，
∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y 即x ＝2，y ＝53
，
∴CD →
＝（2，53）－（2，0）＝（0，53
），
∴|CD →
|＝02＋（53）2＝53，故选C.
10．【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=+6x ﹣1，可得f ′（x ）=x 2﹣8x+6，
∵a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，
∴a 2014，a 2016是方程x 2
﹣8x+6=0的两实数根，则a 2014+a 2016=8．
数列{a n }中，满足a n+2=2a n+1﹣a n ， 可知{a n }为等差数列，
∴a 2014+a 2016=a 2000+a 2030，即a 2000+a 2012+a 2018+a 2030=16， 从而log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）=log 216=4． 故选：C ．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．
二、填空题
11．【答案】26 【解析】
试题分析：由题意得，根据等差数列的性质，可得371177362a a a a a ++==⇒=，由等差数列的求和
11313713()
13262
a a S a +=
==．
考点：等差数列的性质和等差数列的和．
12．【答案】 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=
=32x+y ，
设t=2x+y ， 则y=﹣2x+t ， 平移直线y=﹣2x+t ，
由图象可知当直线y=﹣2x+t 经过点B 时，直线y=﹣2x+t 的截距最小， 此时t 最小．
由
，解得
，即B （﹣3，3），
代入t=2x+y 得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t 最小为﹣3，z 有最小值为z==3﹣3=
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
13．【答案】
．
【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．
数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），
∴b 2=3，则=
，
故答案为
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
14．【答案】 [﹣2，1）∪（1，2] ．
【解析】解：要使函数有意义，需满足，解得：﹣2≤x ≤2且x ≠1，
所以函数的定义域为：[﹣2，1）∪（1，2]． 故答案为：[﹣2，1）∪（1，2]．
15．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换．
16．【答案】 ﹣1054 ．
【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2
﹣3x+b n =0的两根，
∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ， ∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．
则b 5=2×17×（﹣31）=1054．
故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．【答案】
【解析】解（1）要使不等式|x ﹣10|+|x ﹣20|＜10a+10的解集不是空集， 则（|x ﹣10|+|x ﹣20|）min ＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x ﹣10|+|x ﹣20|≥|（x ﹣10）﹣（x ﹣20）|=10， 即（|x ﹣10|+|x ﹣20|）min =10， 所以，10＜10a+10，解得a ＞0，
所以，实数a 的取值集合为A=（0，+∞）； （2）∵a ，b ∈（0，+∞）且a ≠b ，
∴不妨设a ＞b ＞0，则a ﹣b ＞0且＞1，
则
＞1恒成立，即
＞1，
所以，a a ﹣b ＞b a ﹣b
，
将该不等式两边同时乘以a b b b
得，
a a
b b ＞a b b a ，即证．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．
18．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，
DM r =,然后根据圆心距MN 与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和BP 的距离相等，所以两个三角形的面积比值PA
PB
S S APG PBG =
∆∆,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求PB 和PA ,最后得到其比值.
试题解析：（1） ∵圆N 的圆心)35,35
(-N 关于直线x y =的对称点为)3
5,35(-M ， ∴9
16)3
4(||2
2
2
=
-==MD r ， ∴圆M 的方程为9
16
)35()35(22=
-++y x .
∵3
8
23210)310()310(||22=>=+=r MN ，∴圆M 与圆N 相离.
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1
19．【答案】
【解析】解：（1）…（2分）
∵A，B，C不共线，
∴2m≠m﹣2即m≠﹣2…（4分）
（2）
∴m=3…（7分）
，
…（10分）
【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．
20．【答案】
【解析】（1）证明：取ED的中点为O，
由题意可得△AED为等边三角形，
，，
∴AC2=AO2+OC2，AO⊥OC，
又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，
∴平面AED⊥平面BCDE；…
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E （0，﹣1，0），A （0，0，
），C （，0，0），B （，﹣2，0），
，
，，
设面EAC 的法向量为，
面BAC 的法向量为
由，得
，∴
，
∴，
由，得
，∴，
∴，
∴
，
∴二面角E ﹣AC ﹣B 的余弦值为
．…
2016年5月3日
21．【答案】（1）n a n 2=；（2）=
n T )
1(2+n n
.
考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．
22．【答案】
【解析】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的
几何体，如右图：
S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=
πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===。