2020年吉林省四平市公主岭大榆树中学高一数学文期末试题含解析

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2020年吉林省四平市公主岭大榆树中学高一数学文期末试题含解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 角的终边过点P(4,-3),则的值为[ ]
A.4 B.-
3 C. D.
参考答案:
C
2. 下列四种说法正确的个数有()
①若A,B,C为三个集合,满足,则一定有;
②函数的图像与垂直于x轴的直线的交点有且仅有一个;
③若,则;
④若函数f(x)在[a,b]和[b,c]都为增函数,则f(x)在[a,c]为增函数.
A. 1个
B. 2个
C. 3 个
D. 4个
参考答案:
C
3. 已知等差数列的首项=1,公差=2,则等于 ()
A.5B.6 C.7 D.9
参考答案:
C
4. (4分)已知函数f(x)=,g(x)=asin(x+)﹣2a+2(a>0),给出下列结论,其中所有正确的结论的序号是()①直线x=3是函数g(x)的一条对称轴;
②函数f(x)的值域为;
③若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是;
④对任意a>0,方程f(x)=g(x)在内恒有解.
A.①②B.①②③C.①③④D.①②④
参考答案:
B
考点:分段函数的应用.
专题:计算题;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.
分析:运用三角函数的对称轴的定义,即可判断①;
分别运用一次函数和分式函数的单调性,即可判断得到值域,再求并集即可判断②;由f(x)的值域和g(x)的值域的关系,解不等式即可判断③;
由f(x)的值域和g(x)的值域的包含关系,令a=10,即可判断④.
解答:对于①,g(x)=asin(x+)﹣2a+2=﹣acos x﹣2a+2,
由g(3)=﹣acosπ﹣2a+2=2﹣a,取得最大值,故①对;
对于②,当0时,f(x)=﹣x∈;
当≤1时,f(x)=═2﹣8
而<x+2≤3,令z=x+2,则z∈(,3],
双钩型函数h(z)=2(z+)﹣8在z∈(,3]上单调递增,
∴h()=﹣8=,h(z)max=h(3)=,
∴当x∈(,1)时,f(x)的值域为(,];
∴函数f(x)的值域为,故②对;
对于③,若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2)成立,
则0≤2﹣3a≤或0≤2﹣a≤,
解得≤a≤或≤a≤,由于<,
∴∪=.故③对;
对于④,g(x)=asin(x+)﹣2a+2=﹣acos x﹣2a+2(a>0),∵0≤x≤1,∴0≤x≤,
∵y=cosx在上单调递减,
∴y=﹣cosx在上单调递增,又a>0,
∴g(x)=﹣acos x﹣2a+2(a>0)在上是增函数,
由g(x)=﹣acos x﹣2a+2(a>0)知,
当0≤x≤1时,0≤x≤,≤cos x≤1,又a>0,
∴﹣a≤﹣acos x≤﹣,
∴2﹣3a≤﹣acos x﹣2a+2≤2﹣a.不妨令a=10,g(x)∈(﹣28,﹣23),而f(x)的值域为,
显然f(x)≠g(x),故④错.
故选B.
点评:本题考查复合三角函数的单调性,考查函数的值域,考查三角函数的诱导公式及综合应用,属于难题.
5. 函数y=的定义域是()
A.(﹣∞,1)B.(﹣∞,1] C.(1,+∞)D.[1,+∞)
参考答案:
D
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】利用被开方数大于等于0可解.
【解答】解:∵x﹣1≥0,∴x≥1,故选D.
6. 已知f(sinx)=cos4x,则=()
A.B.C.D.
参考答案:
C
【考点】函数的值.
【分析】由f(sinx)=cos4x,得到=f(sin30°)=cos120°,由此能求出结果.
【解答】解:∵f(sinx)=cos4x,
∴=f(sin30°)=cos120°=﹣cos60°=﹣.
故选:C.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
7. 函数f(x)=+lg(3﹣x)的定义域为()
A.[﹣1,3] B.(﹣1,3)C.[﹣1,3)D.(﹣1,3]
参考答案:
C
【考点】对数函数的定义域.
【分析】根据二次根式的定义可知x+1≥0且根据对数函数定义得3﹣x>0,联立求出解集即可.
【解答】解:因为函数f(x)=+lg(3﹣x)
根据二次根式定义得x+1≥0①,
根据对数函数定义得3﹣x>0②
联立①②解得:﹣1≤x<3
故选:C.
8. 已知数列{a n}的通项公式为,其前n项和,则()
A. 8
B. 9
C. 10
D. 1
参考答案:
B
【分析】
由数列的通项公式为,利用裂项法,求得,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,数列的通项公式为,
所以,
又由,即,解得,故选B.
【点睛】本题主要考查了数列的求和的应用,其中解答中根据题设条件,化简,利用“裂项法”求得是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
9. 已知△ABC的三条边的边长分别为4米、5米、6米,将三边都截掉x米后,剩余的部分组成一个钝角三角形,则x的取值范围是()
A.0<x<5 B.1<x<5 C.1<x<3 D.1<x<4
参考答案:
C
【考点】HR:余弦定理.【分析】根据题意表示出截取后三角形的三边长,设最大角为α,利用余弦定理表示出cosα,利用余弦定理表示出cosα,根据α为钝角,得到cosα小于0,即可确定出x的范围.
【解答】解:根据题意得:截取后三角形的三边长为(4﹣x)米,(5﹣x)米,(6﹣x)米,且长为(6﹣x)米所对的角为α,α为钝角,
∴cosα=<0,
整理得:(x﹣1)(x﹣4)<0,
解得:1<x<4,
∵4﹣x>0,5﹣x>0,6﹣x>0,且4﹣x+5﹣x>6﹣x,
∴0<x<3,
则x的范围为1<x<3.
故选:C.
【点评】此题考查了余弦定理,以及三角形边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
10. 已知△ABC的一个内角为,并且三边的长构成一个公差为4的等差数列,则△ABC的面积为()
A. 15
B. 14
C.
D.
参考答案:
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.
参考答案:
32π
12. 已知f(x)=3-x,若f(a)+f(-a)=3,则f(2a)+f(-2a)=
参考答案:
7
13. 函数=的单调减区间是
.
参考答案:
14. 已知函数在内是减函数,则的取值范围

.
参考答案:
15. 已知向量

,且
,则x =______.
参考答案:
-3 【分析】 根据的坐标表示,即可得出
,解出即可. 【详解】



【点睛】本题主要考查平行向量的坐标关系应用。

16. 已知定义在R 上的函数f (x )存在零点,且对任意m ,n∈R 都满足f[f (m )+f (n )]=f 2
(m )+2n ,则函数g (x )=|f[f (x )]﹣4|+log 3x ﹣1的零点个数为 .
参考答案:
3
【考点】根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理.
【分析】令f (m )=0得出f[f (n )]=2n ,从而得出g (x )=|2x ﹣4|+log 3x ﹣1,分别作出y=1﹣log 3x 和y=|2x ﹣4|的函数图象,根据函数图象的交点个数判断g (x )的零点个数. 【解答】解:设m 为f (x )的零点,则f (m )=0, ∴f[f(n )]=2n , ∴f[f(x )]=2x ,
∴g(x )=|2x ﹣4|+log 3x ﹣1, 令g (x )=0得1﹣log 3x=|2x ﹣4|,
分别作出y=1﹣log 3x 和y=|2x ﹣4|的函数图象,如图所示:
由图象可知y=1﹣log 3x 和y=|2x ﹣4|的函数图象有3个交点, ∴g(x )=|2x ﹣4|+log 3x ﹣1有3个零点. 故答案为3. 17. 函数
的图像与直线有且仅有两个不同的交点,则的取值
范围是__________.
参考答案:

三、 解答题:本大题共5小题,共72分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 证明:.
参考答案:
试题分析:因为
=
,所以原式成立.
考点:本题主要考查三角函数同角公式的应用.
点评:简单题,应用三角函数同角公式解题,“切割化弦”、“1”的代换等是常用变形技巧.
19. 已知函数f(x)=ax2+bx+c,且,3a>2c>2b.
(Ⅰ)求证:a>0且-3<<;
(Ⅱ)求证:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;
(Ⅲ)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,求|x1–x2|的范围.
参考答案:
(Ⅰ)由得3a+2b+2c=0,…………1分又3a>2c>2b,则a>0,b<0.…………2分
又2c= –3a–2b,则3a>–3a–2b>2b,得–3<<–.…………4分
(Ⅱ)由于f(0)=c,f(2)=a–c,f(1)= –<0,
①当c>0时,f(0)=c>0,f(1)= –<0,在区间(0,1)内至少有一个零点;
…………6分
②当c≤0时,f(2)=a–c>0,f(1)= –<0,在区间(1,2)内至少有一个零点,
…………7分
因此在区间(0,2)内至少有一个零点.…………8分
(Ⅲ)由条件知x1+x2= –,x1x2= ––.…………9分所以|x1–x2|==,…………11分
而–3<<–,则|x1–x2|∈[,) .…………14分
20. 计算下列各式的值
⑴ ;
⑵.
参考答案:(1)原式
……………………5分
(2)原式
……………………10分
21. (本小题满分12分)
函数的一段图象过点(0,1),如图所示.(1)求函数
的表达式;(2)将函数的图象向右平移个单位,得函数的图象,求的最大值,并求出此时自变量x的集合.
参考答案:
(1) f1(x)=2sin(2x+) ;(2) y max=2.x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
(1)由题图知,T=π,于是ω==2.
将y=A sin2x的图象向左平移,得y=A sin(2x+φ)的图象,
于是φ=2·=. 将(0,1)代入y=A sin(2x+),得A=2,
故f1(x)=2sin(2x+).
(2)依题意,f2(x)=2sin[2(x-)+]=-2cos(2x+).
当2x+=2kπ+π,即x=kπ+(k∈Z)时,y max=2.
x的取值集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
22. 已知:
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ),
即:……………………2分
.……………………………4分

. ……………………………6分
(Ⅱ)由已知条件:
,解得. ……………………………8分
…10分
.………………………………………………12分略。

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