云南省昆明市官渡区2019届九年级学业水平考试第一次模拟测试数学试题(附精品解析)

昆明市官渡区2019年初中学业水平考试第一次模拟测试
数学试卷
（全卷三个大题，共23个小题，共8页；满分120分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷。

考生必须在答题卡上解题作答。

答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草
稿纸上作答无效。

2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）x 1．2019的相反数是
．
2．如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC 绕点C 顺时
针旋转90°得到△A 1B 1C ，则点B 的对应点B 1的坐标为
.
3．使2x +有意义的x 的取值范围为.
4．分解因式：322x x x -+=
.
5．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为
度.
6．等腰三角形ABC 中，顶角A 为40︒，点P 在以A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且
BP =BA ，则∠PBC 的度数为
度.
二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分）
7．党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的重要位置，采取超常规的举措，全面打响脱
贫攻坚战.经过五年的努力，全国贫困人口减少了68530000人.将68530000用科学记数法表示为
A ．66.85310⨯
B ．70.685310⨯
C ．6
68.5310⨯D ．7
6.85310⨯8．一个圆柱和一个正方体如左下图摆放，它的主视图是
第2题图
x
O A
B
C 54321
-1-2-3-4-512345y
9．如图，在⊙O 中，OA 垂直于弦BC ，点D 在⊙O 上，连接AD ，DC ，若∠AOB =70°，则ADC
∠的度数为A ．30°B ．35°C ．45°
D ．70°
10．某市从不同学校随机抽取100名初中生对“使用数学教辅用书的册数”进行调查，统计结果如
下：
册数0123人数
10
20
30
40
关于这组数据，下列说法正确的是A ．众数是2册B ．中位数是2册C ．平均数是3册D ．方差是1.511．下列命题中，错误．．的．
是A ．一组对边相等的四边形是平行四边形B ．三个角是直角的四边形是矩形C ．四边相等的四边形是菱形D ．有一个角是直角的菱形是正方形
12．一组按规律排列的多项式：2
3
3
5
4
7
,,,a b a b a b a b +-+-，…，其中第10个式子是
A ．10
19
a b +B ．1019
a b
-C ．1017
a b
-D ．10
21
a b
-13．关于x 的一元二次方程2
30x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是
B A
C D
第8题图
第9题图
A
C
B
D O
A ．94m <
B ．94m ≤
C ．9
4
m >
D ．9
4
m ≥
14．如图，点A 在反比例函数k
y x
=
（x ﹤0）的图象上，连接OA ，分别以点O 和点A 为圆心，大于
1
2
AO 的长为半径作弧，两弧相交于B ，C 两点，过B ，C 两点作直线交x 轴于点D ，连接AD .若∠AOD =30°，△AOD 的面积为2，则k 的值为A ．6-B ．6C ．2-D ．3
-三、解答题（本大题共9小题，共70分）15．（本小题满分5分）
计算：2019
0(1)
27( 3.14)tan 60π︒
--+-+16．（本小题满分6分）
如图，EF ∥BC ，EF =BC ，DA =EB ．求证：∠F =∠C ．
第16题图
D B
A E F
C
第14题图
A B C
O
y
D x
17．
（本小题满分8分）在某个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按02t ≤<，23t ≤<，34t ≤<，4t ≥分为四个等级，并依次用A ，B ，C ，D 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如下图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）求扇形统计图中等级B 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间不少于3小时的人数．
18．（本小题满分8分）
四张扑克牌的点数分别是2，5，6，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．
（1）若从中随机抽取一张牌，则抽出的牌的点数是偶数的概率为
；
（2）若随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，请用列表法或画树状图法（只选其中一种）
表示出所有可能出现的结果，并求所抽两张牌的点数都是偶数的概率．
各等级人数的扇形统计图
各等级人数的条形统计图
学生人数（人）
C 1009080706050403020100
D
B A 等级
45%
D
10%
A
C
B
19．（本小题满分7分）
如图，反比例函数的图象与正比例函数2y x =的图象相交于A （1，a ），B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，∠ABC =90︒.
（1）求反比例函数的解析式及点B 的坐标；（2）求tanC 的值.
20．
（本小题满分8分）某商场计划购进A 、B 两种新型节能台灯，已知B 型节能台灯每盏进价比A 型的多40元，且用3000元购进的A 型节能台灯与用5000元购进的B 型节能台灯的数量相同.
（1）求每盏A 型节能台灯的进价是多少元？
（2）商场将购进A 、B 两型节能台灯100盏进行销售，A 型节能台灯每盏的售价为90元，B 型
节能台灯每盏的售价为140元，且B 型节能台灯的进货数量不超过A 型节能台灯数量的2倍.应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润是多少元？
21．
（本小题满分8分）如图，已知抛物线21y ax bx =++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，点A 的坐标为
第19题图
A
B
C
O y
x
（﹣1，0），对称轴为直线1x =.
（1）求点B 的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，使△PBC 的面积为1，求出点P 的坐标.
22．
（本小题满分8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交BC ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F .
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若∠C =60°，⊙O 的半径为2，求由弧DE ，线段DF ，EF 围成的阴影部分的面积（结果保
留根号和π）.
A
B
E F
C
O D
第22题图
第21题图
1
x =y
x
A
Ｂ
C
O
23．（本小题满分12分）
在矩形ABCD 中，AB =12，P 是边AB 上一点，把△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点G ，过点B 作BE ⊥CG ，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F ．
（1）如图1，若点E 是AD 的中点，求证：△AEB ≌△DEC ；（2）如图2，①求证：BP =BF ；
②当AD =25，且AE ＜DE 时，求cos PCB ∠的值；③当BP =9时，求BE EF 的值.
第23题图图1
图2
B
C
A D
P
F E
G
G
B
C
A D
P
F
E
昆明市官渡区2019年初中学业水平考试第一次模拟测试
数学答案及评分标准
一、填空题（每小题3分，共18分）1.
-2019
2.（2，-1）
3.2-≥x
4.2
)1(-x x 5.720
6.
30或110
二、选择题（每小题4分，共32分）
题号789
1011121314
答案D C B B A B B A
三、解答题：（共9题，满分70分）15.(本小题5分)
解：原式=3133-1-++……………4分
=32-……………5分
16.（本小题6分）证：∵BC ∥EF
∴∠DEF=∠ABC ……………1分∵AD=BE ∴AD+AE=BE+AE ∴DE=AB ……………2分在△ABC 和△DEF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AB DE ABC DEF BC
EF ∴
)(SAS ABC DEF ∆≅∆……………5分
∴∠F=∠C ……………6分
第16题图
D
B
A E
F
C
17.（本小题8分）
（1）人200%1020=÷……………1分
答：本次调查的学生人数为200人……………2分（2）等级B 所在扇形的圆心角度数为54°……………3分
补全条形统计图……………5分（3）6090
1200900200
+⨯
=人……………7分答：每周课外阅读时间不少于3小时的人数约为900人.……………8分
18.（本小题8分）
（1）随机抽取一张牌，牌的点数是偶数的概率为4
3
……………1分；（2）列表如下：
………………5分
第一次第二次
2568
2（2，5）（2，6）（2，8）
5（5，2）（5，6）（5，8）
6（6，2）（6，5）（6，8）
8（8，2）（8，5）（8，6）
共有12种结果，且每种结果发生的可能性相同………………6分
∵两张牌的点数都是偶数的有6种情况，分别为（2，6），（2，8），（6，2），（6，8），（8，2），（8，6）……7分∴2
1
(=
点数都是偶数）P ………………8分19.（本小题7分）
解：（1）把A （1，a ）代入y ＝2x 得a ＝2，则A （1，2），……………1分；
设反比例函数的解析式为(0)k
y k x
=
≠……………2分把A （1，2）代入y ＝得k ＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y
＝，……………3分；
解方程组得或，
∴B 点坐标为（﹣1，﹣2）；……………4分；
（2）作BD ⊥AC 于D ，∴∠BDC ＝90°，
∵∠C +∠CBD ＝90°，∠CBD +∠ABD ＝90°，∴∠C ＝∠ABD ，……………5分；在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝＝
＝2，……………6分；
即tan C ＝2．……………7分.
（其它解法参照给分）
20.（本小题8分）
解：（1）设每盏A 型节能台灯的进价是x 元，……………………1分根据题意，列方程为，
30005000
40x x =+，……………………………………………………………2分
解得，x=60,
经检验，x=60是原分式方程的解，…………………………………………3分
答:每盏A 型节能台灯的进价是60元…………4分
（2）设A 型节能台灯的进货数量为m 盏，………………………………5分
D
则B 型节能台灯的进货数量为（100-m ）盏，
∵B 型节能台灯的进货数量不超过A 型节能台灯数量的2倍
∴100﹣m ≤2m ，
解得，m ≥3
100，………………………………………………………6分设销售完这批台灯时获利为w 元，
则W=(90-60)m+(140-100)（100﹣m ）=-10m+4000，……………………7分
自变量m 的取值范围为m ≥3100
，且m 是正整数，
∵-10<0，∴W 随m 的增大而减小，
当m=34时，W 最大值=-10×34+4000=3660（元）．
答：A 型节能台灯的进货34盏,B 型节能台灯的进货66盏,能使商场在销售完这批台灯时获利最多,此时利润是3660元……………………………………8分
（其它解法参照给分）
21.（本小题8分）
解：B （3，0）……………………..1分
∵抛物线y ＝ax 2+bx +1与x 轴分别交于A （﹣1，0），B （3，0），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y
＝﹣x 2+x +1 (4)
分
（2）∵y ＝﹣x 2+x +1，
∴当x ＝0时，y ＝1，
即点C 的坐标为（0，1）……………………..5分
∵B （3，0），C （0，1），
∴直线BC 的解析式为：y ＝x +1，……………………..6分设点P 的坐标为（p ，﹣p 2+p +1），
1
x =y
x
A
ＢC
O
将x ＝p 代入y ＝x +1的，y ＝p +1，
∵△PBC 面积为1，∴
＝1，
解得，p 1＝1，p 2＝2，当p 1＝1时，点P 的坐标为（1，），
当p 2＝2时，点P 的坐标为（2，1），
即点P 的坐标为（1，）或（2，1）．………………8分（其它解法参照给分）
22.（本小题8分）
（1）证明：(1)连接OD...........................1分
∵AB=AC,∴∠B=∠C...........................2分
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB=∠C
∴OD//AC...........................3分
∴∠ODF=∠DFC
∵DF ⊥AC,∴∠DFC=90°
∴∠ODF=90°
即OD ⊥DF...............................4分
∵OD 是⊙O 的半径，
∴DF 是⊙O 的切线.........................................5分(2)连接OE............................6分
∵AB=AC,∠C=60°
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠A=60°
∵OB=OD ，OA=OE ，
∴△OBD ，△OAE
是等边三角形，第22
题图
第22题图
∴∠OEA=∠C=60°
∴OE//CD ，
又OD//AC
∴四边形OECD 是平行四边形，∵OD=OE
∴OECD 是菱形，
∴CE=CD=OE=OD=2，∠EOD=∠C=60°
在Rt △DFC 中,∵∠C=60°
，∴∠FDC=30°∴CF=12CD=1,据勾股定理得，2222213DF CD CF =-=-=,................................7分................................................8分
（其它解法参照给分）
23．（本小题12分）
解：（1）在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，
∵E 是AD 中点，
∴AE ＝DE ，
在△ABE 和△DCE 中，，
∴△ABE ≌△DCE （SAS ）；…………………3分
（2）①在矩形ABCD ，∠ABC ＝90°，
∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，
26021=360223332233223
DFC
OED OECD S S S S CE DF CF DF πππ⨯⨯--=--=--∴=- 阴影扇形菱形
∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，
∵BE ⊥CG ，
∴BE ∥PG ，
∴∠GPF ＝∠PFB ，
∴∠BPF ＝∠BFP ，
∴BP ＝BF ；…………………6分
②当AD ＝25时，
∵∠BEC ＝90°，
∴∠AEB+∠CED ＝90°，
∵∠AEB+∠ABE ＝90°，
∴∠CED ＝∠ABE ，
∵∠A ＝∠D ＝90°，
∴△ABE ∽△DEC ，
∴，
设AE ＝x ，
∴DE ＝25﹣x ，
∴，
∴x ＝9或x ＝16，
∵AE ＜DE ，
∴AE ＝9，DE ＝16，
∴CE ＝20，BE ＝15，
由折叠得，BP ＝PG ，
∴BP ＝BF ＝PG ，
∵BE ∥PG
，
图1G
B C
A D
P
F
E
∴△ECF ∽△GCP ，
∴，
设BP ＝BF ＝PG ＝y ，
∴
，∴y ＝325，∴BP ＝3
25，在Rt △PBC 中，PC ＝31025，cos ∠PCB ＝PC BC ＝10
103；………………9分
③如图，连接FG ，
∵∠GEF ＝∠BAE ＝90°，
∵BF ∥PG ，BF ＝PG=PB ，
∴▱BPGF 是菱形，
∴BP ∥GF ，
∴∠GFE ＝∠ABE ，
∴△GEF ∽△EAB ，
∴，
∴BE •EF ＝AB •GF ＝12×9＝108．………………12分。