高中部 高二数学上学期期中试题含解析 试题(共14页)

实验(shíyàn)高中部2021-2021学年高二数学上学期期中试题
〔含解析〕
一、选择题〔本大题一一共12小题〕
1.抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
2.假设构成空间的一个基底，那么以下向量不一共面的是
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3.方程表示的曲线是
A. 一个点
B. 一条直线
C. 两条直线
D. 双曲线
4.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为
设，，，那么以下向量中与相等的向量是
A.
B.
C.
D.
5.曲线与曲线的
A. 长轴长相等
B. 短轴长相等
C. 离心率相等
D. 焦距相等
6.设平面与平面的夹角为，假设平面，的法向量分别为和，那么
A. B. C. D.
7.与圆及圆都外切的圆的圆心在
A. 一个椭圆上
B. 一个圆上
C. 一条抛物线上
D. 双曲线的一支上
8.以点1，，，4，为顶点的三角形是
A. 等腰直角三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
9.点P在抛物线上，点Q在直线上，那么的最小值是
A. B. C. D.
10.直三棱柱，，点，分别是，的中点，，那么与所成角的余弦值是
A. B. C. D.
11.双曲线的离心率(xīn lǜ)，假设A，B，C是双曲线上任意三点，且A，B
关于坐标原点对称，那么直线CA，CB的斜率之积为
A. 2
B. 3
C.
D.
12.空间直角坐标系中，P是单位球O内一定点，A，B，C是球面上任意三
点，且向量，，两两垂直，假设注：以X表示点X的坐标，那么动点Q 的轨迹是
A. O为球心，为半径的球面
B. O为球心，为半径的球面
C. P为球心，为半径的球面
D. P为球心，为半径的球面
二、填空题〔本大题一一共3小题〕
13.双曲线上一点P到它的一个焦点的间隔等于1，那么点P到另一个焦
点的间隔等于______．
14.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么
直线PC与平面PAB所成角的余弦值是______．
15.椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆
截得的线段的中点轨迹方程是______．
三、解答题〔本大题一一共6小题〕
17.Ⅰ求以AB、AC为边的平行四边形的面积；
18.Ⅱ假设向量分别与、垂直，且，求的坐标．
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.设抛物线上的点M与焦点F的间隔为，到y轴的间隔为．
27.求抛物线的方程和点M的坐标；
28.假设点M位于第一象限，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：．
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.如图，在三棱锥中，G是的重心(zhòngxīn)三条中线的交点，P是空间
任意一点．
37.用向量，，表示，并证明你的结论；
38.设，x，y，，请写出点P在的内部不包括边界的充分必要条件不必给出
证明．
39.动点M与定点的间隔和M到定直线l：的间隔的比是定值其中，．
40.求动点M的轨迹方程；
41.当a，c变化时，指出中轨迹方程表示的曲线形状．
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.如图，四边形ABCD为梯形(tīxíng)，四边形CDEF为矩形，平面平面
CDEF，，，M为AE的中点．
50.证明：平面MDF；
51.求平面MDF与平面BCF的夹角的大小．
52.直线l：经过椭圆E：右焦点，且与椭圆相交于A，B两点，M为AB的
中点，OM的斜率为为坐标原点．
53.求椭圆的方程；
54.假设直线l与圆C：相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P，Q两
点，求面积的最大值．
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
答案(dáàn)和解析
1.【答案】D
【解析】解：整理抛物线方程得
焦点在y轴，
焦点坐标为
应选：D．
先把抛物线整理HY方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．
此题主要考察了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．
2.【答案】C
【解析】解：由平面向量根本定理得：
对于A选项，，所以，，三个向量一共面；
对于B选项，同理：，，三个向量一共面；
对于D选项，，所以三个向量一共面；
应选：C．
由平面向量根本定理判断．
此题考察平面向量根本定理，属于根底题．
3.【答案】C
【解析】解：因为：；
或者者；
方程表示的曲线是两条直线．
应选：C．
先把条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论．
此题考察曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于根底题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意(tí yì)得，平行六面体中，
；
应选：A．
在平行六面体中，根据空间向量的加法合成法那么，对向量进展线性表示即可．
此题考察了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进展解答，属于根底题．
5.【答案】D
【解析】解：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．
曲线表示焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为8．
对照选项，那么D正确．
应选：D．
分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．
此题考察椭圆的方程和性质，考察运算才能，属于根底题．
6.【答案】B
【解析】解：平面，的法向量分别为和，假设两个平面的夹角为，两平面夹角范围是，
那么．
应选：B．
直接利用条件写出二面角的余弦值即可．
此题考察空间向量的数量积求解二面角的公式，是根本知识的考察，根底题．
7.【答案】D
【解析】解：由，得，
画出圆与的图象如图，
设圆P的半径为r，
圆P与圆O和圆M都外切，
，，
那么，
点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，
应选：D．
化圆的一般方程为HY方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案．
此题考察圆与圆的位置关系的判断与应用，考察双曲线的定义，是根底题．
8.【答案】A
【解析(jiě xī)】解：1，，，4，，
，3，，5，，
，，，
，且，
以点1，，，4，为顶点的三角形是等腰直角三角形．
应选：A．
分别求出，3，，5，，再求出模，由此能求出结果．
此题考察三角形形状的判断，是根底题，解题时要认真审题，注意两点间间隔公式的合理运用．
9.【答案】B
【解析】解：设与直线平行且与抛物线相切的直线为，
联立消去x得，．
．
那么的最小值是．
应选：B．
设与直线平行且与抛物线相切的直线为，那么可知的最小值即为两直线的间隔．直线方程与抛物线方程联立，消去x根据判别式等于0求得b，根据间隔公式求得答案．
此题考察了直线与抛物线的综合问题，以及判别式来判断直线与圆锥曲线的关系．属于根底题．
10.【答案】B
【解析(jiě xī)】解：直三棱
柱，，
以C为原点，CB为x轴，CA为
y轴，为z轴，建立空间直角坐
标系，
点，分别是，的中点，，
设，
那么0，，1，，2，，1，，
1，，，
设与所成角为，
那么．
与所成角的余弦值为．
应选：B．
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．
此题考察异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11.【答案】B
【解析】解：由题意，设，，那么，
那么，，
两式相减可得，
．
应选：B．
设出点A，B、C的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合即可求得结论．
此题考察双曲线的几何性质：离心率的求解，考察了点差法，属中档题．12.【答案】B
【解析】解：由得，，即．
又，，两两垂直(chuízhí)，
所以Q是以PA，PB，PC为三条相邻棱的长方体中与顶点P相对的顶点．由，
得
又，所以，
同理，
．
三式相加，得，
代入式，得，即定值．
所以，动点Q的轨迹是以O为球心，为半径的球面．
应选：B．
利用条件推出，然后说明结果即可．
此题考察空间几何体的特征，空间向量的应用，间隔公式的应用，是中档题；此题也可以采用排除法．分别考虑P与O重合和点P在球面上两种极端情形，研究即得答案．
13.【答案】17
【解析】解：将双曲线化成HY形式：
，
P到它的一个焦点的间隔等于1，设
舍负
故答案为：17
首先将双曲线方程化成HY方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出，根据题中的数据，可以求出点P到另一个焦点的间隔．
此题考察了双曲线的定义与HY方程，属于根底题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考察的常用方式，请同学们注意这个特点．
14.【答案】
【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，那么就是直线PC与平面PAB所成的角．
过点O作，，因为平面APB，那么，．
≌，，≌，
因为，所以点O在的平分线上，即．
设，
在直角中，，，那么．
在直角中，，那么．
即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．
过PC上一点D作平面APB，那么就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB 所成角的余弦值．
此题考察直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考察空间想象才能，计算才能、转化才能．
15.【答案】
【解析】解：设这组平行直线的方程为，联立，整理得，
那么，所以它们与椭圆交点的中点坐标(zuòbiāo)为，
即这些点均在上，
故答案为：
运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论．
此题考察直线和椭圆的位置关系，考察直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考察运算才能，属于中档题．16.【答案】解：Ⅰ
，分
分
Ⅱ设y，，分
分
1，或者分
【解析】以AB、AC为边的平行四边形的面积我们选择，其中是的夹角．设出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可．
此题考察向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件．
17.【答案】解：由抛物线的定义知，点M到准线的间隔为．
即有．
解之，得，．
所以，抛物线的方程为，
点M的坐标为或者．
证明：联立直线与抛物线的方程，．
解之，得或者，即，
或者，．
又，所以．
故．
【解析】由抛物线的定义知解得即可．
联立直线与抛物线的方程，解之得即，或者，．
即可得即可证明
此题考察了抛物线性质，斜率(xiélǜ)公式，考察了运算才能，属于中档题．
18.【答案】解：．
证明如下：．
．
设，x，y，，那么点P在的内部不包
括边界的充分必要条件是：，
且，，．
【解析】由题意根据空间向量的加法法那么推出向量，使得它用基底表示即可；
设，x，，那么点P在直线AB上的充分必要条件是：，且，类比平面向量三点一共线的结论写出即可．
此题考察空间向量的加减法，以及向量用不一共线的基底进展表示，注意三角形的重心的性质运用，还考察了类比推理才能，属于中档题．
19.【答案】解：设，由，得．
所以，两边平方，得，
化简，得动点M的轨迹方程为
因为，，所以
当时，化为，它表示的曲线是直线x轴；
当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，
长半轴长为a，短半轴长为的椭圆；
当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，
实半轴长为a，虚半轴长为的双曲线．
【解析(jiě xī)】设出M的坐标．利用条件列出方程，化简求解即可．
通过a，c的大小关系，化简方程，然后推出结果即可．
此题考察圆锥曲线的轨迹方程的求法，考察转化思想以及计算才能．20.【答案】证明：法
连结CE与DF相交于N，连结MN．
因为四边形CDEF为矩形，
所以N为CE中点．
又M为AE的中点，
所以，在中，．
平面MDF．
法因为四边形CDEF为矩形，且M为AE的中点，
所以
，从而与，是一共面向量．
又平面MDF，所以平面MDF．
解：因为四边形CDEF为矩形，所以．
又平面平面CDEF，平面CDEF，
平面平面，
所以平面ABCD．
而，
所以，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，如图．
设，由，得，，，．
设平面MDF的一个法向量为y，，那么，且，
所以，且，
即，取，得，，即1，．
同理，可求得平面BCF的一个法向量为1，．
．
所以，平面MDF与平面BCF的夹角为．
【解析(jiě xī)】法连结CE与DF相交于N，连结说明推出平面MDF．
法说明，推出与，是一共面向量．即可证明平面MDF．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面MDF的一个法向量，求出平面BCF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF与平面BCF的夹角即可．
此题考察空间向量的数量积的应用，二面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考察空间想象才能以及逻辑推理计算才能，是中档题．
21.【答案】解：设，，那么，
两式相减并整理，得，
即．
所以
又直线l：与x轴的交点为，
由，得
联立，解得，．
所以，椭圆的方程为．
由直线l：与圆C：相切，得，
所以，圆C：．
又设动切线PQ：，
注：假如设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，假设未讨论酌情扣分
由，消去x，得．
所以．
又直线PQ：与圆C：相切，
所以，即，从而．
所以，面积．
令，解得，相应的．
所以，使面积最大的直线PQ一共有四条：和．
故面积的最大值为．
【解析(jiě xī)】设，，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a，b推出结果．
由直线l：与圆C：相切，得，求出圆的方程，设动切线PQ：，由，消去x，得利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用根本不等式求解最值即可．
此题考察直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考察转化思想以及计算才能，是中档题．
内容总结。