山东省蒙阴县高三数学第二次月考试题 理 新人教A版

高三12月数学（理科）月考试题
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =( ) （A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]
2. 已知命题“,a b R ∀∈，如果0ab >，则0a >”，则它的否命题是 A 、,a b R ∀∈，如果0ab <，则0a < B 、,a b R ∀∈，如果0ab ≤，则0a ≤ C 、,a b R ∃∈，如果0ab <，则0a <
D 、,a b R ∃∈，如果0ab ≤，则0a ≤
3. 已知向量a=（2,1），b=（-1，k ），a ·（2a-b ）=0，则k=（ ） A. -12 B. -6 C. 6 D. 12
4. 设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且,m n αβ⊂⊂,有两个命题：
p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m β⊥，则αβ⊥；那么( )
A ．“p 或q ”是假命题
B ．“p 且q ”是真命题
C ．“非p 或q ” 是假命题
D ．“非p 且q ”是真命题
5、设f(x)是定义在R 上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图像关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( ) (A) f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) (B) f (3.5)<f(1.5)<f(6.5) (C) f(6.5)<f(3.5)<f(1.5)
(D) f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)
6．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B
两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，
105,45ABC BCA ∠=∠=o o
，就可以计算出,A B 两点的距离为( )
B
A
C
A ．502m
B ．503m
C ．252m D.
252
2
m
7. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml ，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车.
A.1
B.2
C.3
D.4
8.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则=++987a a a ( )
A.
81 B.8
1- C.857 D.855 9.设函数()y f x =的定义域为实数集R ，对于给定的正数k ，定义函数
()(())()(())
k f x f x k f x k
f x k ≤⎧=⎨
>⎩，给出函数2
()2f x x =-+，若对于任意的
(,)x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则
（ ）
A ．k 的最大值为2
B ．k 的最小值为2
C ．k 的最大值为1
D ．k 的最小值为1
10. 若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所 示，则它的体积是( ) 3
B.
3 3
11若函数⎪⎩⎪
⎨⎧<->=0),(log 0
,log )(2
12x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是( )
A.）（）（1,00,1⋃-
B.）
，（），（∞+⋃-∞-11 C.），（）（∞+⋃-10,1 D.）（），（1,01⋃-∞- 12.已知n
n a )3
1(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状， 记),n m A （表示第m 行
的第n 个数，则）（12,10A =( )
A.
92
3
1
）（ B. 93
3
1）（ C.94
3
1）（ D.112
3
1）（ 3π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
13.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则z=2x y +的最大值为___ _.
14.已知奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当)1,0(∈x 时，x x f 2)(=，则)2
7(f 的值___
15.已知向量()()1,,2,y b x a =-=，其中x ，y 都是正实数，若b a ⊥，则y x t 2+=的最小值是_______. 16.下列命题： ①函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； ②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；
③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，
n S 取得最大值；
④定义运算11
a b ，b a b a a b 122122
-=则函数()1
33
12x x x x x f +=
的图象在点⎪⎭
⎫
⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x 其中正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）. 三、解答题：（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17,
已知函数2
()cos 12sin ,f x x x x x R =+-∈．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数()y f x =的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
1
2
，把所得到的图像再向左平移
6
π
单位，得到的函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在
区间0,8π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值．
18,在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a b c 、、且222
b c bc a +=+ （１）求∠A ； （２）若3a =，求22b c +的取值范围。

19． 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，O 是AC 与BD 的交点，SO ⊥平面ABCD ，E 是侧棱SC 的中点，异面直线SA 和BC 所成角的大小是60︒.
（Ⅰ）求证：直线SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求直线BD 与平面SBC 所成角的正弦值.
20． 已知等差数列{}n a 满足：*1(N )n n a a n +>∈，11a =，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{}n b 的前三项. （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式; （2）设*1212(N ),n n n a a a T n b b b =
+++∈L 若)(1
2
32Z c c n n T n n ∈<-++恒成立，求c 的最小值.
21 张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元（以下称s 为赔付价格）．
（1）将工厂的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；
（2）若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额2
002.0t y =（元），在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？
22设函数2
()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （1）求()f x 的单调区间；
（2）当0<a<2时，求函数2
()()1g x f x x ax =---在区间[03]，
上的最小值．
高三12月数学（理科）月考试题参考答案
17解：（1）因为2
()cos 12sin 2cos 2f x x x x x x =+-=
+
=)6
2sin(2π
+
x , ………… 4分
函数f （x ）的最小正周期为T =π． ………5分 由≤+
≤-
6
22
2π
π
πx k 2
2π
π+
k ，Z k ∈， ………7分
得f （x ）的单调递增区间为]6
,3
[π
ππ
π+
-k k ， Z k ∈． (9)
分
（2）根据条件得)(x g =)654sin(2π+x ，当∈x ]80[π
，时，654π+
x ∈]3
4,65[ππ，
所以当x =
8
π
时，min ()3g x =-． ………… 12分
18解：①由余弦定理知：cos A ＝bc a c b 2222-+＝2
1
∴∠A ＝
3
π
………………5分 ②由正弦定理得：2sin sin sin ===C
c
B b A a
∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ………………7分 ∴b 2
＋c 2
＝4(sin 2
B ＋sin 2
C )＝2(1－cos2B ＋1－cos2C )
＝4－2cos2B －2cos2(32π
－B ) ＝4－2cos2B －2cos(3
4π
－2B )
＝4－2cos2B －2（－
21cos2B －2
3sin2B ） ＝4－cos2B ＋3sin2B ＝4＋2sin(2B －
6
π
) ………………10分 又∵0＜∠B ＜23π ∴6π
-＜2B －6π＜76
π
∴1-＜2sin(2B －6
π
)≤2
∴3＜b 2
＋c 2
≤6 …………12分
19.解：（Ⅰ）连结OE ，……………… ……1分 Q 四边形ABCD 是正方形，
O ∴是AC 的中点，……………………………………2分 又E Q 是侧棱SC 的中点，OE ∴//SA . ………………4分 又OE ⊂平面BDE ，SA ⊄平面BDE ，
∴直线SA //平面BDE .…………………………………5分
（Ⅱ）建立如图空间坐标系，则(0,D -
(B S C -
(0,(BD BC ∴=-=--u u u r u u u r
SB =-u u r
…………………… ……7分 设平面SBC 的法向量(,,1)n x y =r
，则有
00nSB nBC ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u r
r u u u
r
即00⎧-⎪⎨--=⎪⎩ 解得11y x =⎧⎨=-⎩ (1,1,1).n ∴=-r
……………………… ……9分
直线BD 与平面SBC 所成角记为θ，
则sin nBD n BD θ==
=r u u u r r u u u r ………………… ……12分 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设d 、q 分别为等差数列{}n a 、等比数列{}n b 的公差与公比，且0d > 由,21,1,1321d a d a a +=+==分别加上1，1，3有1232,2,42b b d b d ==+=+…2分
22214
(2)2(42),4,0,2,22
b d d d d d q b +=+=>∴==
==Q …………4分 11(1)221,222n n n n a n n b -∴=+-⨯=-=⨯= …………6分
（II ）,21
2252321322211n n n n n b a b a b a T -++++=+++=
ΛΛ① .2
1
2252321211432+-++++=n n n T Λ②………7分 ①—②，得
)2
1
2121(212132n n T ++++=Λ.2121+--n n …………8分
.23232122132122
1121
1121n n n n n n n n n T +-=---=----
+=∴--………………9分
.31312
32<-=-++∴n n n T n
n )13(n -Θ在N *
是单调递增的，).3,2[)13(∈-∴n
∴满足条件)(1
2
32Z c c n n T n
n ∈<-++
恒成立的最小整数值为.3=c ………………12分 21解：（Ⅰ）工厂的实际年利润为：st t w -=2000(0≥t )．……………3分
s s t s st t w 2
21000)1000(2000+--=-=，…………5分
当2
1000⎪⎭
⎫ ⎝⎛=s t 时，w 取得最大值． 所以工厂取得最大年利润的年产量
2
1000⎪⎭⎫
⎝⎛=s t (吨)． ……… ……6分
（Ⅱ）设农场净收入为v 元，则2002.0t st v -=．
将2
1000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式，得：4
32100021000s s v ⨯-=．…… …9分 又 0='v ，得20=s ．…………11分
令 当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ， 所以20=s 时，v 取得最大值．
因此李明向张林要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入.………12分
22解：（I ）定义域为(1,)-+∞．
12(2)
()2(1)11x x f x x x x +'=+-
=
++． ………2分 令()0f x '>，则
2(2)
01x x x +>+，所以2x <-或0x >． ………4分 因为定义域为(1,)-+∞，所以0x >． 令()0f x '<，则
2(2)
01
x x x +<+，所以20x -<<．………6分
因为定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<．
所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-． ………… ………7分
（II ）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．
2(2)()(2)11a x a
g x a x x x
--'=--
=++． …………………8 分 因为0<a <2，所以20a ->，
02a
a >-． 5
325322)8000(1000100081000s s s s v -=⨯+-='
令()0g x '> 可得2a
x a >-． 所以函数()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,)2a
a
+∞-上为增函数． (10)
分
①当032a a <
<-，即3
02
a <<时， 在区间[03]，上，()g x 在(0,
)2a
a
-上为减函数， 在(,3)2a a
-上为增函数．…………………11分
所以min 2
()()2ln
22a g x g a a a
==---． …………………12 分 ②当
32a a ≥-，即3
22
a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数． 所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--．…………………13分 综上所述，当302a <<时，min 2()2ln 2g x a a
=--； 当
3
22
a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--． …………………14分。