北京长陵中学2018-2019学年高二数学理月考试题含解析

北京长陵中学2018-2019学年高二数学理月考试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知随机变量X服从正态分布，且，
，若，则等于()
A. 0.1358
B. 0.1359
C. 0.2716
D. 0.2718
参考答案：
B
【分析】
因为随机变量服从正态分布，且，根据原则，得出
,,两式相减，由对称性得出答案。

【详解】因为随机变量服从正态分布，且
，，
所以，，
所以
所以
故选B.
【点睛】本题考查正态分布，其中利用正态分布的对称性是解题的关键，属于一般题。

2. 抛物线在点(1,2)处的切线与其平行直线间的距离是
（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
3. 已知数列为等差数列，其前项和为，，则为( ）
A. B. C. D. 不能确定参考答案：
B
4. 已知命题，，则
Ａ．，Ｂ．，
Ｃ．，Ｄ．，
参考答案：
C
略
5. 双曲线上的点P到左焦点的距离是6，这样的点有（）
A. 3个
B. 4个
C. 2个
D. 1个
参考答案：
A
6. 关于函数在上的最值的说法，下列正确的是（）A． B．
C． D．
参考答案：
B
7. 下列结论中正确的是（）
A．a＞b?a﹣c＜b﹣c B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b＞0?D．a＞b?ac2＞bc2
参考答案：
C
【考点】不等式比较大小．
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：A．a＞b?a﹣c＞b﹣c，因此A不成立．
B．取a=﹣1，b=﹣2时不成立．
C．由a＞b＞0，则，即＞，成立．
D．c=0时不成立．
综上可得：只有C成立．
故选：C．
8. 已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【分析】利用向量垂直关系，2﹣与垂直，则（2﹣）?=0，即可得出．
【解答】解：∵=（1，n，2），=（﹣2，1，2），
∴2﹣=（4，2n﹣1，2），
∵2﹣与垂直，
∴（2﹣）?=0，
∴﹣8+2n﹣1+4=0，
解得，n=，
∴=（1，，2）
∴||==．
故选：B．
9. 分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知a＞b＞0，求证：－＜
．”最终的索因应是
A. ＜1
B. ＞1
C. 1＜
D. a－b＞0
参考答案：
C
【分析】
由题意可得，要证－＜，经过分析，只要证1＜，从而得出结论．【详解】解：由a＞b＞0，可得
要证－＜，a，只要证，
即证，即证，
即证，即证1＜．
故求证“－＜”索的因应是1＜，
故选：C．
【点睛】本题主要考查用分析法证明不等式，属于基础题．
10. 在等比数列中，已知，则（）
A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数,则的值为__________．
参考答案：
3
【分析】
先求，把代入可得.
【详解】，，，，故填3. 【点睛】本题主要考查导数的运算，明确是一个常数是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
12. 已知椭圆E：，椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是▲ ．
参考答案：
4
略
13. 甲乙两人组队参加答题大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题，已知甲答
对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为，甲、乙在答题这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为_____．
参考答案：
【分析】
甲乙共答对三道题，分为甲两道乙一道和甲一道乙两道两种情况，分别计算概率相加得答案.
【详解】甲、乙两人共答对三个题，即甲答对2个题，乙答对1个题；
或者甲答对1个题，乙答对2个题．
甲答对2个题，乙答对1个题的概率为；
甲答对1个题，乙答对2个题的概率为，
故甲、乙两人共答对三个题的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的计算，正确的分类是解题的关键.
14. 抛物线的的方程为，则抛物线的焦点坐标为____________.
参考答案：
（，0）
15. 不等式x(x－1)＜2的解集为________.
参考答案：
16. 如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率e=；
参考答案：
17. 设向量a＝(cos 25°，sin 25°)，b＝(sin 20°，cos 20°)，若t是实数，且u＝a＋t b，则|u|的最小值为________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点.
(1) 求四棱锥的体积；
（2）求证：；
（3）求截面的面积.
参考答案：
（1）解：由，得底面直角梯形的面积
，
由底面，得四棱锥的高，
所以四棱锥的体积。

（2）证明：因为是的中点，，所以。

由底面，得，
又，即，
平面，所以，
平面，。

（3）由分别为的中点，得，且，
又，故，
由（2）得平面，又平面，故，
四边形是直角梯形，
在中，，，
截面的面积。

略
19. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线: ，在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的极坐标
方程为.
（I）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（II）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.
参考答案：
（I）由题意知，直线的直角坐标方程为，…………………2分
由题意知曲线的直角坐标方程为
，………………………4分
∴曲线的参数方程为（为参
数）. …………………………6分
（II）设，则点到直线的距离
，…………………………8分
当时，即点的坐标为时，点到直线的距离最大，
此时
. ………………………………………10分
20. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的a值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．
参考答案：
（1）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分
整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3-----------------------------------------------------------------4分
（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得
月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分
（3）根据频率分布直方图，
得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，
0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，---------------------------------------10分
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5，
解得x=0.06；
∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分
21. 设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明．
参考答案：
22. 求函数的单调区间和极值。

参考答案：
略。