高三数学上学期10月月考试题理含解析 2

卜人入州八九几市潮王学校第二2021届高三数学上学期10月月考试题理〔含解析〕
一、选择题:此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的
A ={x |x <1}，
B ={x |31x
<}，那么
A.{|0}A B x x =<
B.A B R =
C.
{|1}A B x x =>
D.A
B =∅
【答案】A 【解析】 ∵集合{|31}x B x =<
∴{}|0B x x =<
∵集合{|1}A x x =<
∴
{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<
应选A
1
()3()3
x x f x =-，那么()f x
A.是奇函数，且在R 上是增函数
B.是偶函数，且在R 上是增函数
C.是奇函数，且在R 上是减函数
D.是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】A 【解析】
分析：讨论函数
()133x
x
f x ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
的性质，可得答案.
详解：函数
()133x
x f x ⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
的定义域为R ，且
()()111333,333x
x
x x
x
x f x f x --⎡⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
即函数()f x 是奇函数，
又1y 3,3x
x y ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
在R 都是单调递增函数，故函数
()f x 在R 上是增函数．
应选A.
点睛：此题考察函数的奇偶性单调性，属根底题.
1
()ln f x x ax x
=++
在[1,)+∞上是单调函数，那么a 的取值范围是〔〕 A.1(,0]4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢
⎣⎭ B.1,
[0,)4⎛
⎤
-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦
C.1,04⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D.(,1]-∞
【答案】B 【解析】 【分析】
由求导公式和法那么求出f ′〔x 〕，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进展别离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围． 【详解】解：由题意得，f ′〔x 〕211a x x
=+-，
因为
()1
f x lnx ax x
=++
在[1，+∞〕上是单调函数，
所以f ′〔x 〕≥0或者f ′〔x 〕≤0在[1，+∞〕上恒成立，
①当f ′〔x 〕≥0时，那么211
0a x x
+-≥在[1，+∞〕上恒成立， 即a 211x x ≥-，设g 〔x 〕2211111()24
x x x =-=--，
因为x ∈[1，+∞〕，所以1
x
∈〔0，1]，
当1
x
=1时，g 〔x 〕取到最大值是：0， 所以a ≥0，
②当f ′〔x 〕≤0时，那么211
0a x x
+-≤在[1，+∞〕上恒成立， 即a 211x x ≤-，设g 〔x 〕2211111()24
x x x =-=--，
因为x ∈[1，+∞〕，所以1
x
∈〔0，1]，
当112x =时，g 〔x 〕取到最大值是：14
-， 所以a 1
4
≤-，
综上可得，a 1
4
≤-或者a ≥0，
所以数a 的取值范围是〔﹣∞，1
4
-]∪[0，+∞〕，
应选：B ．
【点睛】此题查求导公式和法那么，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考察别离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．
()sin 2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，那么ϕ的最小
值是〔〕
A.
4
π B.
8
π C.
38
π D.
58
π 【答案】B 【解析】 函数
(
)sin 2cos 2)
4
f x x x x π
=+=+的图象向左平移
()
0ϕϕ>个单位，得
到
2)4y x πϕ=++图象关于y 轴对称，即2()
42
k k Z ππ
ϕπ+=+∈，解得
1=28k πϕπ+，又0ϕ>，当0k =时，ϕ的最小值为8π
，应选B.
1222,1()log (1),1
x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩
，且
()3f a =-，那么(5)f a -=〔〕
A.74
-
B.154
-
C.158
-
D.14
-
【答案】C
【解析】
【分析】
当a ≤1时，f 〔a 〕＝2
a ﹣1
﹣2＝﹣3，无解；当a ＞1时，f 〔a 〕＝﹣log 2〔a +1〕＝﹣3，解得a ＝7，由此得到
f 〔5﹣a 〕＝f 〔5﹣7〕＝f 〔﹣2〕，从而能求出结果．
【详解】解：∵函数f 〔x 〕()12221
11
x x log x x -⎧-≤⎪=⎨-+⎪⎩，，＞，f 〔a 〕＝﹣3，
∴当a ≤1时，f 〔a 〕＝2
a ﹣1
﹣2＝﹣3，无解；
当a ＞1时，f 〔a 〕＝﹣log 2〔a +1〕＝﹣3，解得a ＝7， ∴f 〔5﹣a 〕＝f 〔5﹣7〕＝f 〔﹣2〕＝32-﹣215
8
=-． 应选：C ．
【点睛】此题考察函数值的求法，考察函数性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．
231,1,lg ,lg ,lg 10m a m b m c m ⎛⎫
∈=== ⎪⎝⎭
，那么〔〕
A.a b c <<
B.c a b <<
C.b a c <<
D.b c a <<
【答案】C 【解析】
33lg (1,0),2lg lg ,lg a m b m m a c m a a =∈-∴====,所以选C.
:p 对任意x R ∈，总有20x >；
:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件
〕 A.
p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C.p q ⌝∧
D.
p q ∧⌝
【答案】D 【解析】
试题分析：由题设可知：p
q p ⌝q ⌝
所以，
p q ∧p q ⌝∧⌝p q ⌝∧p q ∧⌝
8.假设cos 〔8π-α〕=16，那么cos 〔34
π+2α〕的值是〔〕
A.
1718
B.1718
-
C.
1819
D.1819
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式求出cos(
2)4
π
α-的值，再利用诱导公式求出3cos(
2)4
π
α+的值． 【详解】∵cos 8πα⎛⎫-
⎪⎝⎭＝1
6
，
∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×2
16⎛⎫ ⎪⎝⎭
－1＝－
17
18
， ∴cos 324πα⎛⎫+
⎪⎝⎭＝cos 24
ππα⎡⎤
⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718.
应选A.
【点睛】此题考察了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是根底题．
(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，那么2a b -的最大值，最小值分别是〔〕
A.0
B.4，
C.16，0
D.4，0
【答案】D 【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值．
【详解】解：向量()
a cos sin θθ=，，向量
(
)31
b =
-，，那么2a b -=〔2cosθ，
2sinθ+1〕，
所以|2|a b -2
＝〔2cosθ2
+〔2sinθ+1〕2
＝8﹣cosθ+4sinθ＝8﹣8sin 〔3
π
θ-
〕，
所以|2|
a b
-2
的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0； 应选：D ．
【点睛】此题考察了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．
()()3sin 2f x ax x a R =-
∈，且在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为
32π-，那么实数a 的值是() A.
1
2 B.1
C.
32
D.2
【答案】B 【解析】
由得f ′(x )=a (sin x +x cos x )，
对于任意的x ∈[0, 2π],有sin x +x cos x >0,当a =0时,f (x )=−3 2
，不合题意；
当a <0时,x ∈[0, 2
π
],f ′(x )<0,从而f (x )在[0, 2π]单调递减，
又函数在上图象是连续不断的,故函数f (x )在[0, 2π]上的最大值为f (0)=−3
2
，不合题意；
当a >0时,x ∈[0, 2π],f ′(x )>0,从而f (x )在[0, 2
π
]单调递增，
又函数在上图象是连续不断的,故函数f (x )在[0, 2π]上的最大值为f (2π)= 2πa −32=π−3
2
，解得a =1
应选B
点睛：此题是利用导函数来研究函数单调性和最值的问题，要进展分类讨论. 11.函数f 〔x 〕=2sinxsin 〔x+3φ〕是奇函数，其中(0,)2
π
ϕ∈，那么函数g 〔x 〕=cos 〔2x-φ〕的图象〔〕
A.关于点(
,0)12
π
对称
B.关于轴512
x
π
=-
对称
C.可由函数f 〔x 〕的图象向右平移6
π
个单位得到 D.可由函数f 〔x 〕的图象向左平移
3
π
个单位得
到 【答案】B 【解析】
【分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】函数f 〔x 〕=2sinxsin 〔x+3φ〕是奇函数，其中0,
2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， ∴y=2sinxsin〔x+3φ〕是奇函数，∴3φ=
2π，φ=6π，那么函数g 〔x 〕=cos 〔2x ﹣φ〕=cos 〔2x ﹣6
π
〕． 当12
x π
=
时，206x π
-
=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么函数不关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项A 错误； 当512
x π=-
时，26x π
π
-=-，那么函数关于直线5
12
x
π=-
对称，选项B 正确； 函数
()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛
⎫=+== ⎪⎝
⎭，
其图像向右平移
6π
个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误；
其图像向左平移
3π
个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 选项D 错误； 应选B.
【点睛】此题主要考察三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于中档题．函数
()sin y A x ωϕ=+〔A >0,ω>0〕的性质：〔1〕奇偶性：=k ϕπ,k Z ∈时，函数()
sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2
k π
ϕπ
+
,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；〔2〕周期性：
()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =
2π
ω
；〔3〕单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单
调性来研究，由+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ-
≤+≤
+∈得单调增区间；由
3+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ≤+≤
+∈得单调减区间；〔4〕对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为
()2
x k k Z π
π=+
∈求解，令()+2
x k k π
ωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.
()f x 在R 上存在导函数()f x ',对于任意的实数x ，都有2()4()f x x f x =--，当(,0)x ∈-∞时，
1
()42
f x x '+＜.假设(1)()42f m f m m +≤-++，那么实数m 的取值范围是〔〕
A.1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
B.3,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
C.
[)1,-+∞
D.
[)2,-+∞
【答案】A 【解析】 由
()24()f x x f x =--，所以()222()20f x x f x x -+--=，
设()()22g
x f x x =-，那么()()0g x g x +-=，所以函数()g x 为奇函数， 那么()()1
42
g x f x x =-<-
''，故函数()g x 在(,0)-∞上为减函数，在(0,)+∞为增函数， 假设()1()42f m f m m +≤-++，那么()2212(1)()2f m m f m m +-+≤-+，
即()1()g
m g m +≤-，所以1m m +≥-，即12
m ≥-，应选A ．
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分 13.“1x >〞是“()1
2
log 20x +<〞的一个__________条件.(在“充分不必要〞、“必要不充分〞、
“充要〞、“既不充分也不必要〞选择一个填写上) 【答案】充分不必要 【解析】
()12
log 20x +<可得21x +>,那么1x >-,因此“1x >〞⇒“()12
log 20x +<〞，且“1x >〞
⇍“()1
2
log 20x +<〞，所以“1x >〞是“()12
log 20x +<〞的充分不必要条件.
14.
(1
2x dx =⎰________
【答案】14
π+ 【解析】
因
1
1
00
(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而
1
2
20
(2)1
01
x dx =-=⎰
，
2
22
200
0111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t π
π
π
ππ
==+=⨯+=
⎰⎰，应填答案14
π
+
．
P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，那么点P 到直线2y x =-的间隔的最小值为____________
【解析】
解：因为点P 是曲线
2ln y x x =-上任意一点，那么点P 到直线2y x =-的间隔的最小值是过点P 的切
线与直线平行的时候，那么
1
'211y x x x
=-
=∴=
R 上的函数()f x 满足()()516f x f x ++=,当(]1,4x ∈-时,()22x
f x x =-，那么函数()
f x 在
[]0,2016上的零点个数是______.
【答案】605 【解析】
分析：分析条件得出函数()f x 是周期函数，且周期为10，这样只要研究函数在一个周期内的零点个数，就可以得出结论． 详解：由
()(5)16f x f x ++=得(5)(10)16f x f x +++=，∴(10)()f x f x +=，即()f x 是
以10为周期的周期函数． 当(1,4]x ∈-时，
22()x f x x =-，作出2y x 和2x y =的图象，知()f x 在(1,0)-上有一个零
点，另有两个零点2和4，可作出()f x 的草图，从图象上知，在(1,4]-上()f x 的最大值不大于2， 当(4,9]x ∈时，
()16(5)14f x f x =-->，即此时()f x 无零点，
∴函数()f x 在一个周期内只有3个零点，即[0,2010]上有2013603⨯=个零点， 当[2010,2016]x ∈时，其图象与[0,6]x ∈的图象是一致的，有2个零点， 所以一共有603＋2＝605个零点．
点睛：此题考察函数的零点，考察函数的周期性．实际上此题是求区间[0,2016]上的零点个数，这个区间长度够大了，因此只有周期性才能得出正确结论，而有了周期性，我们只要研究函数在一期内的性质即可． 三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第17——21题为必考题，每个试题考生都必须答题。

第22、23题为选考题，考生根据要求答题 〔一〕必考题：一共60分
()
21cos cos 2
f x x x x =--
. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心；
(Ⅱ)求
()f x 在[]0,π上的单调区间.
【答案】(1),1,212k k Z ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭
(2)50,
,,36πππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
【解析】
试题分析：(1)
()21cos cos sin 2126f x x x x x π⎛
⎫=--
=-- ⎪⎝
⎭，令26x k ππ-=解得x 即可
(Ⅱ)求
()f x 在[]0,π上的单调区间，那么令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
解得x,对k 赋值得结果.
试题解析：
(Ⅰ)
()1cos21sin 212226x f x x x π+⎛
⎫=
--=-- ⎪⎝
⎭ 令26
x k π
π-
=，得212
k x ππ
=
+，
故所求对称中心为,1,212k k Z ππ⎛⎫
+-∈
⎪⎝⎭
(Ⅱ)令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，解得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
又由于[]0,x π∈
，所以50,,36
x ππ
π⎡⎤⎡
⎤
∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣
⎦
故所求单调区间为50,
,,36πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. 点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考察，化简成()sin y A wx ϕ=+类
型，把wx+ϕ看成整体进展分析. 18.
的内角
的对边分别为,,a b c ，2
sin()
8sin 2
B A
C +=． 〔1〕求cos B ；
〔2〕假设6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】〔1〕15
17
；〔2〕2． 【解析】
试题分析：〔1〕利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用
降幂公式化简2
8sin
2
B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；〔2〕由〔1〕可知8sin 17B =，利用
三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b .
试题解析：〔1〕()2
sin
8sin 2
B
A C +=，∴()sin 41cos
B B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22
161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17
B =；
〔2〕由〔1〕可知8
sin 17
B =，
∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴17
2
ac =，
∴
()2
222222217152cos 2152153617154217
b a
c ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯
⨯=+-=+--=--=，
∴2b =．
19.如图，在四棱锥P ABCD ⋅中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA AB ⊥
，AD //BC ，AB AD ⊥，点
E 在BC 上，BC 2AB 2AD 4BE 4====．
〔1〕求证：平面PED ⊥平面PAC ；
〔2〕假设直线PE 与平面PAC ，求二面角A PC D --的余弦值．
【答案】〔1〕见解析；〔2 【解析】 【分析】
〔1〕以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PED ⊥平面PAC ．
〔2〕求出平面PAC 的一个法向量和平面PCD 的一个法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值． 【详解】证明：〔1〕∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PA ⊥AB ， ∴PA ⊥平面ABCD ，
∵AB ⊥AD ，∴以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 那么A 〔0，0，0〕，D 〔0，2，0〕，E 〔2，1，0〕，C 〔2，4，0〕，设P 〔0，0，λ〕，λ＞0， 那么
AC =〔2，4，0〕，AP =〔0，0，﹣2〕，DE =〔2，﹣1，0〕，
∴DE AC
⋅=4﹣4+0＝0，DE AP ⋅=0，
∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，
∵AC ∩AP ＝A ，∴DE ⊥平面PAC ， ∵DE ⊂平面PED ，∴平面PED ⊥平面PAC ． 解：〔2〕由〔1〕知平面PAC 的一个法向量为
DE =〔2，﹣1，0〕，
∵直线PE 与平面PAC
PE =〔2，1，﹣λ〕，
∴|cos PE DE ＜，＞|＝
|=
，
解得λ＝±2，
∵λ＞0，∴λ＝2，即P 〔0，0，2〕， 设平面PCD 的一个法向量为n
=〔x ，y ，z 〕，
DC =〔2，2，0〕，DP =〔0，﹣2，2〕，
∴220220
n DC x y n DP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取x ＝1，得n =〔1，﹣1，﹣1〕，
∴cos 5n DE =
=＜，＞， ∵二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角是锐角，
∴二面角A ﹣PC ﹣D
的余弦值为
5
．
【点睛】此题考察面面垂直的证明，考察二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
()()e ln ,e x
f x a x x x
=+-为自然对数的底数.
(1)当0a
>时,试求()f x 的单调区间;
(2)假设函数
()f x 在1,22
x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上有三个不同的极值点,务实数a 的取值范围.
【答案】〔1〕单调增区间为()1,∞+,单调减区间为()0,1；〔2
〕()
e --
【解析】
试题分析：〔1〕借助题设条件运用导数的知识求解；〔2〕根据题设运用导数的有关知识进展分析探求. 试题解析： 〔1〕函数的定义域为
()0,x ∈+∞,()()()()()
()2
22
11111'1x x x
e ax x e x e x ax x
f x a x x x x +---+-⎛⎫=
+-== ⎪⎝⎭
.当0a >时，对于
()0,,0x x e ax ∀∈+∞+>恒成立，所以，假设()1,'0x f x >>，假设()01,'0x f x <<<，所以()f x 的单调增区间为1,
，单调减区间为
0,1.
〔2〕由条件可知
()'0f x =，在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上有三个不同的根，即0x e ax +=在1
,22
x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
上有两
个不同的根，且a e ≠-，令()x
e g x a x
==-
，那么()()1'
x e x g x x
-=-
，当1,12x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭单调递增，()1,2x ∈
单调递减，()g x ∴的最大值为()()211
1,2,222g e g e g e ⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
，而
2211
220,222
e e e e e a e ⎛⎫---=->∴-<<- ⎪⎝⎭.
考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.
()()ln x e f x a x x x =+-()()ln x
e f x a x x x
=+-的单调区间,求解时运用求导法那么借助
的范围
及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问那么通过构造函数()x
e g x a x
==-
,运
用求导法那么及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出
,使得问题获解.
()2ln f x x bx a x =+-．
〔1〕当函数
()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式；
〔2〕在〔1〕的条件下，假设0x 是函数
()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求n 的值；
〔3〕当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=
，求证：
()00f x '>．
【答案】〔1〕()()26ln 0f x x x x x =-->〔2〕3n =〔3〕详见解析
【解析】
试题分析：〔1〕先求出()2ln f x x bx a x =+-的导函数，再根据()'15f =且()10f =可以求得,a b
的值进而得函数
()f x 的解析式；〔2〕先根据导数研究函数()f x 的单调性，再根据零点定理断定出零点
0x 所在区间即可求得n 的值；〔3〕根据()()12,f x f x 做差先将()0'f x 表示成关于
1
2
x t x =的函数
()()0'f x h t =，然后证明()0h t >即可．
试题解析：〔1〕
()2a
f x x b x
'=+-
，所以()()1251{{1106f b a b f b a =+-=-=-⇒=+=='，
∴函数
()f x 的解析式为()()26ln 0f x x x x x =-->；
〔2〕
()()22
626
6ln 21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=
'， 因为函数
()f x 的定义域为0x >，
令
()()()2323022
x x f x x x x
+-=
==-'⇒=或，
当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
且函数
()f x 的定义域为0x >，
令
()()()2323022
x x f x x x x
+-=
==-'⇒=或，
且()0,2x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，
且函数
()f x 至少有1个零点，而()10f =，不符合要求，
()()()()2
361ln 30,462ln 46ln 04
e f f =-=-=，
∴()03,4x ∈
，故3n =．
〔3〕当1a =时，函数
()2ln f x x bx x =+-，
()()22
11112222ln 0,ln 0f x x bx x f x x bx x =+-==+-=，两式相减可得
()()2212
1212121212
ln ln ln ln 0,x x x x b x x x x b x x x x --+--+==
-+-．
()()000
11
2,2f x x b f x x b x x =+-+-
'='，因为12
2
x x x +=
，
所以
()()12120121212
ln ln 2
22x x x x f x x x x x x x +-=⨯
+-+--+' 设()()2
1211,ln 1
t x t h t t x t -=>=-+， ∴()()()()()()
22
222
14114
0111t t t h t t t t t t t +--=-==>+++'， 所以()h
t 在()1,+∞上为增函数，且()10h =，
∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以()00f x '>． 考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式．
【方法点睛】此题主要考察导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题．涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．
〔二〕选考题：一共10分。

请考生在第22、23题中任选一题答题。

假设多做，那么按所做的第一题计分
xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为
2sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩〔θ为参数〕，曲线2C
的极坐标方程为cos sin 50ρθθ--=． 〔1〕求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； 〔2〕设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求
PQ 的最小值．
【答案】〔1〕曲线1C 的普通方程得22184x y +=，曲线2C
的直角坐标方程为50x --=；
〔2
【解析】 【分析】
〔1〕
由2x y sin θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩消去参数θ得，即可得到曲线1C 的普通方程；利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求解
曲线2C 的直角坐标方程； 〔2
〕设(),2sin P
θθ
，利用两点间的间隔公式求得点P 到曲线2
C
的间隔为
54cos d πθ⎛
⎫-+ ⎪
=
，即可求解. 【详解】〔1
〕由2x y sin θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22
184x y +=．
将cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩代入曲线2C
的极坐标方程为cos sin 50ρθθ-=，得曲线2C 的直角坐标方程
为50x -
-=．
〔2
〕设(),2sin P
θθ
，那么点P 到曲线2
C
的间隔为
54cos d πθ⎛⎫-+ ⎪===
． 当cos 14πθ
⎛
⎫+= ⎪⎝⎭时，d
PQ
【点睛】此题主要靠考察了参数方程与极坐标方程的互化，其中数据曲线的参数方程和普通方程的互化，以
及极坐标与直角坐标的互化公式，合理运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能. 23.选修4-5：不等式选讲
函数()()31f x x a x a R =++-∈. 〔1〕当1a =-时，求不等式
()1f x ≤的解集；
〔2〕设关于x 的不等式()31f x x ≤+的解集为M ，且1,14M ⎡⎤
⊆⎢
⎥⎣⎦
，求a 的取值范围.
【答案】〔1〕1
142x
x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；〔2〕7
13
a -≤≤. 【解析】
试题分析：〔1〕当1a =-时，由零点分段法，求不等式
()1f x ≤的解集，最后取并集即可；〔2〕由题
设条件可得
3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得a 的取值
范围.
试题解析：〔1〕当1a =-时，
()131f x x x =-+-，()11311f x x x ≤⇒-+-≤，即
131131x x x ⎧≤⎪⎨
⎪-+-≤⎩或者1
131311
x x x ⎧<<⎪
⎨⎪-+-≤⎩或者11311x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩. 解得1314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或者1
1312x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩
或者13
4x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1143x ≤≤或者1132x <≤或者∅. ∴原不等式的解集为1
14
2x
x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
. 〔2〕∵1,14M ⎡⎤
⊆⎢
⎥⎣⎦
，
∴当1,14x ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时，不等式()31f x x ≤+恒成立，即3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，
当11,43x ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
时，1331x a x x ++-≤+，即6x a x +≤， ∴66x x a x -≤+≤
∴75x a x -≤≤在11,43⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
上恒成立， ∴
()()min min 75x a x -≤≤，即754
4
a -≤≤；
当1,13x ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，3131x a x x ++-≤+，即2x a +≤，即22x a -≤+≤. ∴22x a x --≤≤-在1,13⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上恒成立， ∴
()()min min
22x a x --≤≤-，即713
a -≤≤； 综上，a 的取值范围为7
13
a -≤≤.。