高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编含答案

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》期末复习知识要点
一、选择题
1．2020(1)(1)i i +--的值为（ ）
A ．0
B ．1024
C ．1024-
D ．10241-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式
=
112233191920112233191920
20202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =11
33
55
1919
202020202()C i C i C i C i ++++L
=11
33
55
53
31
1
3
2020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =11
33
55
5
5
33
1
2020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】
本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()
221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=
B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】
由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．
3．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数
(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为
ˆ0.8585.71y
x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg
C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个
D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】
根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】
因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确； 该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】
本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.
4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳线，
表示一根阴线），从
八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．
3
14
B ．27
C ．
928
D ．
1928
【答案】A 【解析】 【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．下列等式不正确的是（ ）
A ．111
m m
n
n m C C n ++=+ B ．121
11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1
1m m n n A nA --=
D ．1(1)k k k
n n n nC k C kC +=++
【答案】A 【解析】 【分析】
根据排列和组合公式求解即可. 【详解】
根据组合公式得1
1!1(1)!1!()!1(1)!()!1
m
m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；
根据排列公式得
1221
11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!
m m
m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=
-=+-=⋅=----，则B 正
确；
根据排列公式得1
1!(1)!()!()!
m
m n n n n A n nA n m n m ---=
=⋅=--，则C 正确；
根据组合公式得()()1
!!
(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[]!!
()!()!!(1)!
k k
n n n n nC kC n k k n k k n k -⋅
=--+-=
即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；
故选:A 【点睛】
本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.
6．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2
(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
ˆ23y
x =-；
（4）“1x ≥”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得
2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；
（2）中，已知(
)2
2,X N σ
~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所
以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，
所以“1x ≥”是“1
2x x
+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
7．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35 B ．925 C ．
1625
D ．
25
【答案】B 【解析】
PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为
25π-16π9
25π25
=,故选B.
8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）
4
2
3
5
销售额
（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：4235492639543.5,4244
x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，
∴ˆa
=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，
∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程
9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240
C ．360
D ．540
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为
1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122542
2
215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3
3(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故
选A ．
考点：排列、组合的应用．
【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．
10．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28
C ．38
D ．42
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】
根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有
2887
282
C ⨯=
=种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法； 故选B ． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．
11．古代人常常会研究“最大限度”问题，下图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC 中（阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC 的三边分别相切），则质点落在阴影部分内部的概率是（ ）
A ．
233
- B ．
(233)π
-
C ．
233
- D ．
(233)π
- 【答案】D 【解析】 【分析】
设圆的半径为r ，表示出三角形的边长，分别求出圆的面积和三角形面积，根据几何概型求解概率. 【详解】
设“质点落在阴影部分内部”为事件M .
如右图所示：设圆的半径为r ，正三角形ABC 的边长为a . 因为130PBO ∠=︒，所以
3
tan 303
r BP =︒=
，解得3BP r =.同理，3CQ r =. 又因为122PQ O O r ==，所以
332(232)BP CQ PQ r r r r BC a ++=++===，所以由几何概型得，点落在阴
影部分内部的概率是
2222
(233)()133(232)4
P M a a r π
-===
⨯+. 故选：D. 【点睛】
此题考查求几何概型，关键在于准确求出圆的面积和三角形的面积，找出其中的等量关系即可得解.
12．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
13．设1021001210(2)x a a x a x a x =++++L ，那么
()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L
L 的值为（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．10(21)
【答案】C 【解析】 【分析】
令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】
解：因为
)10
2
10
1
2
10
2x
a a x a x a x =++++L ，
令1x =得)10
1
2
3
10
21a a a a a =++++L ， 令1x =-得()10
1
2
3
10
21a a a a a =-+-++L ，
所以()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L L
()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L
(
)(
)
10
10
21
21
=
-+⋅
(
)(
)
10
2121+⋅
⎡⎤-⎣
⎦
=
1011== 故选：C 【点睛】
本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．
14．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用x(万元)
1
2
4
5
销售额y(万元)
10
26
35
49
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元
C ．56万元
D ．57万元
【答案】D 【解析】
试题分析：由表格可算出1(1245)34x =
+++=,1
(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b
=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D.
考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .
15．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）
A ．残差平方和变小
B ．相关系数r 变小
C ．相关指数2R 变小
D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱
【答案】A 【解析】 【分析】
由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】
∵从散点图可分析得出：
只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】
该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.
16．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个
【答案】C 【解析】
由题意得，0a ≠，a 的选择一共有1
4C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155
C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

选C.
17．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种
【答案】C 【解析】
由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位
置把A 排列，有1
22A =种结果，Q 程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有42
4248A A =，根据分
步计数原理知共有24896⨯=种结果，故选C.
18．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96
B ．84
C ．120
D ．360 【答案】B
【解析】
【分析】
先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.
【详解】
由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为
4
44A 96=，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为44A 24=，有一半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为961284-=.
故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
19．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3
E X =，则(32)D X -=（ ）
A ．59
B ．53
C ．5
D ．7
【答案】C
【解析】
【分析】
由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13
a =，12
b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果．
【详解】
1()3
E X =Q ∴由随机变量X 的分布列得：
116116
3a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329
D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=， 5(32)9()959
D X D X ∴-==⨯= 故选：C ．
【点睛】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
20．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ）
A ．36
B ．72
C ．108
D ．144
【答案】D
【解析】
【分析】
按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生
的情况去掉，录取方案数为2263C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为24C 、2
2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，
③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有12
2C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案；
故选：D ．
【点睛】
本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。