高二数学人教选修1-2同步练习：3.2.1 复数的加法和减法 Word版含解析

§3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法和减法
一、基础过关
1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于
( ) A ．0
B ．2i
C ．6
D ．6－2i
2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在
( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于
( ) A ．2
B ．2＋2i
C ．4＋2i
D ．4－2i 4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为
( ) A ．1＋i
B ．2＋i
C ．3
D ．－2－i
5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于
( )
A ．－3i
B ．3i
C ．±3i
D ．4i 6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．
二、能力提升
7．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．
8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．
9．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．
10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2
＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．
11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向
量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．
12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．
三、探究与拓展
13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；
(2)判断△ABC 的形状；
(3)求△ABC 的面积．
答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B
6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i
＝－1 005＋1 005i.
7．3＋i
8.115＋3i 9．1
10．解 ∵z 1＝m 2＋m m ＋2
＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ， ∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫m 2
＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2
＋(m 2－2m －15)i. ∵z 1＋z 2为虚数，
∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，
解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )．
11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，
∴AC →对应的复数为
(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，
设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，
∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，
故x ＝4，y ＝－2.
∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．
12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，
则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．
∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2
，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎨⎧
32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.
方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．
则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，
由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.
13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，
BC →对应的复数为
－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，
AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.
(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，
|AC →|＝8＝22，
∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，
∴△ABC 为直角三角形．
(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。