2020年高一下学期数学人教旧版必修二(全)：空间点、线、面之间的位置关系-《讲义教师版》

空间点、线、面之间的位置关系
知识集结
知识元
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
知识讲解
平面的概念、表示及其基本性质
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
图①图②
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4．平面的基本性质
公理内容图形符号
公理1 如果一条直线上的两
点在一个平面内，那
么这条直线在此平面
内
A∈l，B∈l，
且A∈α，
B∈α⇒
l⊂α
公理2 过不在一条直线上的
三点，有且只有一个
平面
A，B，C三点
不共线⇒存在
唯一的α使
A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平
面有一个公共点，那
么它们有且只有一条
过该点的公共直线
P∈α，
P∈β⇒α∩β＝
l，且P∈l
例题精讲
文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1.
下面说法中(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①因为A⊂α，B⊂α，所以AB⊂α；
②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；
③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；
④因为A∉α，a⊂α，所以A∉a.
其中正确的说法的序号是()
A．①④B．②③C．④D．③
【答案】C
【解析】
题干解析:
点在平面上，用“∈”表示，不能用“⊂”表示，故①不正确；AB在α内，用“⊂”表示，不能用“∈”表示，故②不正确；由A∉a，a⊂α，不能得出A∉α，故③不正确；由A∉α，a⊂α，知A∉a，故④正确.
例2.
用符号语言表示下列语句，正确的个数是( )
(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.
(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α，a⊄α.
(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.
(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l，l∩α=M.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
题干解析:
(1)错误，点A和平面的关系应是A∈α，A∉β，(4)错误，缺少P∉α，(2)(3)正确.
例3.
AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.
【答案】
BD
【解析】
题干解析:P∈EH，EH⊂α，故P∈α，同理P∈β，而α∩β=BD，所以P∈BD.
点、线共面问题
知识讲解
平面的概念、表示及其基本性质
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
图①图②
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4．平面的基本性质
公理内容图形符号
公理1 如果一条直线上的两
点在一个平面内，那
么这条直线在此平面
内
A∈l，B∈l，
且A∈α，
B∈α⇒
l⊂α
公理2
过不在一条直线上的
三点，有且只有一个A，B，C三点不共线⇒存在
平面唯一的α使
A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平
面有一个公共点，那
么它们有且只有一条
过该点的公共直线
P∈α，
P∈β⇒α∩β＝
l，且P∈l
例题精讲
点、线共面问题
例1.
若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.
【答案】
共线
【解析】
题干解析:如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记为β，则
α∩β=CD，因为l∩α=O，所以O∈α，又O∈AB⊂β，所以O∈β，所以O∈CD.故O，C，D共线.
例2.
如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH 交于一点P，求证：点P在直线BD上.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，∴P∈平面ABD∩平面CBD，∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．
例3.
下列说法中正确的是()
A．空间不同的三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【答案】D
【解析】
题干解析:
经过同一直线上的三点有无数个平面，故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.
例4.
在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么()
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】A
【解析】
题干解析:
如图，因为EF∩HG=M，
所以M∈EF，M∈HG，
又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，
故M∈平面ABC，M∈平面ADC，
所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.
点共线与线共点问题
知识讲解
平面的概念、表示及其基本性质
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
图①图②
3．平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC或平面BD.
4．平面的基本性质
公理内容图形符号
公理1 如果一条直线上的两
点在一个平面内，那
么这条直线在此平面
内
A∈l，B∈l，
且A∈α，
B∈α⇒
l⊂α
公理2 过不在一条直线上的
三点，有且只有一个
平面
A，B，C三点
不共线⇒存在
唯一的α使
A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平
面有一个公共点，那
么它们有且只有一条
过该点的公共直线
P∈α，
P∈β⇒α∩β＝
l，且P∈l
例题精讲
点共线与线共点问题
如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
【答案】D
【解析】
题干解析:
根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.
例2.
如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:如图所示，因为A1B1∥AB，所以A1B1与AB确定一
平面，记为平面α.同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面
β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ=C1C.又△ABC
与△A1B1C1不全等，所以AA1与BB1相交，设交点为P，
P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，所以P∈γ，P∈β，所以
P在平面β与平面γ的交线上.又β∩γ=C1C，所以P∈C1C，所以
AA1，BB1，CC1交于一点.
求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，
∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，
∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
例4.
在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图.
(1)求证：D、B、E、F四点共面；
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:(1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β.同理可证得
Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.
空间两直线位置关系的判定
知识讲解
空间中直线与直线之间的位置关系
1．异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：(通常用平面衬托)
2．空间两条直线的位置关系
平行、相交、异面直线
例题精讲
空间两直线位置关系的判定
例1.
所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．
【答案】
③④
【解析】
题干解析:由异面直线的定义知③④正确．
例2.
如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是()
A．①③B．②④C．①④D．①②
【答案】A
【解析】
题干解析:
AB与平面BCD交于B点，且B∉CD，故AB与CD互为异面直线，故①正确；当H点落在C或F落在D点上时，FH与CD相交；当H落在B或F点落在D上时，FH与DB相交，故②错误；FH与平面EGD交于F点，而F∉EG，故EG与FH互为异面直线，故③正确；当G落在B上或E落在A上时，EG与AB相交，故④错误.
例3.
如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是()
A．①②③B．②④C．③④D．②③④
【答案】C
【解析】
题干解析:
由题意画出正方体的图形如图：
显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．公理4、等角定理的应用
知识讲解
空间中直线与直线之间的位置关系
1．公理4
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⇒a∥c.
2．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
例题精讲
公理4、等角定理的应用
例1.
如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得
EM A1B1，∵A1B1C1D1，∴EM C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB C1F，
∴BF C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.
例2.
已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是()
A．l与AD平行B．l与AD不平行
C．l与AC平行D．l与BD垂直
【解析】
题干解析:
假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所
以l与AD不平行.
例3.
如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC AD，BE FA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形.
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:(1)由已知FG=GA，FH=HD，可得GH AD.又BC AD，所以
GH BC，所以四边形BCHG为平行四边形.(2)由BE AF，G为FA的中点知，BE FG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面.又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面.
求异面直线所成的角
知识讲解
空间中直线与直线之间的位置关系
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
例题精讲
求异面直线所成的角
例1.
如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为()
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】C
【解析】
题干解析:
取AC的中点G，连接EG，FG，则EG BC，FG DA.所以△EGF的三边是EF=，EG=1，FG=1，所以EF2=EG2+FG2，所以△EGF为直角三角形，
∠EGF=90°，即为AD与BC所成的角.
例2.
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是()
A．0<θ<B．0<θ≤
C．0≤θ≤D．0<θ≤
【解析】
题干解析:
如图，连接CD′，则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP，由图可
知，当P点与A点重合时，θ=，当P点无限接近D′点时，θ趋近于0，由于是异面直线，故θ≠0.
例3.
已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，
(1)求证：直线EF与BD是异面直线.
(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:(1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.在
Rt△EGF中，由EG=FG=AC，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角
为45°.
直线与平面的位置关系
知识讲解
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
直线与平面的位置关系
位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点
符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α
图形表示
平面与平面的位置关系
位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个
两平面相交α∩β＝l 无数个点(共线) 例题精讲
直线与平面的位置关系
例1.
下列说法中，正确的个数是()
(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.
(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.
(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.
A．0B．1C．2D．3
【解析】
题干解析:
(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.
(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β.
例2.
如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，又BB′⊂平面
ABB′A′，CE⊂平面CDFE，所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，故平面ABB′A′与平面CDFE相交.
例3.
两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：
(1)a与β内的所有直线平行；
(2)a与β内无数条直线平行；
(3)直线a与β内任何一条直线都不垂直；
(4)a与β无公共点．
其中正确命题的个数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】
题干解析:
由α∥β，a⊂α，可知a∥β，因此(2)(4)正确．在正方体ABCDA1B1C1D1中，
取A1B1为a，平面ABCD为β，平面A1B1C1D1为α，则a⊂α，α∥β，显然β内的直线BC⊥A1B1，所以(1)(3)不正确．故选B.
例4.
如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于N，连接NB并延长交EF 的延长线于M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且
M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM为两平面的交线．在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．
备选题库
知识讲解
本题库作为知识点“平面的基本性质和推论”的题目补充.
例题精讲
备选题库
例1.
（2020∙西湖区校级模拟）下列说法正确的是（）
A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．两条相交平面的交线是一条线段【答案】B
【解析】
题干解析:
∵不在一条直线上的三点确定一个平面，∴A错误；
∵过一条直线的平面有无数个，∴B正确；
∵两条相交或平行直线确定一个平面，∴C错误；
∵两个平面的交线是一条直线．∴D错误。

例2.
（2020秋∙金牛区校级月考）已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为（）
A．B．C．D．
【解析】
题干解析:
连结AC，BD，交于点O，连结SO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（，0，0），B（0，，0），S（0，0，），E（，0，），
=（，-，），=（-，0，-），
设异面直线BE与SC所成角的大小为θ，
则cosθ===。

∴θ=．
∴异面直线BE与SC所成角的大小为．
例3.
（2020春∙天津期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=1，AA1=，则异面直线AD1与B1C 所成角的余弦值为（）
A．B．-C．D．-
【答案】C
【解析】
题干解析:
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设CD=t，则A（1，0，0），D1（0，0，），B1（1，t，），C（0，t，0），
=（-1，0，），=（-1，0，-），
设异面直线AD1与B1C所成角为θ，
则cosθ===，
∴异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为。

例4.
（2020春∙安徽期末）已知α，β是相异两个平面，m，n是相异两直线，则下列命题中正确的是（）
A．若m∥n，m⊂α，则n∥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∩B=m，n∥m，则n∥β
【解析】
题干解析:
对于A，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故A错；
对于B，若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B正确；
对于C，当α∩β=l时，不妨令m∥l，n∥l，则m∥n，故C错误；
对于D，若α∩B=m，n∥m，则n∥β或n⊂β，故D错。

当堂练习
单选题
练习1.
（2020春∙湖北期中）下列说法中错误的是（）
①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；
②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；
③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；
④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③
【解析】
题干解析:
在①中，如果一条直线和平面内的一条直线垂直，
那么该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内，故①错误；
在②中，如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，
那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故②错误；
在③中，如果一条直线和平面的一条垂线垂直，
那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故③错误；
④如果一条直线和一个平面垂直，
那么由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线，故④正确。

练习2.
（2020春∙温州期中）已知两个平行平面α，β，直线l⊂α，过l上一点P作与l所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（）
A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．圆
【解析】
题干解析:
∵两个平行平面α，β，直线l⊂α，过l上一点P作与l所成角为40°的直线m，
l是旋转轴，m是母线，
平面β∥平面α，截面平行于旋转轴，
∴直线m与β的交点M的轨迹是双曲线。

练习3.
（2020春∙武清区期中）已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）
【解析】
题干解析:
过O作a′∥a，b′∥b，
设直线a′、b′确定的平面为α，
∵异面直线a、b成60°角，
∴直线a′、b′所成锐角为60°
①当直线l在平面α内时，
若直线l平分直线a′、b′所成的钝角，
则直线l与a、b都成60°角；
②当直线l与平面α斜交时，
若它在平面α内的射影恰好落在
直线a′、b′所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等。

此时l与a′、b′所成角的范围为[30°，90°]，
适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．
综上所述，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条
∵a′∥a，b′∥b，
∴过点O与a′、b′都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．
练习4.
（2020春∙廉江市期中）已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若l∥m，l∥α，则m∥α
B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l⊥β，α⊥β，则l∥α
D．若l⊥m，l⊥α，且m⊥β，则α⊥β
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，
∴在A中，若l∥m，l∥α，则m∥α或m⊂α，故A错误；
在B中，若α⊥β，l∥α，则l与β平行、相交或l⊂β，故B错误；
在C中，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，故C错误；
在D中，若l⊥m，l⊥α，且m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确。

填空题
练习1.
（2020春∙丽水期末）在△ABC中，D为AB的中点，AC=2CD=4，△ABC的面积为6，
BE⊥CD且BE交CD于点E，将△BCD沿CD翻折，翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值__．
取值范围是____
_
【答案】
[0，]
【解析】
题干解析:如图所示，根据题意，过A作CD的垂线，垂足为F，过B作CD的垂线，垂足为F，由题意得AC=2CD=4，△ABC的面积为6，
S△ACD===3，∴BE=AF=3，设，的夹角为θ，则=∙（）=，∴-9≤12cosθ≤9，解得-≤cosθ≤．∴AC与BE所成角的
余弦值取值范围是[0，]．
练习2.
（2020春∙新华区校级期末）如图，点M为正方形ABCD边DC上异于点C，D的动点，将
△ADM沿AM翻折成△PAM，使得平面PAM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是
________．（填序号）
（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；
（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直
（3）存在点M使得直线PA⊥平面PBC
（4）平面PBC内存在直线与平面PAM平行．
（5）存在点M使得直线PA⊥平面PBM
【答案】
（2）（4）
【解析】
题干解析:（1）在平面PBM内不存在直线与BC平行，由于BC与平面PMB相交，只能异面或相交，即（1）错误；（2）过P作PH⊥AM，垂足为H，由平面PAM⊥平面ABCM，可得PH⊥平面ABCM，可得PH⊥AC，假设在平面PBM内存在直线l与AC垂直，平面PBM与PH相交，平移直线l至PK与PH相交，可得直线AC垂直于PK在平面ABCM的射影，即（2）正确；（3）若存在点M使得直线PA⊥平面PBC，可得PA⊥CB，BC⊥AB，即有BC⊥平面PAB，可得BC⊥PA，
BC⊥PH，可得BC⊥平面PAH，与题意矛盾，故不存在点M使得直线PA⊥平面PBC，即（3）错误；（4）延长BC和AH于N，连接PN，在平面PBN内作直线与交线PN平行，由线面平行的判定定理可得平面PBC内存在直线与平面PAM平行，（4）正确；（5）假设存在点M使得直线PA⊥平面PBM，可得PA⊥MB，又MB⊥PH，即有MB⊥平面PAM，可得MB⊥AM，可得M在以AB为直径的圆上，但以AB为直径的圆与DC无交点，即（5）错误．
练习3.
（2020春∙桑珠孜区校级期中）若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是
_______．
【答案】
平行或异面
【解析】
题干解析:∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点∵a⊂α，b⊂β，∴直线a，b没有公共点∴直线a，b的位置关系是平行或异面
解答题
练习1.
（2020∙上海模拟）长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点。

（1）求异面直线AC与B1D所成的角；
（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A-CDE的体积．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。

（1）依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），∴，∴，∴异面直线AC
与B1D所成的角为．（2）设E（0，0，a），则，∵B1D⊥平面
ACE，AE⊂平面ACE，∴B1D⊥AE．∴，∴-1+2a=0，．∴V A-CDE=V E-
ADC==．
练习2.
（2020春∙襄城区校级月考）空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若，求异面直线AD、BC所成角的大小．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:设G为AC的中点，∵E、F分别是AB、CD中点∴EG∥BC且
FG∥AD且∴∠EGF为异面直线AD、BC所成的角（或其补
角）∵，∴△EGF中，∴∠EGF=120°，即异面直线AD、BC 所成的角为60°
练习3.
（2020秋∙定边县校级月考）已知长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2，AE=2
（1）求BC和EG所成的角是多少度？
（2）求AE和BG所成的角是多少度？
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵EG∥AC，∴∠ACB是BC和EG所成的角，∵长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2，AE=2∴tan∠ACB=1，∴∠ACB=45°，∴BC和EG所成
的角是45°。

（2）∵AE∥BF，∴∠FBG是AE和BG所成的角，tan∠FBG=，∴∠FBG=60°，∴AE和BG所成的角是60°．
练习4.
（2020秋∙徐汇区校级月考）在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，三棱锥P-ABD的体积等于4，求异面直线AD与PC所成角的大小．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:∵在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，三棱锥P-ABD的
体积等于4，∴，∴PA ==3，
∵AD∥BC，∴∠PCB是异面直线AD与PC所成角（或所成角的补角），
∵PB ===，BC=AD=4，BC⊥PB，∴tan∠PCB ==，∴异面直线AD与PC所成角为arctan。

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