2018版高中数学人教B版选修2-1学案：2-2-2 椭圆的几何

2.2.2 椭圆的几何性质(二)
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1 判断点P (1，2)与椭圆x 24＋y 2
＝1的位置关系．
思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的位
置关系的判定吗？
梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：
知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？
思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的位置关系？
梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆__________；若Δ＝0，则直线和椭圆________；若Δ<0，则直线和椭圆________． (2)根与系数的关系及弦长公式
设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、
B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做________．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入上式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0. 例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 2
9＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2，1)，而定
点(2，1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交．
类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断
例1 已知点P (k ，1)，椭圆x 29＋y 2
4＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为________________．
引申探究
若将本例中P 点坐标改为“(1，k )”呢？
反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．
跟踪训练1 已知点(3，2)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上，则( )
A ．点(－3，－2)不在椭圆上
B ．点(3，－2)不在椭圆上
C ．点(－3，2)在椭圆上
D ．以上都不正确
命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断
例2 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 2
3＝1的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2
＝1有两个不
同的交点P 和Q .求k 的取值范围．
反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．
跟踪训练2 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 2
36＝1，则直线l 与椭圆C 的公共
点的个数为( )
A ．1
B ．1或2
C ．2
D ．0
(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2
2＝1相切，则斜率k 的值是( )
A.
63 B ．－63 C ．±63 D ．±33
类型二 弦长及弦中点问题
例3 已知椭圆x 216＋y 2
4＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2，1)，求直线AB 的方程．
引申探究
在本例中求弦AB 的长．
反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．
跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 2
9＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．
(1)当直线l 的斜率为1
2时，求线段AB 的长度；
(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．
类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
反思与感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．
(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围．
跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM
→
＝0，求|PM →
|的最小值．
1．若点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1的内部，则a 的取值范围是( )
A ．－2<a < 2
B ．a <－2或a > 2
C ．－2<a <2
D ．－1<a <1
2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2
＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相切或相交
3．已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 2
4＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．
5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝42
3，求直线l 的方程．
1．直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2
＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ (1＋1
k
2)(y 1－y 2)2
＝
1＋1
k
2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，
则⎩⎨⎧
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1，(2x 0
－x )2a 2
＋(2y 0
－y )
2b 2
＝1，
两式作差即得所求直线方程．
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．
提醒：完成作业 第二章 2.2.2(二)
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 当x ＝1时，得y 2＝3
4，
故y ＝±32，而2>3
2，故点在椭圆外．
思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20
b 2>1；
当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20
b 2＝1；
当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20
b 2<1.
知识点二
思考1 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．
思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2
b
2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则
梳理 (1)相交 相切 相离 (2)弦长 题型探究
例1 (－∞，－332)∪(33
2，＋∞)
引申探究
解 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >42
3.
跟踪训练1 C 例2 (1)A
(2)解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 2
2
＋(kx ＋2)2＝1.整理得
⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭
⎫12＋k 2＝
4k 2－2>0，解得k <－22或k >22
. 即k 的取值范围为
⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭
⎫22，＋∞.
跟踪训练2 (1)C (2)C
例3 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，
得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )
4k 2＋1.
又M 为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，
解得k ＝－12
.
故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2，1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.
又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 2
2＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，
于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2) ＝－44×2＝－12，
即k AB ＝－1
2
.
故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2，1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x ，2－y )．
∵A ，B 两点都在椭圆上，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2
＝16. ② ①－②，得x ＋2y －4＝0.
即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究
解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，
得两交点坐标A (0，2)，B (4，0)， 故|AB |＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.
跟踪训练3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝1
2(x －4)，
即y ＝1
2x .由⎩
⎨⎧
y ＝12
x ，x 2
36＋y 2
9＝1，
消去y 可得x 2－18＝0， 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋1
4(x 1－x 2)2
＝5
2
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝
5
2
×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.
(2)方法一 当直线l 的斜率不存在时，不合题意．设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y －2＝k (x －4)，x 236＋y 2
9
＝1，消去y 得
(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝32k 2－16k
1＋4k 2
，
由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，
解得k ＝－1
2
，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y －2＝－1
2(x －4)，
即x ＋2y －8＝0.
方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有⎩⎨⎧
x 2136＋y 21
9
＝1，x 22
36＋y
22
9＝1，
两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 21
9
＝0，
整理得k AB ＝
y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)
36(y 2＋y 1)，
由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－1
2，
于是直线AB 的方程为 y －2＝－1
2(x －4)，
即x ＋2y －8＝0.
例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪
⎧
4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m
得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤5
2
. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝1
5(m 2－1)，
所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2
＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎡⎦⎤4m 2
25－45(m 2
－1) ＝25
10－8m 2.
所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 跟踪训练4 解 由|AM →
|＝1，A (3，0)，
知点M 在以A (3，0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，
∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2
＝
|P A →
|2－1，
∴当|P A →
|min ＝a －c ＝5－3＝2时， |PM →
|min ＝ 3. 当堂训练
1．A 2.C 3.27 4.(－2，2)
5．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 22
＋y 2
＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0.
由|MN |＝
42
3
，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝32
9，
所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝32
9，
所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝32
9
， 即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2
)2＝32
9，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.。