尺规作图的教育价值与初中教学实践探究

尺规作图的教育价值与初中教学实践探究
王聿泽1摘要：近年来，在数学学习实践中越来越重视培养学生的动手操作能力.尺规作图作为蕴含丰
富历史背景的内容载体，是培养学生动手操作能力和问题解决能力的有效方式.文章基于尺规作图教育价值的思考，深入教材与课程标准，探究尺规作图与数学教育任务的联系，提出了一些教学改进建议．
关键词：尺规作图；动手操作；能力培养
收稿日期：2020-05-15
作者简介：王聿泽（1996—），男，硕士研究生，主要从事数学教学研究.
一、引言
近几年，培养学生的动手操作能力在数学学习实践中越来越被重视，在北京中考数学试题中，尺规作图成为了一个重点考查的内容.现以2019年北京中考数学试卷第22题为例进行说明.
题目在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图1所示，点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a
（a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD.
图1
C
B
（1）求证：AD =CD ；
（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为点E ，作DF ⊥BC ，垂足为点F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM.若AD =CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数.
此题综合考查学生用尺规作三角形的外接圆和角平分线，要求学生利用直尺和圆规作出完整的图形后，再进行圆的相关几何证明.试题对于学生来说有陌生感，题设中没有直接说明要作的图或要证明的内容，这就要求学生要在读题和作图的过程中分析出问
题的本质，除了掌握作三角形外接圆和角平分线的尺规作图方法外，还要分析、辨别作出的图形的已知条件和未知条件.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中提出：对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要知道实施这些步骤的理由.这就要求学生在作图的基础上，理解如何作图，为什么这样作图，以及为什么可以这样作图的原因，从而正确表达作图的过程，为后续的证明做好准备和铺垫.
通过对文献的研读，发现教师对尺规作图有一些相似的认知误区.例如，对尺规作图的教学目标认识
比较模糊，对尺规作图在教学中的作用认识不足，教学方法随意且单一，出现只作出图形不写出做法、就题论题、缺乏数学思想方法的渗透等问题.因此，重新理解尺规作图的价值，明晰课程与教学中对尺规作图的要求，针对教学实践中的问题进行研究是十分必要的.
二、尺规作图的教育价值
尺规作图的教育价值是极为丰富的，主要表现在
·
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以下几点.
第一，尺规作图是建立学生几何直观的有效手段.几何直观是一种很特殊的数学直观，它借助看见的或是想象出来的几何图形之间的关系，对数学的研究对象进行直接感知.尺规作图是学生实际执行的操作，具有不可替代的直观性.利用尺规作出较为精确的几何图形，有助于学生直观想象能力的培养.尺规作图作为工具贯穿于初中几何学习的始末，成为学生观察、操作、提高几何直观水平的有力手段.
第二，尺规作图是锻炼学生演绎推理能力的重要抓手.在几何演绎推理证明中，理解好尺规作图的步骤，对学生思维能力和推理能力的提高都有着积极的影响.学生通过完成作图任务，将所学的定理或者命题用来解决某些具体问题，可以在作图操作过程中加深对定理和命题的理解.在培养学生将抽象的文字信息转化为数学符号语言能力的同时，还能够培养学生严谨的学习态度和严密的逻辑推理能力.
第三，尺规作图是锻炼学生动手操作能力的有力载体.其作为一种情境的创设，即要求在某种条件下，由学生自己动手解决问题.学生能作出一个符合要求的图形，是一种具有挑战性的创造活动.使用多种数学工具进行作图，使学生手脑并用，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，而且也可以锻炼其动手能力，为未来的学习奠定基础.
第四，它是培养学生数学素养的良好平台.在处理复杂的几何命题时，学生作图会经历尝试、分析、思考、证明等逻辑思维过程，落在纸面上的痕迹与演绎推理是各步骤逻辑思维的具体体现.学生严格按照步骤进行作图的过程，正是猜想、操作、验证的过程.同时，这样的过程可以让学生直接体悟数学的魅力和数学的思想，让学生感受到数学文化的熏陶，对培养学生的数学情感和对学习数学的认识有着重要作用，有助于学生数学学科核心素养的形成.
三、《标准》和教材中对尺规作图的内容与要求
为了明确如何通过数学教学实现尺规作图的教育价值，有必要明晰《标准》对尺规作图是如何要求的，梳理教材中呈现了怎样的相关内容，以帮助教师理清尺规作图的内容与要求，使教师对尺规作图部分的整体教学做到心中有数，进而在教学时更加得心应手.
1.《标准》中对初中尺规作图的要求
《标准》在课程内容第三学段（7~9年级）“图形与几何”部分对“尺规作图”提出了如下要求.
（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.
（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.
（3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.
（4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.
《标准》中指出，在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理.例如，对于尺规作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要知道实施这些步骤的理由.
从《标准》的要求中可知，尺规作图不只要求学生会作图，更是对学生动手能力的培养，以及直观想象的一种锻炼.在理解作图缘由这一层面上，更是培养了学生逻辑推理能力，提升了学生对几何性质、定理的理解与运用能力，可以说尺规作图为理解几何证明的过程服务.因此，尺规作图在初中几何教学中十分重要.
2.教材中尺规作图的内容
教材是依据《标准》编写的，《标准》对教材有指导作用.笔者将人教版《义务教育教科书·数学》中对尺规作图内容的呈现章节、位置和内容进行了归纳整理（见下表）.
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从表格中不难发现尺规作图贯穿初中数学几何教学的始终，内容零散分布于三个年级的不同章节，内容和难度不断增加，学习的新内容也会对旧知识进行复习巩固和解释说明，新、旧知识有序衔接.
以圆的基本概念为例，“平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形”，这个基本概念说明圆规作的是等长的线段，解决了一部分学生在学习用尺规作图构造“SAS ”全等三角形中认为本质是作角的这一误区.进一步地，还可以在不断学习尺规作图的过程中，引导学生在夯实基础知识的前提下，产生新的猜想，从而发现新的定理或性质，并加以证明.例如，角平分线的作法如下.
如图2，（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；
（2）分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为
半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点C ；
（3）画射线OC.射线OC 即为∠AOB 的平分线.
A
O
N B C
M
图2
在教学过程中，教师可以追问：这样的方法作出来的OC 一定是∠ABC 的角平分线么？学生会利用“SSS ”证明△MOC 与△NOC 全等，从而在培养学生动
手能力的同时，巩固了用“SSS ”证明三角形全等的方法，更有助于学生理解作图的依据.在作图得到角平分线后，在此基础上去发现角的平分线的性质——角平分线上的点到角两边的距离相等，从而完成利用旧知动手作图、探究实践得到新知的过程.
四、教学改进建议
谈及中考，数学学科考试按照“注重基础，能力立意”的原则，考查初中数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，考查学生的抽象概括能力、运算能力、推理能力、分析问题和解决问题的能力、空间观念、几何直观、数据分析观念、模型思想、应用意识和创新意识等.考试是评价学生是否达到《标准》所规定的学习水平的参考依据.在尺规作图的试题背景下，要更加注重对学生的动手操作能力、阅读理解能力和数学知识的实际运用能力培养的考查.《北京市高级中等学校招生考试考试说明（2019年）》对尺规作图的要求全部为B 级，即在理解的基础上，把对象用于新的情境，解决有关的数学问题或实际问题.这也从一个角度说明了尺规作图的重要地位.本研究针对如何改进尺规作图的教学实践提出以下建议.
1.透过尺规作图的历史感受数学文化
数学文化作为贯穿数学教育教学的内容，可以帮助学生了解数学在人类文明发展中的实际作用，激发
年级七年级上册
八年级上册
九年级上册
章标题第四章几何图形初步
第十二章全等三角形
第十三章轴对称第二十四章
圆
节标题
4.2直线、射线、线段
12.2三角形全等的判定
12.3角的平分线的性质
13.1.2线段的垂直平分线的性质
13.3等腰三角形24.1圆的有关性质24.3正多边形和圆内容尺规作图的概念；作一条线段等于已知线段构造“SSS ”全等的三角形；作一个角等于已知角；
构造“SAS ”全等的三角形；构造“ASA ”全等的三角形；构造“HL ”全等的三角形
作角的平分线
经过已知直线外一点作这条直线的垂线；
作线段的垂直平分线
已知等腰三角形底边和底边上的高，求作这个等腰三角形
作圆作任意的正n 边形
·
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学生学习数学的兴趣，它也能让学生感受到数学的严谨与数学的美.尺规作图来源于生活，有着悠久的历史，这是教师应该在教育教学中渗透给学生的.了解尺规作图的历史，有助于学生更好地解决一些实际问题.
几何学产生于土地测量与容积计算，由直线构成的直线形和以圆为代表的曲线形是古希腊几何中的主要图形，这也逐步确立了用直尺来画直线，用圆规来画圆或弧的作图方法.在中国古代传说中有“锤为规矩”，从汉代画像石中的“伏羲手执矩，女娲手执规”不难发现，“矩”是直角拐尺形，用以画直线、量直角，“规”是两脚状，和现在的圆规相似.“不以规矩，不能成方圆”，“规矩”一词告诫人们凡事要遵守行为规范.这一数学文化内涵可以潜移默化地教育学生，将德育自然而然融入于数学教育之中，尺规作图的教育功能不言而喻.
尺规作图也是欧几里得《几何原本》中的重要内容.假设已知一些条件，求作满足这些条件的几何图形，作出图形便可说明满足某种条件的几何图形存在.在历史上，著名的尺规作图题目数不胜数，如几何三大问题“三等分任意角”“倍立方”和“化圆为方”等.
2.探究特殊的尺规作图，拓展思维领域
尺规作图可以作为一个专题或单元内容进行讲授，在复习初中学段所学内容的基础上，考虑如何进一步培养学生的动手操作能力、阅读理解能力和数学知识的实际运用能力.可以就如何解决问题让学生以小组为单位进行阅读、尝试、作图、讨论、探究、表达，以达到增强创新和培养能力的目的.
当我们用尺规作图解决了一些几何问题后，可以提出下面的疑问：如果只使用一种作图工具，即限制直尺或圆规，我们还能完成作图吗？
其实有一部分图形是可以只用圆规进行作图的.例如，只使用圆规可以探究完成以下作图任务：把一个已知圆的圆周四等分；作已知点关于已知直线的对称点；作一条线段，使它等于已知线段的4倍，等等.但仅使用直尺却不可以完成，其原因和射影几何相关，在这里不展开论述.
以“作一条线段，使它等于已知线段的4倍”为例.
作法如下.
（1）保持圆规两脚开度不变，设其长度为r（未测量），以点A1为圆心、r为半径作圆；
（2）在圆上取一点A，以点A为圆心，r为半径作圆，交⊙A1于点B；
（3）以点B为圆心、r为半径作圆，交⊙A1于点C；
（4）以点C为圆心、r为半径作圆，交⊙A1于点A2（点A2与点A关于点A1对称，即AA2=2r），如图3所示.
A2
A
B C
A1
图3
以此类推，即可作出点A4，可得AA4=4r.
3.深化学生对几何学价值的认识
尺规作图，是用直尺和圆规两件工具，并用有限次步骤作出合乎预先规定的图形.通过学习尺规作图，让学生体会几何学的价值，这是教师在教学中应该有意为之的.讲述相关的历史故事也是教育的一种手段.例如，可以讲述美国总统林肯学习《几何原本》的真实故事.1860年，林肯在竞选总统时，他的简介里有如下一段叙述：自从担任国会议员以来，林肯认真学习《几何原本》，精通了前6卷的内容.他学习这门学科，不仅是因为学科本身的严谨性，更多是因为它可以提高自己表达的逻辑和抽象语言准确表达的能力.他常常学习到深夜，伴着枕边摇曳的烛光，在同事们的鼾声中推演证明，直到能轻易地证明前6卷中的所有命题为止.通过名人的故事让学生了解学习几何的价值不仅是解决枯燥的几何问题，更多的是在每一步有理有据的演绎推理中，训练学生的逻辑思维能力，深化学生对几何学价值的认识.
五、结束语
钱伟长教授曾表达过这样一个观点：数学训练是一切训练的基础，它训练学生的逻辑思维能力，通过训练使学生懂得在特定的条件下会发生什么事情.用正确的逻辑思维就可以得到推论，不再靠“拍脑袋”做出决定.他说：现在还有部分教师不能很好地理解这一点，我希望能够普及这个思想.数学是讲究逻辑
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思维的，要经常问一个为什么，问自己是怎样达到正确的结论的.教师的工作正体现了这种精神.我想这不仅是在探究尺规作图的教学时需要思考的，也更应该是在整个中学数学教学中应该思考的.
参考文献：
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先通过发散性思维提出各种可能的方案，然后通过集中性思维逐一尝试，最终筛选哪种方案可行，进而确定最佳方案.发散性思维是创造性思维的核心，平面几何问题是培养学生发散性思维的重要载体，故在平面几何解题教学中一定要让学生经历思维先发散、再集中的过程.
4.数学思想方法的凝练过程
（1）微观的解题方法层面：解斜三角形问题的“化斜为直”方法.
（2）中观的数学思想方法层面，有如下几种方法.
分析法（执果索因）和综合法（由因导果）：思维先发散，再集中.例如，此题中要定位点E的位置，需要先定位点B′的位置；要计算AE的长，只需要解与其有关的三角形即可.
化归方法.例如，把点B′的定位转化为两条轨迹的相交问题（交轨法），而在计算环节将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题.同时还包括“形化数，数化形”的化归，即将几何图形的位置关系代数化，进而将代数运算结果几何化.
归纳方法.通过由特殊到一般的直观操作，发现点B′实际上位于两条轨迹的交点处，进而借助交轨法定位点B′的位置.
分类方法.对哪个角可能是直角进行讨论.
方程方法.求AE的长的诸多方法均需要建立方程.
（3）宏观的数学思想方法层面：透过现象，揭示本质.透过纸翻折及轴对称的表象，发现此题的本质是寻找两条轨迹交点的问题，据此可以变式出很多题目.例如，当∠AB′F=60°时，如何求AE的长，等等.
四、结束语
解题教学是数学教学的重要组成部分，是教会学生数学思考，培养学生思维能力的重要途径.解题教学的效果关键在于教师对题目的理解与分析水平.而说题的教研活动可以有效促进教师自身对题目及解题教学的研究与思考，进而最终达到培养与提升学生思维品质的目的.
参考文献：
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