2018年高考数学(理)二轮复习 专项精练：(高考22题) 12+4分项练7(含答案解析)

12＋4分项练7 数 列
1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
答案 C
解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)
2
d ＝0，
故a 1＝－
m －1
2
.
因为a m ＋a m ＋1＝5， 故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 得m ＝5.
2．(2017·湖南省衡阳市联考)已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5等于( ) A ．8 B ．－8 C ．64 D ．－64
答案 B
解析 由等比数列的通项公式和性质可得a 7
a 3
＝q 4，q 4＝4，q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2
＝－4×2＝ －8.
3．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)已知数列{a n }中的任意一项都为正实数，且对任意m ，n ∈N *
，有a m ·a n ＝a m ＋n ，如果a 10＝32，则a 1的值为( ) A ．－2 B ．2 C. 2 D ．－ 2
答案 C
解析 令m ＝1，则
a n ＋1
a n
＝a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，公比为a 1的等比数列，从而 a n ＝a n 1，因为a 10＝32，所以a 1＝ 2.
4．已知等差数列{a n }中，a 1＝11，a 5＝－1，则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( ) A ．15 B ．20 C ．26 D ．30
答案 C 解析 d ＝
a 5－a 1
5－1
＝－3，
所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋14，
当⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≥0，a n ＋1≤0⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
14－3n ≥0，
11－3n ≤0，解得113≤n ≤14
3
，即n ＝4，
即前4项和最大，S 4＝4×11＋4×3
2
×(－3)＝26，故选C.
5．(2017届河北省衡水中学押题卷)已知数列a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n
，n ∈N *
，则S 2 017的值为( ) A ．2 016×1 010－1 B ．1 009×2 017 C ．2 017×1 010－1 D ．1 009×2 016
答案 C
解析 由递推公式，可得
当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，
S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)
＝1 009＋1
2×1 009×1 008×4＋1 008×2
＝2 017×1 010－1.
6．(2017届天津市耀华中学二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，若记b n ＝211913
2a a a --，则数列{b n }( )
A ．是等差数列但不是等比数列
B ．是等比数列但不是等差数列
C ．既是等差数列又是等比数列
D ．既不是等差数列又不是等比数列 答案 C
解析 S 21＝42＝21(a 1＋a 21)2＝21(a 9＋a 13)2＝21×2a 112，
∴a 9＋a 13＝4，a 11＝2， ∴a 2
11－a 9－a 13＝0， ∴b n ＝20
＝1，
∴数列{b n }既是等差数列又是等比数列， 故选C.
7．(2017届湖南省株洲市一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n 等于( ) A ．2n －1
B ．2n
－1 C ．3
n －1
D.12
(3n
－1) 答案 D
解析 因为a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1， 所以2S n －1＝a n －1，n ≥2，
两式相减有2S n －2S n －1＝a n ＋1－a n ，n ≥2，
所以a n ＋1＝3a n ，n ≥2，
由2S 1＝2＝a 2－1得，a 2＝3，所以a 2＝3a 1， 则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以S n ＝1－3n
1－3＝12
(3n
－1)，故选D.
8．(2017届山西省太原市三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3) (n ∈N *
)在函数
y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )
A ．S n ＝2T n
B ．T n ＝2b n ＋1
C ．T n >a n
D ．T n <b n ＋1
答案 D
解析 由题意可得，S n ＋3＝3×2n
，S n ＝3×2n
－3，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1
，
设b n ＝b 1q n －1
，
则b 1q
n －1
＋b 1q n
＝3×2n －1
，
解得b 1＝1，q ＝2，
所以数列{b n }的通项公式b n ＝2
n －1
，
由等比数列求和公式得T n ＝2n －1，考查所给的选项，
S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n <a n ，T n <b n ＋1，
所以A ，B ，C 错误． 故选D.
9．(2017届湖南省常德市一模)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹， 竹尾风割断， 剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①
，头圈一尺三②
.逐节多三分③
，逐圈少分三④
.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( ) A ．72.705尺 B ．61.395尺 C ．61.905尺 D ．73.995尺
答案 B
解析 因为每竹节间的长相差0.03尺，
设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，
所以{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d 1＝0.03为公差的等差数列， 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺， 设从地面往上，每节圈长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，
由{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子项，行程是
S 30＝⎝
⎛⎭⎪⎫30×0.5＋
30×292×0.03＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫30×1.3＋30×292×(－0.013) ＝61.395， 故选B.
10．(2017·湖北省襄阳四中适应性考试)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝(－1)n ＋2 016
·a ，b n ＝2＋
(－1)
n ＋2 017
n
，
且a n <b n 对任意n ∈N *
恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，12
B ．[－1,1)
C ．[－2,1) D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 答案 D
解析 a n <b n ，可得(－1)
n ＋2 016
·a <2＋
(－1)
n ＋2 017
n
，若n 是偶数，不等式等价于a <2－1n 恒成立，可得a <2－12＝3
2
，若n
是奇数，不等式等价于－a <2＋1n ，即－a ≤2，a ≥－2，所以－2≤a <3
2.
综上可得实数a 的取值范围是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－2，32，故选D.
11．(2017届吉林省吉林大学附属中学模拟)公差不为零的等差数列{a n }的首项为1，且a 2，a 5，a 14依次构成等比数列，则对一切正整数n ，1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a n a n ＋1
的值为( )
A.1
2 B.35 C.49 D.512
答案 C
解析 设公差为d ，∵a 2，a 5，a 14构成等比数列， ∴a 2
5＝a 2·a 14，即(1＋4d )2
＝(1＋d )·(1＋13d )， 化简得d 2
－2d ＝0，∵公差不为0，∴公差d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为
a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，
1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a n a n ＋1
＝
11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12
.
据此可排除A ，B 选项；
方程12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n ＋1＝512没有正整数解，
当n ＝4时，12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n ＋1＝49.
故选C.
12．(2017·武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *
)，则数列{a n }
的通项a n 等于( ) A.1
2n －1 B.12n
－1
C.1
3n －1 D.1
2n －1
＋1
答案 B
解析 ∵a n ·a n －1＋2a n ·a n ＋1＝3a n －1·a n ＋1， ∴
1a n ＋1＋
2
a n －1＝3a n ，1a n ＋1－1a n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a n －1a n －1， 则1a n ＋1－1a n
1
a n －
1a n －1
＝2，
数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ＋1
－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列，
1
a n ＋1－1a n
＝2×2n －1＝2n
，
利用叠加法， 1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a n －1a n －1＝1＋2＋22＋…＋2n －1，n ≥2， 1
a n ＝2n
－12－1
＝2n －1，n ≥2， 当n ＝1时，1a 1＝1＝21－1，∴1a n ＝2n
－1，则a n ＝12n －1
.故选B.
13．(2017届湖南省长沙市雅礼中学模拟)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸14
6
分(1寸＝10分).
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为________寸． 答案 82
解析 由题设等差数列的首项a 1＝130，a 13＝14.8，则公差d ＝
a 1－a 13
1－13
＝－9.6，所以a 6＝
a 1＋5d ＝130－9.6×5＝82.
14．若数列{}a n 是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2
＋3n ，则a 12＋a 23＋…＋a n
n ＋1
＝________.
答案 2n 2
＋6n
解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2
＋3n ，得a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2
＋3(n －1)，n ≥2，两式相减，可得a n ＝2n ＋2，n ≥2，当n ＝1时也成立．则a n ＝(2n ＋2)2
，有a n
n ＋1＝(2n ＋2)2
n ＋1＝4n ＋4，其前n 项和a 12＋a 23＋…＋a n
n ＋1
＝4[2
＋3＋4＋…＋(n ＋1)]＝4×
n (n ＋3)
2
＝2n 2
＋6n .
15．(2017届四川省南充市三诊)已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，若首项a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________. 答案
3
n ＋1
－32
－n 解析 因为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝3， 所以数列{a n ＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，a n ＋1＝3·3
n －1
＝3n ，可得a n ＝3n
－1，那么数列{a n }的前n 项和
分为：{3n
}的前n 项和3(1－3n
)1－3＝3n ＋1
－32，数列{1}的前n 项和n ，所以S n ＝3n ＋1
－3
2
－n .
16．(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1 (n ∈N *
)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数
部分是________． 答案 2
解析 因为a 1＝43
，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1 (n ∈N *
)，
所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2
>0⇒a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增， 所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0， 所以
1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1
a n
，
所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，
所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
＝⎝
⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1
－1， 所以m ＝S 2 017＝3－1
a 2 018－1
，
因为a 1＝43
，
所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－4
3
＋1＝139，
a 3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1392－139＋1＝
13381
， a 4＝⎝
⎛⎭⎪
⎫133812－13381
＋1>2，…，
所以a 2 018>a 2 017>a 2 016>…>a 4>2， 所以a 2 018－1>1，所以0<
1
a 2 018－1
<1，
所以2<3－1
a2 018－1
<3，因此m的整数部分是2.。