2017-2018学年同步备课套餐之高一物理人教浙江专版必

第7点 绳、杆、桥类模型的临界问题
对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点时的情况，并且经常出现临界状态．这类问题常出现在绳、杆、桥类模型的临界问题中． 1．类绳模型
(1)此类模型的施力特点：只能提供指向圆心的力．
(2)常见的装置：①用绳系物体(如图1甲所示)；②物体沿轨道内侧做圆周运动(如图乙所示)．
图1
(3)临界特点：此种情况下，如果物体恰能通过最高点，绳子的拉力或轨道对物体的支持力等
于零，只有重力提供向心力，即mg ＝m v 2
R
，得临界速度v 0＝gR .当物体的速度不小于v 0时，
才能通过最高点． 2．类杆模型
(1)此类模型的施力特点：对物体既能提供指向圆心的力，又能提供背离圆心的力． (2)常见的装置：①用杆固定的物体(如图2甲所示)；②小球在光滑圆管中(如图乙所示)；③小球穿在光滑圆环上(如图丙所示)．
图2
(3)临界特点：此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆、管或环对它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零．当物体在最高点的速度v ≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动． 3．拱桥模型
(1)此类模型的施力特点：对物体只提供背离圆心的力．
(2)常见装置：①拱形桥(如图3甲所示)；②凹凸不平的路面的凸处(如图乙所示)．
图3
(3)临界特点：此时，如果物体的速度过大，将会脱离圆轨道而做平抛运动．同样，当轨道对物体的支持力等于零时，是物体做圆周运动的临界情况，即v 0＝gR 为临界速度．所以只有当物体的速度小于gR 时，它才能沿轨道外侧做圆周运动．
对点例题 用细绳拴着质量为m 的小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图4所示．则下列说法正确的是( )
图4
A ．小球通过最高点时，绳子张力一定大于0
B ．小球通过最高点时的最小速度为0
C ．小球刚好通过最高点时的速度是gR
D ．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与小球所受重力方向相反
解题指导 设小球通过最高点时的速度为v ，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg ＋F T ＝m v 2R
.
当v ＝gR ，F T ＝0时，故选项A 错误；
当v ＞gR 时，F T ＞0，小球能沿圆弧通过最高点．可见，v ≥gR 是小球能沿圆弧通过最高点的条件，故B 错误，C 正确；
当v ＜gR 时，F T ＜0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故选项D 错误． 答案 C
1．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v ，则当小球以2v 速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为( ) A ．0 B ．mg C ．3mg D ．5mg
答案 C
解析 当小球以速度v 经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力充当向心力，有mg ＝m v 2
r
当小球以速度2v 经内轨道最高点时，小球受重力mg 和向下的支持力F N ，如图所示，合力充当向心力，
有mg ＋F N ＝m (2v )2
r ；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等，
F N ′＝F N ；由以上三式得到，F N ′＝3mg .故C 正确．
2．如图5甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F N ，小球在最高点的速度大小为v ，其F N －v 2图象如图乙所示．则( )
图5
A ．小球的质量为aR
b
B ．当地的重力加速度大小为R
b
C ．v 2＝c 时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D ．v 2＝2b 时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a 答案 A
解析 由题图乙可知，当小球运动到最高点时，若v 2＝b ，则F N ＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg ＝m v 2R ，得v 2＝gR ＝b ，故g ＝b
R ，
B 错误；当v 2>b 时，轻杆向下拉小球，
C 错误；当v 2＝0时，轻杆对小球弹力的大小等于小球的重力，即a ＝mg ，代入g ＝b R 得小球的质量m ＝aR
b ，A 正确；当v 2＝2b 时，由向心力公
式得F N ＋mg ＝m ·2b
R
，可得杆的拉力大小F N ＝mg ，故F N ＝a ，D 错误．故选A.。