2021年山东淄博张店教招数学真题卷

2021年山东淄博张店、市属、南部城区教师招聘考试
《数学学科专业知识》试卷
（时间120分钟 满分100分）
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）
1.已知集合{}
=2A x x <，{}10123B =-，，，，，则A B =（ ）。

A.{}01，
B.{}012，，
C.{}101-，，
D.{}1012-，，，
1.答案：C 。

解析：本题考查集合与简易逻辑中的集合的基本运算问题。

{}
=2A x x <，()22A ∴=-，
，所以{}101A B =-，，。

故本题答案为C 。

2.210x x x ∀∈-+>R ，的否定是（ ）。

A.210x x x ∀∈-+R ，≤ B.200010x x x ∃∈-+<R ， C.210x x x ∀∈-+<R ， D.200010x x x ∃∈-+R ，≤
2.答案：D 。

解析：本题考查集合与简易逻辑中的全称命题与特称命题。

因为命题的否定是只否定结论，故
“210x x x ∀∈-+>R ，
”的否定是“200010x x x ∃∈-+R ，≤”。

故本题答案为D 。

3.若tan 2α=，则
2sin 21cos α
α
=+（ ）。

A.1
6
B.23
C.13
D.1
3.答案：B 。

解析：本题考查三角函数中的同角三角函数关系问题。

2222sin 22sin cos 2tan 1cos sin 2cos tan 2
a a a
a a a αα==+++，
tan 2α=，所以原式22tan 42
tan 263
a a =
==+。

故本题答案为B 。

4.已知等差数列{}n a 的前9项和为27，108a =，则100a =（ ）。

A.98 B.99
C.100
D.97
4.答案：A 。

解析：本题考查数列中等差数列前n 项和问题。

设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，由题意得
()199
272
a a +⨯=，196a a ⇒+=，所以53a =，且108a =，所以1d =，所以100109089098a a d =+=+=。

故本
题答案为A 。

5.ABC △中，D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，且满足3AE AC =，BE 交AD 于点F ，则=BF （ ）。

A.1233
AB AC -+
B.
31
44AB AC - C.31
44AB AC -+
D.21
33
AB AC -+
5.答案：C 。

解析：本题考查向量中向量的线性运算问题。

取EC 的中点G ，连接3DG AC AE AE EG GC =∴==，，，又BD CD =，则DG 为BCE △的中位线，,DG BE AE EG EF ∴=∴∥，为ADG △的中位线，()()
1111131
2222444
DF AD BF BD DF BC AD AC AB AB AC AB AC ∴=
∴=+=-=--+=-+，。

故本题答案为C 。

6.“1a =”是直线()2130ax a y +-+=与直线()210a x ay -+-=互相垂直的（ ）。

A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.充分不必要条件
6.答案：D 。

解析：本题考查平面解析集合中两直线的位置关系问题。

当直线()2130ax a y +-+=与直线
()210a x ay -+-=互相垂直时，有()()2210a a a a -+-=，解得0a =或1a =，所以1a =可以推出直线
()2130ax a y +-+=与直线()210a x ay -+-=互相垂直；但两者互相垂直却推不出1a =，所以1a =是两直线
处置的充分不必要条件。

故本题答案为D 。

7.已知()6
0a a x ⎛
⎫> ⎪⎝
⎭的展开式中3x -的系数为60，则展开式各项系数之和为（ ）。

A.1
B.4
C.9
D.16
7.答案：A 。

解析：本题考查统计中二项式定理中的系数之和问题。

因为第1r +项为
()
()
61
331622
166
C 2C 2
r
r r
r
r r
r
r T x ax a x
----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，当3332
r -=-时，4r ∴=，()4424
56C 26060T a a ∴=-==，
01a a >∴=，，令1x =时，所以各项系数之和为6
111⎛⎫
= ⎪⎝
⎭。

故本题答案为A 。

8.函数()f x 在() +-∞∞，
单调递减且为奇函数，若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 取值范围是（ ）。

A.[]22-，
B.[]11-，
C.[]04，
D.[]13，
8.答案：D 。

解析：本题考查函数的概念与性质中的单调性和奇偶性问题。

由题意知，()11f =-，()11f ∴-=，
()121f x --≤≤，所以()()()121f f x f --≤≤，因为函数()f x 在() +-∞∞，单调递减，121x ∴--≤≤，
[]13x ∴∈，。

故本题答案为D 。

9.已知抛物线2
2y px =（p 为正常数）上有两点()11A x y ，，()22B x y ，，焦点为F ，甲：2
124
p x x =，乙：
212y y p =-，丙：234OA OB p =-，丁：
112FA FB p +=，以上是“直线AB 经过焦点F ”的必要条件有几个？（ ）
A.3
B.1
C.2
D.4
9.答案：D 。

解析：本题考查平面解析集合中抛物线的标准方程与性质。

设过焦点的直线为2
p
x ty =+
，联立得222p x ty y px
⎧=+⎪⎨
⎪=⎩
，得222p y p yt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2220y pty p ⇒--=，因为122y y pt +=，2
12y y p =-，所以22
21212224y y p x x p p ⋅==⋅，222
12123
44
p OA OB x x y y p p =+=-=-，由
()12212121211
2224AB x x p p p p p FA FB x x x x x x +++==
⎛
⎫⎛⎫+++++
⎪⎪⎝
⎭⎝⎭()122
2
122
424
x x p p p p p x x ++=
=+++，故甲、乙、丙、丁都是必要条件。

故本题答案为D 。

10.在ABC △中4B π=，BC 边上的高等于1
3
BC ，则cos A=（
）。

C.
D. 10.答案：C 。

解析：本题考查三角函数中解三角形问题。

设BC 边上的高为AD ，设3BC =， 4
B π∠=
，所以1AD ∴=，由题意知1BD =，
2CD =，由勾股定理得
AB
AC
()2
2
2
2
2
2
3cos 22
5
b c a A bc
+-+-∴=
=
=
故本题答案为C 。

11.已知在恒速静脉滴注停止后血药浓度()c t 随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e kt c t c -=描述，假定药物消除速率常数0.15k =（单位：h ）初始血药浓度067.5mg /L c =，则该药物在机体内的血药浓度变为22.5mg /L 需要的时间约为（ ）。

（ln3 1.1≈）
A.7.3h
B.4.6h
C.2.7h
D.10.1h
11.答案：A 。

解析：本题考查基本初等函数中的指数运算问题。

由题意知：()0e
kt
c t c -=，因为067.5c =，()c t =22.5，
0.15k =，代入数据得0.1522.567.5e t -=，ln30.15t ⇒=，7.3t =。

故本题答案为A 。

12.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a b c ，，
的大小关系为（ ）。

A.a c b << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<
12.答案：A 。

解析：本题考查基本初等函数中指数、对数函数图象与性质问题。

55log 1log 2log ＜＜1
02
a ∴＜＜，
0.50.5log 0.2log 0.51=＞，1b ∴＞，10.200.50.50.5=1＜＜，1
12
c ∴＜＜，所以a c b <<。

故本题答案为A 。

13.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()00A ωϕπ＞，＞，
＜是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数()g x ，若()g x 的最小正周期为2π，且 4g ⎛ ⎪⎝⎭
π=⎫
则38f ⎛⎫
⎪π⎝⎭
=（ ）。

A.
2- B. D.2
13.答案：C 。

解析：本题考查三角函数中三角函数的图象与性质问题。

因为函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，所以
()()0sin 0f A ϕ==，ϕπ＜，0ϕ∴=，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），可得()1sin 2g A x x ⎛⎫
=ω ⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，122122T ωππ∴=
==π
，2ω∴=，因为
sin 44g A ⎛ π⎪⎝⎭π⎫=2A =，所以332sin 22sin 84f x ⎛⎫
⎪⎝ππ=⎭
==。

故本题答案为C 。

14.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，每周一门，连续六周，若课程“乐”不在第一周，课程“御”不在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ）。

A.216
B.504
C.480
D.624
14.答案：B 。

解析：本题考查统计中排列组合问题。

由题意知：情形一：课程“乐”排在最后一位，则情况数为55A 120=，情形二：课程“乐”不在第一周，
且不在最后一周，则情况数为114
444C C A 384⨯⨯=，所以共120384504+=种排法。

故本题答案为B 。

15.函数()2
sin cos x x
f x x x +=
+在[]-ππ，的图象大致为（ ）。

A. B. C. D.
15.答案：D 。

解析：本题考查函数的概念与性质中的函数图象问题。

因为()()f x f x -=-，故函数()f x 为奇函数，又因为()2ππ
π1f =
-＞0，2ππ2+π
f 42=⎛⎫ ⎪⎝⎭
＞1。

故本题答案为D 。

16.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是3个空盒，每次从袋中任意取出2个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）。

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
16.答案：B 。

解析：本题考查推理与证明中的合情推理问题。

取两个球共有4种情况，情形一：红+红，则乙盒中红球数加1个；情形二：黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；情形三：红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；情形四：黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加一个；设一共有球2a 个，则a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为a ，其中红球x 个，黑球y 个，则x y a +=，则乙中有x 个球，其中k 个红球，j 个黑球，所以k j x +=，丙中有y 个球，其中l 个红球，i 个黑球，所以i l y +=，黑球总数a y i j =++，又x y a +=，故x i j =+，由于x k j =+，所以得i j =，即乙盒中红球数等于丙盒中黑球数。

故本题答案为B 。

17.已知函数()e 0
ln x x f x x x ⎧=⎨⎩
，≤，＞0，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围（ ）。

A.[)10-，
B.[)0∞，+
C.[)1-∞，+
D.[)1∞，
+ 17.答案：C 。

解析：本题考查函数综合与导数中零点问题。

函数()()g x f x x a =++存在2个零点，即关于x 的方程
()f x x a =--有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线y x a =--有2个交点，作出函数()f x 的图象，如
图所示，由图可知1a -≤
，解得1a -≥。

故本题答案为C 。

18.已知数列{}n x ，若数列{}n x 满足()()
1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，如果()2
2f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设2
ln
1
n n n x a x -=+，且112n a x =>，
，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ）。

A.202121- B.202122-
C.2021
1122
⎛⎫- ⎪⎝⎭
D.2021
122⎛⎫- ⎪⎝⎭
18.答案：A 。

解析：本题考查数列中的等比数列前n 项和问题。

由题可知：()21f x x '=-，22
1
222121
n n n n n n n x x x x x x x +--+=-=--，
所以2
2
1212
2221
2211121
n n n n n n n
n x x x x x x x x +++-⎛⎫---== ⎪+++⎝⎭+-，两边取对数可得1122ln 2ln 11n n n n x x x x ++⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，令2ln 1n n n x a x -=+即12n n a a +=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以()2021202120211122112
S -=
=--。

故本题答案为A 。

二、多项选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
19.设复数1
i
z a b =
+（a b ∈R ，且0b ≠），则下列结论正确的是（ ）。

A.z 可能是实数 B.=z z 恒成立
C.2z ∈R ，则=0a
D.1
z z
+∈R ，则=2z
19.答案：BC 。

解析：本题考查复数中复数的运算问题。

A 选项：221i
i +a b z a b a b
-=
=+，若为实数，则0b =，与已知相矛盾，故A 错误。

B 选项，由A 知，22+i +a b z a b =，很显然z z =，故B 正确；C 选项，()()
22
2
22
22222i a b ab z a b a b -=-∈++R
，
则
()
2
2
22=00ab
a a
b
=+，，故C 正确；D 选项，22221i a b z a b z a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭R ，则221a b +=，
所以
1z ，故D 错误。

故本题答案为BC 。

20.已知a b c d ，，，均为实数，下列说法正确的是（ ）。

A.若a b c d >>，，则a d b c ->- B.若0a b >>则
c c
a b
> C.若a b c d >>，则ac bd > D.若1a b +=，444a b +≥ 20.答案：AD 。

解析：本题考查不等式中不等式的基本性质问题。

A 选项，若a b c d >>，，则c d -<-，则a d b c ->-，故A 正确；B 选项，若0c =，则=c c
a b ，故B 错误。

C 选项，a b c d >>，，取4312a b c d ===-=-，
，，，则ac bd >，故C 错误；D 选项，1a b +=，1
444=2442
a b a b a b a b ++===≥，
时等号成立。

故D 正确。

故本题答案为AD 。

21.已知曲线22
:131
x y E m m +=--，下列说法正确的是（ ）。

A.若13m <<，则E 为椭圆
B.若E 为焦点在x 轴上的椭圆则12m <<
C.若E 为双曲线，则焦距为4
D.若1m <，则E 为焦点在x 轴上的双曲线 21.答案：BD 。

解析：本题考查平面解析集合中椭圆的标准方程与性质问题。

A 选项，当2m =时，22:+=1E x y ，此时为圆，故A 错误；B 选项，若E 为焦点在x 轴上的椭圆，则10301231m m m m m ->⎧⎪
-
><<⎨
⎪->-⎩，
，故B 正确；C 选项，2c =，故C 错误； D 选项，由题可知10
130
m m m -<⎧<⎨->⎩，，故D 正确。

故本题答案为BD 。

22.才艺比赛由教师评分和观看学生评分确定，某选手现场专家评分表如下：
将评分按照[)[)[)7889910，
，，，，分组绘成频率分布直方图，如图，则说法正确的是（ ）。

A.0.7a =
B.用频率估计概率，估计学生评分不小于9的概率为1
2
C.从5名教师随机抽取3人，X 表示评分不小于9分的人数，则()32
E X =
D.从观看学生随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数，则()32
F Y = 22.答案：ABD 。

解析：本题考查概率中古典概型问题。

A 选项，0.21+10.511,0.3a a ⨯⨯+⨯==，故A 正确；B 选项，0.5
0.51
P =
=，故B 正确；C 选项，专家评分不小于9分的有A B C E ，
，，四人，则X 的可能取值为：2、3，所以()()()321
441
3355C C C 2323123232C 5C 5555
P x p x E X =======⨯+⨯=；；，故C 错误；D 选项，因为P （专家评分不
小于9）=
12，P （专家评分小于9）=1
2
，Y 的可能取值为：0、1、2、3，所以()()()()()133113313
0123=01+2+3=888888882
P Y P Y P Y P Y E Y ========⨯+⨯⨯⨯，，，，，故D 正确。

故本
题答案为ABD 。

23.关于圆2221
:2104
C x y kx y k k +-++-+=，下列说法正确的是（ ）。

A.k 的取值范围是0k >
B.若4k =，过()34M ，
的直线与圆C
相交所得的弦长为125160x y --= C.若4k =，圆C 与221x y +=相交
D.若4k =，00m n >>，，直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则12
8m n
+≥恒成立 23.答案：ACD 。

解析：本题考查平面解析几何中直线与圆的位置关系。

由题可知，圆的方程为：()2
212k x y k ⎛
⎫-++= ⎪⎝
⎭
，
A 选项，方程表示圆，则0k >，故A 正确；
B 选项，若4k =，可得圆的方程()()2
2
214x y -++=，过()34M ，
的直线与圆C 相交所得的弦长为则圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，3x =满足条件，当
直线斜率存在时且设为k ，所以直线方程为430kx y k -+-=，1=，所以12
5
k =
，所以直线方程为12560x y -+=，故B 不正确；C 选项，4k =时，圆()()2
2
214C
x y -++=∶与圆221x y +=的圆
心距为121213r r r r -=<+=，两圆相交，故C 正确。

D 选项，由题意可知，
()121221,
2448m n
m n m n m n m n n m
⎛⎫+=+=++++ ⎪⎝⎭≥≥，故D 正确。

故本题答案为ACD 。

24.已知函数()()πcos 102f x A x A ϕϕ⎛
⎫=++>< ⎪⎝
⎭，
，若函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）。

A.函数()f x 的图象关于π
6
x =
对称 B..函数()f x 的图象关于点5π16⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，对称 C.将函数2sin 1y x =+的图象向左平移
5π
6
个单位可得函数()f x 的图象
D.函数()f x 在区间π02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上的值域为)
13，
24.答案：BC 。

解析：本题考查三角函数中三角函数的图象与性质问题。

由图可知：()()max min 31f x f x ==-，
，故=2A ，则()()2cos 1f x x ϕ=++，代入点()02，
，则12cos 12cos 2ϕϕ+==，，因为2ϕπ<，所以=3
ϕπ
，故()2cos 13f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，令()()=33x k k x k k ππ+π∈=-+π∈Z Z ，，函数()f x 的图象关于π3x =-对称，故A 错误。

B 选项，令()()=326x k k x k k πππ+
+π∈=+π∈Z Z ，，函数()f x 的图象关于点5π16⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
对称，故B 正确。

C 选项，函数2sin 1y x =+的图象向左平移
5π6个单位，得到52sin +1=2cos ++163y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故C 正确；D 选
项，当π02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()[]1cos 12336332x x f x ππππ⎡⎤⎛
⎫⎡⎤+∈-+∈∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦
，，，，，，故D 错误。

故本题答案为BC 。

25.已知函数()ln x
f x x
=，则（ ）。

A.()()25f f >
B.若()f x m =有两个相等的实根12x x ，，则212e x x <
C.ln 2>
D.若23x y =，x y ，均为正数，则23x y > 25.答案：AD 。

解析：本题考查函数的综合与导数中利用导数判断单调性问题。

A 选项，(
)(
)
10
10
5ln 2ln5
2523225322525
f f =
======>，，所以()()25f f >，故A 正确；
B 选项，若()f x m =有两个相等的实根12x x ，，则212e x x >，证明如下：
函数()ln x f x x =
，定义域为()0+∞，，则()2
1ln x
f x x -'=，令()0f x '>，则0e x <<，令()0f x '>，则e x >，
所以()f x 在()0e ，上单调递增，在()e +∞，上单调递减，则()min 1
e
f x =且e x >时，有()0f x >，所以若()f x m
=有两个不相等的实数根12x x ，，有10e m <<，不妨设12x x <，有120e x x <<<，要证2
12e x x >，只需证221e x x >，
且2
21e e x x >>，又因为()()12f x f x =，所以只需证()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，令()()()21e 0e F x f x f x x ⎛⎫
=-
<< ⎪⎝⎭
，则有()()()2224e 1111ln e F x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫
'''=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0e x <<时，1ln 0x ->，24110e x ->，所以有()0F x '>，
即()F x 在()0e ，
上单调递增，且()e 0F =，所以()0F x <恒成立，即()2
11
e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()221e f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，即212e x x >，故B 错误；
C ln 2ln e ln 22e f f
<<∴<∴<，C 错误；
D 选项，23=0x
y
k x y =>，，，故11
3223ln ln ln 2ln3ln 2ln3log log ln 2ln30ln 2ln32323
k k x k y k ======>>，，，，，所以ln 2ln3
2323
x y <<，，故D 正确。

故本题答案为AD 。

26.已知三棱锥A BCD -的各个顶点都在球O 上，点M N ，分别是AC CD ，的中点，AB ⊥平面BCD ，
224CD AB BC ===，AD =，则下列说法正确的是（ ）。

A.CD ⊥平面ABC
B.球O 的体积是
C.二面角B AD C --
D.平面BMN 被球O 所截的截面积是7π
3
26.答案：AB 。

解析：本题考查立体几何中二面角问题。

A 选项，AB ⊥平面BCD ，所以224AB BD AB CD CD AB BC ⊥⊥===，，
，222AD BD BC CD BD =∴=+=，
BC CD CD ⊥⊥，平面ABC ，故A 正确；B 选项，AD 是Rt ABD △和Rt ACD △的公共斜边，所以AD 的中点即三棱锥A BCD -外接
球的球心O ，所以球O ，球O 的体积为34
3
V =π，故B 正确；C 选项，过点B 作BQ AD ⊥，
连接QM ，BM ，易知BM ⊥平面ACD ，所以BM AD BQ AD AD ⊥⊥∴⊥，，
平面BMQ AD MQ BQM ⊥∠，，
为二面角B AD C --的平面角，在△ABD 中，可知BQ ，在三角形ABC 中，BM ，在Rt △BMQ 中，
cos MQ MQ BQM BQ =
∠==C 错误。

D 选项，设O 到平面BMN 的距离为h ，平面BMN 被球O 所截的截面圆的半径为r ，因为MN 是ACD △的中位线，所以O 到平面BMN 的距离等于C 到平面BMN 的距离，
故O BMN C BMN N BCM V V V ---==，
222111114
232323h h r R h ⨯=⨯⨯=∴=-=
，所以平面BMN 被球O 所截的截面积是14π
3
，故D 错误，故本题答案为AB 。

三、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
27.设函数()()3
2
1f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，
处的切线方程为________。

27.答案：y x =。

解析：本题考查函数综合与导数中的切线方程问题。

由题意可知()()101f x f x a a -=-==，，，所以()()300f x x x f =+=，，()()23101f x x f ''=+=，，所以切线方程为：y x =。

故本题答案为y x =。

28.设F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆
222x y a +=交于P Q 、两点，若PQ OF =，则C 的离心率为________。

28.
解析：本题考查平面解析几何中的双曲线问题。

由题意可知PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ OF ⊥。

设垂足为M ，连接OP ，则2
2
2222222c c c c OP a OM MP OM MP OP a a ⎛⎫⎛⎫
===+=∴+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，故本题
29.若数列{}n a 满足*
121211(3)n n n a a a a a n n --===+∈N ，
，≥，，则称数列{}n a 为斐波那契数列，斐波那契螺旋定式是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图中的实线部分（正方形的数字与n a 为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90°的扇形）自然界中存在很多这样的排列，比如向日葵种子的排列，芦荟叶子的排列等。

若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于下图中的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为________。

29.答案：132π
解析：本题考查立体几何中圆锥侧面积公式。

将n 为34567，，，，分别代入递推公式可得:345672=3=5=8=13a a a a a =，，，，，螺旋曲线的长度为
()233
1+1+2+3+5+8+13=42
ππ，圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则332162r l ππ=
=，，则圆锥的侧面积为1
21322
r l ⨯π⨯=π。

故本题答案为132π。

30.2021年是中国传统的牛年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出来牛的形象，已知抛物线z ：
2
4x y =的焦点为F ，圆()2
2
:14F x y +-=与抛物线z 在第一象限的交点为24m p m ⎛⎫
⎪⎝
⎭，直线
:(0)l x t t m =<<与抛物线z 的交点为A ，直线l 与圆F 在第一象限的交点为B ，则m =_______，三角形FAB
周长的取值范围为________。

30.答案：2、()46，。

解析：本题考查平面解析几何中的抛物线问题。

由()2
2
24214x y
x x y ⎧=⎪=⎨+-=⎪⎩
，或2x =-，因为P 在第一象限，故2x m ==。

抛物线的焦点为()01，与圆F 的圆心重合，因此21A B A FB r AF y AB y y ===+=-，，，△FAB 的
周长为++=3B AF FB AB y +。

又因为02113436B B B t y y y <<<<<+<，，，。

故本题答案是2、()46，。

四、解答题（本大题共6小题，31-32题每小题8分，33-35题每小题10分，36题12分，共
40分）
31.在①sin sin 3a C c A π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，②cos sin 3
b a C A =+
，③cos cos 2cos a B b A c A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答。

问题：在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，ABC △外接圆面积为
4
π3
，sin 2sin B C =
且________，求ABC △的面积。

31.参考答案：本题考查三角函数中的解三角形问题。

①因为sin sin 3a c c A π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
，由正弦定理可得πsin sin sin sin 3A C C A ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，且sin 0C >，所以
π1sin sin sin
32A A A A ⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭，所以tan A =，且A 为三角形的内角，所以π3A =，由题可知，ABC
△
外接圆的半径为
，由正弦定理可得2sin 2a R A ==，因为sin 2sin B C =，所以2b c =，由余弦定理
2222cos a b c bc A =+-得c b =
，所以1=sin 2ABC S bc A △
②因为cos sin 3
b a C A =+
，由正弦定理可得sin sin cos sin B A C C A =()sin A C =+，整理得
cos sin sin A C C A ，因为sin 0C >，所以tan A ，且A 为三角形的内角，所以π3A =，由题可知，
ABC △2sin 2a R A ==，因为sin 2sin B C =，所以2b c =，由余弦定
理2222cos a b c bc A =+-得c b =
，所以1=sin 2ABC S bc A =△ ③因为cos cos 2cos a B b A c A +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即
()sin 2sin cos sin A B C A C +==，因为sin 0C >，所以1cos 2
A =
，且A 为三角形的内角，所以π
3A =，由题可
知，ABC △2sin 2a R A ==，因为sin 2sin B C =，所以2b c =，由余
弦定理2222cos a b c bc A =+-得c b =
=
，所以1=sin 2ABC S bc A =△。

32.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部），以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°
得到的，G 是PF 的中点。

（1）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （2）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小。

32.参考答案：本题考查立体几何中的二面角问题。

（1）由题可知，AB BE ⊥，AP BE ⊥，且AB AP A =，所以BE ⊥面ABP ，所以BE BP ⊥，又因为
120CBE ∠=︒，所以30CBP ∠=︒。

（2）以B 为坐标原点，以BE BP BA ，
，所在的直线为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

由题意
可
得
：
()(
)(
)()
0032001010
A E G C -，，，，，，，，所以
()()
()203130203AE AG CG =-==，，，，，，，，，设()111x y z ，，m =是平面AEG 的法向量，所以00
AE AG ⎧=⎪⎨=⎪
⎩m m ，
代入可得1111230
x z x -=⎧⎪⎨+=⎪
⎩，取12z =，可得平面AEG 的一个法向量()
32，
m =。

设()222x y z ，，n =是平面ACG 的法向量，所以0
0AG CG ⎧=⎪⎨=⎪
⎩n n ，代入可得22220230x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取
22z =-，可得平面ACG 的一个法向量
()
32-，n =，所以1
cos 2
==，
m n m n m n ，由图可知，该二面角为锐二面角，所以所求角为60°。

33.设{}2a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()
*
n S n ∈N ，{}n b 是等差数列。

已知
132435546122a a a a b b a b
b
==+=+=+，，，。

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式 （2）设数列{}n S 的前n 项和为(
)*
n T n ∈N 。

①求n T ；
②证明()()()
()22*
122122n n
k k k k T b b n k k n ++=+=-∈+++∑N 。

33.参考答案：本题考查数列中的数列综合问题。

（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由13212a a a ==+，
，可得220q q --=，因为0q >，所以2q =，所以12n n a -=。

设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得134b d +=，由5462a b b =+，得131316b d +=，联
立得11b d ==，故n b n =，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n =。

（2）①由（1）可得122112n n n S -==--，所以()()11
21221212n n n k k
n k k T n n ==⨯-=-=-=--∑∑122n n +=--； ②证明：因为
()()()()()121
2222121221
k k k k k k T b b k k k k k k k +++++==-++++++，所以左边=
()()121324321112222222221221324321k k k n n n n
k k k k k k k n n +++++==⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭∑∑2
222n n +=-=+右边。

34.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，其中高校组织体育比赛。

甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局。

首先获得5分者获胜，比赛结束。

假设每局比赛甲获胜的概率都是35。

（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以31∶的比分领先时，记X 表示到结束还需要比赛的局数，求X 的分布列及期望。

34.参考答案：本题考查概率中的离散型随机变量分布问题。

（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为4
415
323486
C 5553125
P ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，乙获胜的概率为4
125
32296
C 5553125P ⎛⎫== ⎪
⎝⎭，所以在比赛结束时，恰好打了6局的概率为5823125
P =。

（2）由题可知，X 的可能取值为：2、3、4、5， ()2
392525P X ⎛⎫
===
⎪⎝⎭
，
()2
12
2
3363C
5
5125
P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，
()24
13
3
232124
4C
+5
555625P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()33
134
432323296
5C
+C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，所以X 的分布列如下：
故()9361249619662+3+4+5=25125625625625
E X =⨯
⨯⨯⨯。

35.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的离心率为2
，()0A
a ，，()0B
b ，，()00O ，，OAB △的面积为1。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于M ，直线PB 与x 轴交于N 。

求证AN BM 为定值。

35.参考答案：本题考查平面解析几何中的椭圆问题。

（1）由题意可得222112
c a ab a b c ⎧=
⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
，解得21a b ==，
，所以椭圆C 的方程为2
214x y +=。

（2）由（1）知，()20A ，
，()01B ，，设()00P x y ，，则220044x y +=，当00x ≠时，直线PA 的方程为()0022y y x x =
--，令0x =，得0022M y y x =--，从而002112M
y BM y x =-=+-，直线PB 的方程为00
11y y x x -=+，令0y =，得001N x x y =-
-，从而00=221N x AN x y -=+-，所以00
00221412
x y AN BM y x =+
+=--，当00x =时，0122y BM AN =-==，
，，所以4AN BM =，综上，AN BM 为定值。

36.如果()h x 是定义在区间D 上的函数，且同时满足①()()0h'x h x ＞，②()h'x 与()h x 的单调性相同，
则称函数()h x 在区间D 上是链式函数，已知函数()()22
e 11cos 22
x
x x f x x g x x =---=--，。

（1）判断函数()f x 与()x g 在()0+∞，
上是否是链式函数，并说明理由； （2）求证：当0x ＞时，4sin e cos 23cos x
x
x x
+-+＞。

36.参考答案：本题考查函数的综合与导数中导数的应用问题。

（1）()e 1x f x x '=--，令()e 1x m x x =--，则()e 1x
m x '=-，因为0x >，所以()0m x '>，所以()f x '在
()0+∞，
上单调递增，又因为()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调递增，又因为()00f =，所以当0x >时，()0f x >，所以当0x >时，()()0f x f x '>，()f x '与()f x 在()0+∞，上均单调递
增，所以()f x 在()0+∞，
上是链式函数。

()sin g x x x '=-+，令()sin p x x x =-+，则()1cos 0p x x '=-+≤，所以()g x '在()0+∞，
上单调递减，又因为()00g '=，所以当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0+∞，上单调递减，又因为()00g =，所以当0x >时，()0g x <，所以当0x ＞时，()()0g x g x '>，()g x '与()g x 在()0+∞，
上均为单调递减，所以()g x 在()0+∞，
上是链式函数。

（2）当0x >时，由（1）可知2e 102x
x x --->，所以2e 12
x
x x >++，又由（1）可知21cos 02x x --<，
所以2
cos 12
x x >-，两式相加得e cos 2x x x +>+，即e cos 2x x x +->，令()4sin 3cos x F x x x =-+，则
()()()
()
2
cos 1cos 503cos x x F x x --'=
+≥，所以()F x 在()0+∞，上单调递增，则当0x >时，()()00F x F >=，即4sin 3cos x x x >
+，所以当0x >时，4sin e cos 23cos x x x x +->+，故当0x >，4sin e cos 23cos x x x x
+->+。