弱幂等Quantale范畴与相关范畴的关系

第60卷 第2期吉林大学学报(理学版)
V o l .60 N o .2
2022年3月
J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (
S c i e n c eE d i t i o n )M a r 2022
d o i :10.13413/j .c n k i .j
d x b l x b .2021193弱幂等Q u a n t a l
e 范畴与相关范畴的关系
刘 敏,杜佳慧
(长安大学理学院,西安710064
)摘要:首先引入弱幂等Q u a n t a l e 及Q u a n t a l e 上弱幂等核映射的概念,给出Q u a n t a l e 的最大弱幂等商的等价刻画;然后证明弱幂等Q u a n t a l e 范畴是Q u a n t a l e 范畴的反射子范畴,幂等
Q u a n t a l e 范畴是弱幂等Q u a n t a l e 范畴的反射子范畴;最后得到幂等Q u a n t a l e 范畴是
Q u a n t a l e 范畴的反射子范畴.关键词:Q u a n t a l e 商;弱幂等Q u a n t a l e
;弱幂等核映射;范畴中图分类号:O 153.1 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)02-0277-07R e l a t i o n s h i p s b e t w e e nC a t e g o r y o fW e a k l y I d e m p
o t e n t Q u a n t a l e s a n dR e l a t e dC a t e g
o r i e s L I U M i n ,D UJ i a h u i
(S c h o o l o f S c i e n c e s ,C h a n g a nU n i v e r s i t y ,
X i a n 710064,C h i n a )A b s t r a c t :F i r s t l y ,b y i n t r o d u c i n g t h e c o n c e p t s o fa w e a k l y i d e m p o t e n t q u a n t a l e a n d a w e a k l y
i d e m p o t e n tn u c l e u so na q u a n t a l e ,w e g a v ea ne q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h el a r g e s t w e a k l y
i d e m p o t e n t q u a n t a l e q u o t i e n t .S e c o n d l y ,w e p r o v e d t h a t t h e c a t e g o r y o fw e a k l y i d e m p
o t e n t q u a n t a l e s w a s a r e f l e c t i v e s u b c a t e g o r y o f t h e c a t e g o r y o f q u a n t a l e s ,t h e c a t e g o r y o f i d e m p o t e n t q u a n t a l e sw a s a r e f l e c t i v e s u b c a t e g o r y o f t h e c a t e g o r y o fw e a k l y i d e m p o t e n t q u a n t a l e s .F i n a l l y ,w eo b t a i n e d t h a t t h e c a t e g o r y o f i d e m p o t e n t q u a n t a l e sw a s a r e f l e c t i v e s u b c a t e g o r y o f t h e c a t e g o r y o
f q u a n t a l e s .K e y
w o r d s :q u a n t a l e q u o t i e n t ;w e a k l y i d e m p o t e n t q u a n t a l e ;w e a k l y i d e m p o t e n t n u c l e u s ;c a t e g o r y 收稿日期:2021-05-18. 网络首发日期:2021-10-04.
第一作者简介:刘 敏(1984 ),男,汉族,博士,副教授,从事格上拓扑学的研究,E -m a i l :l i u m i n @c h d .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:11871320)和陕西省自然科学基础研究计划项目(批准号:2022J M -032).网络首发地址:h t t p
s ://k n s .c n k i .n e t /k c m s /d e t a i l /22.1340.O.20210930.1111.002.h t m l .Q u a n t a l e 概念的提出为研究非交换C *-代数提供了新的刻画格式,并为量子力学提供了新的数学模型[1-2].Q u a n t a l e 理论也是理论计算机科学的数学基础之一,应用广泛[3-6].
对不同类型的Q u a n t a l e 结构及其范畴之间关系的研究可促进Q u a n t a l e 理论的应用研究,有助于
研究基于Q u a n t a l e 建立的强化范畴之间的关系[7]
.Q u a n t a l e 范畴与可换Q u a n t a l e 范畴㊁右侧Q u a n t a l e 范畴㊁幂等Q u a n t a l e 范畴㊁L o c a l e 范畴之间的关系是Q u a n t a l e 理论中经典结论,文献[8-9]
进一步研究了Q u a n t a l e 范畴与左半可换Q u a n t a l e 范畴㊁可除Q u a n t a l e 范畴之间的关系.幂等
Q u a n t a l e 是一类重要的Q u a n t a l e ,如幂等Q u a n t a l e 在C *-代数的研究中具有重要作用[6
],文献[10-11]将幂等Q u a n t a l e 理论应用到了非交换C *-代数中.但幂等Q u a n t a l e 条件较苛刻,许多具有广泛应用的Q u a n t a l e 结构都不完全满足幂等性的条件,如t 模中的L u k a s i e w i c z 三角模和G o g
u e n (乘积)三角模等.本文通过引入弱幂等Q u a n t a l e 的概念,考虑如何刻画Q u a n t a l e 的最大弱幂等商,并
进一步建立弱幂等Q u a n t a l e 范畴㊁幂等Q u a n t a l e 范畴和Q u a n t a l e 范畴之间的关系.
1预备知识
本文未注明的Q u a n t a l e的一些基本概念可参见文献[6,12].
定义1[1,6]设Q是完备格,&是Q上的二元运算,且满足:
1)∀a,b,cɪQ,(a&b)&c=a&(b&c);
2)∀aɪQ,{b i}iɪI⊆Q,a&(ᶱiɪI b i)=ᶱiɪI(a&b i),(ᶱiɪI b i)&a=ᶱiɪI(b i&a).
则称(Q,&)是Q u a n t a l e,简称Q是Q u a n t a l e.
由Q u a n t a l e的定义知,_&a和a&_是Q上的保并映射,因此其均有右伴随,分别用aңl_和aңr_表示.于是a&cɤb⇔cɤaңr b⇔aɤcңl b.
设Q是Q u a n t a l e,aɪQ,1为Q中的最大元.若a&a=a,则称a是Q的幂等元.若Q中的每个元素都是幂等元,则称Q是幂等Q u a n t a l e.若a&1ɤa,则称a是Q的右侧元.若Q中每个元素都是右侧元,则称Q是右侧Q u a n t a l e.若1&aɤa,则称a是Q的左侧元.若Q中每个元素都是左侧元,则称Q是左侧Q u a n t a l e.若∀bɪQ,b&bɤa⇒bɤa,则称a是半素元[6,13].
定义2[6,13]设P和Q是Q u a n t a l e,f:PңQ是映射,如果f保任意并和&运算,则称f是P和Q之间的Q u a n t a l e同态;如果Q u a n t a l e同态f:PңQ是双射,则称f是P和Q之间的Q u a n t a l e同构,此时也称P和Q同构,记作P≅Q.
设Q是Q u a n t a l e.若映射j:QңQ是Q上的闭包算子,且∀a,bɪQ,j(a)&j(b)ɤj(a&b),则称j是Q上的核映射.设S⊆Q,如果存在Q u a n t a l e核映射j,使得S=Q j,则称S是Q的Q u a n t a l e商.用N(Q)表示Q上核映射的全体.设jɪN(Q),如果∀a,bɪQ,j(a&a)=j(a),则称j是幂等的[6,13].
命题1[6,13]设Q是Q u a n t a l e,S⊆Q,则S是Q的Q u a n t a l e商当且仅当S对于任意交封闭,并且∀aɪQ,sɪS,有aңr s,aңl sɪS.
2Q u a n t a l e上的弱幂等核映射
下面引入弱幂等Q u a n t a l e的概念,并给出Q u a n t a l e最大弱幂等商的刻画.
定义3设Q是Q u a n t a l e,aɪQ,如果a&aɤa,则称a是Q的弱幂等元.如果Q中的每个元素都是弱幂等元,则称Q是弱幂等Q u a n t a l e.
定义4[14]设Q是Q u a n t a l e,aɪQ,如果aɤa&a,则称a是Q的拟幂等元.如果Q中的每个元素都是拟幂等元,则称Q是拟幂等Q u a n t a l e.
注11)若Q为右侧或左侧Q u a n t a l e,则Q为弱幂等Q u a n t a l e,反之不成立;
2)Q为幂等Q u a n t a l e当且仅当Q为弱幂等Q u a n t a l e,且Q为拟幂等Q u a n t a l e.
例1设Q=[0,1],则(Q,ɤ)是一个完备格,其中ɤ为自然序.
1)令&=ˑ,其中ˑ是[0,1]上的普通乘法运算,则(Q,&)是一个弱幂等Q u a n t a l e,但不是幂等Q u a n t a l e.
2)定义Q上的二元运算췍为
x췍y=
x+y-1,1<x+y,
0,其他{, ∀x,yɪQ,
则(Q,췍)为弱幂等Q u a n t a l e,但不是幂等Q u a n t a l e.
设Q是Q u a n t a l e,若Q中所有元素均为半素元,则称Q为半素的.
命题2设Q是Q u a n t a l e,则Q是幂等Q u a n t a l e当且仅当Q是半素的弱幂等Q u a n t a l e.
证明:设aɪQ,Q为半素的弱幂等Q u a n t a l e,则a&aɤa.因为a&aɪQ,a&aɤa&a,所以aɤa&a,从而a=a&a,因此Q为幂等Q u a n t a l e.设aɪQ,由Q为幂等Q u a n t a l e可知a&a=a,故Q 为弱幂等的.设a,bɪQ,b&bɤa,则b=b&bɤa,故Q为半素的.证毕.
定义5设Q是Q u a n t a l e,jɪN(Q).
1)如果∀aɪQ,j(a&a)ɤj(a),则称j是Q上的弱幂等核映射;
872吉林大学学报(理学版)第60卷
2)如果∀a ɪQ ,j (a )ɤj (
a &a ),则称j 是Q 上的拟幂等核映射.注2 1)令j i =ɡ{j ɪN (
Q )j 为幂等核映射},则j i 为幂等核映射[13
];2)令j w i =ɡ{j ɪN (Q )j 为弱幂等核映射},则j w i 为弱幂等核映射;3)令j p i =ɡ{j ɪN (Q )j 为拟幂等核映射},则j p
i 为拟幂等核映射.命题3 设Q 是Q u a n t a l e ,j 为Q 上的弱幂等核映射,并且其为拟幂等核映射,则j 是Q 上的
幂等核映射.
推论1 设Q 是Q u a n t a l e
,则:1)j i =j w i ᶱj p i ;2)Q j i =Q j w i ɘQ j p i .引理1 设Q 是Q u a n t a l e ,j ɪN (
Q ),则下列条件等价:1)Q j 是弱幂等的;2)j 是弱幂等的;3)j w i ɤj ;4)Q j ⊆Q j w i
.证明:1)⇒2).设Q j 为弱幂等的,则∀
a ɪQ ,有j (a &a )=j (j (a )&j (a ))=j (a )&j j (
a )ɤj (a ),故j 为弱幂等的.2)⇒1).设j 是弱幂等的,则∀a ɪQ j ,有a &j a =j (a &a )ɤj (a )=a ,故Q j 是弱幂等的.
3)⇒2).设j w i ɤj ,则j =j 췍j
w i ,从而∀a ɪQ ,有j (a &a )=j (j w i (a &a ))ɤj (j w i (a ))=j (
a ),故j 为弱幂等的.
2)⇒3).由j w i 的定义可得j w i ɤj .3)⇔4).易证.证毕.
引理2 设Q 是Q u a n t a l e ,j ɪN (
Q ),则下列条件等价:1)Q j 是拟幂等的;2)j 是拟幂等的;3)j p i ɤj ;4)Q j ⊆Q j p
i .证明:类似于引理1可证,故略.
命题4[13
] 设Q 是Q u a n t a l e ,则∀a ɪQ ,{b i }i ɪI ⊆
Q ,有a ңr (ɡi ɪ
I b i )=ɡi ɪ
I (a ңr b i ), a ңl (ɡi ɪ
I b i )=ɡi ɪ
I (a ңl b i )
. 令
W I (Q )={a ɪQ a &a ɤa ,∀b ,c ɪQ ,b ңl a ,b ңr a ,c ңr (b ңl a )是弱幂等的},P I (Q )={
a ɪQ a 为半素元,∀
b ,
c ɪQ ,b ңl a ,b ңr a ,c ңr (b ңl a )为半素元}. 定理1 设Q 是Q u a n t a l e ,则W I (Q )是Q 中最大弱幂等Q u a n t a l e 商.
证明:1)设b ,c ɪQ ,∀i ɪI ,a i ɪW I (Q ).因为(ɡi ɪI
a i )&(ɡi ɪI
a i )ɤa i &a i ɤa i ,故(ɡi ɪI
a i )&(ɡi ɪI
a i )
ɤɡi ɪI
a i .∀
b ɪQ ,因为b ңl ɡi ɪI
a i =ɡi ɪI
(b ңl a i )
,故(b ңl ɡi ɪ
I a i )&(b ңl ɡi ɪ
I a i )=(ɡi ɪ
I (b ңl a i ))&(ɡi ɪ
I (b ңl a i )
)ɤɡi ɪ
I ((b ңl a i )&(b ңl a i ))ɤɡi ɪ
I (b ңl a )=(b ңl ɡi ɪ
I a i )
.同理可得b ңr ɡi ɪI
a i ,c ңr (
b ңl ɡi ɪI
a i )
是弱幂等元.故W I (Q )对任意交封闭.2)设a ɪW I (Q ),c ɪQ .由W I (Q )的定义可知c ңl a 是弱幂等的.则∀b ,d ɪQ ,有b ңl (c ңl a )=
(b &c )ңl a ,所以b ңl (c ңl a )是弱幂等的.又由定义可知b ңr (c ңl a )为弱幂等的.因为a ɪW I (Q )
,d ңr (b ңl (c ңl a ))=d ңr (
(b &c )ңl a ),9
72 第2期 刘 敏,等:弱幂等Q u a n t a l e 范畴与相关范畴的关系
所以d ңr ((b ңl c )ңl a )是弱幂等的.从而可知c ңl a ɪW I (Q ),同理可证c ңr a ɪW I (Q ).
由(1),(2)可知W I (Q )为Q u a n t a l e 商.
3)∀a ,b ɪW I (Q ),因为a &W I (Q )
b =ɡ{s ɪW I (Q )a &b ɤs },所以∀a ɪW I (Q ),由a &a ɤa 可知a &W I (Q )a ɤa ,即W I (Q )为弱幂等Q u a n t a l e .4)设j W I 为W I (Q )所对应的核映射,即W I (Q )=Q j W I .由W I (Q )为弱幂等的可知j W I 为弱幂等核映射,故j w i ɤj W I ,因此W I (Q )⊆Q j w i .反之,设a ɪQ j w i .则a &a ɤj w i (a &a )=j w i (j w i (a )&j w i (a ))=j w i (a )&j w i j w i (a )ɤj w i (a )=a ,所以a 为弱幂等的.因为Q j w i 为Q u a n t a l e 商,所以b ңl a ,b ңr a ,
c ңr (b ңl a )ɪQ j w i
为弱幂等的.从而Q j w i ⊆W I (Q ),因此W I (Q )=Q j w i
.综上可知W I (Q )为Q 上最大弱幂等Q u a n t a l e 商.证毕.
定理2 设Q 是Q u a n t a l e ,则P I (Q )是Q 中最大拟幂等Q u a n t a l e 商.
证明:1)设a i ɪP I (Q ),i ɪI ,b ,c ɪQ ,且b &b ɤɡi ɪI
a i ,则
b &b ɤa i (∀i ɪI ),故b ɤa i (
∀i ɪI ),从而b ɤɡi ɪI
a i .所以半素元的交也为半素元.∀
b ɪQ ,因为b ңl ɡi ɪI
a i =ɡi ɪI
(b ңl a i ),b ңl a i 为半素元,故
b ңl ɡi ɪI
a i 为半素元,同理可证
b ңr ɡi ɪI
a i ,c ңr (
b ңl ɡi ɪI
a i )
为半素元.2)类似于定理1中2)的证明可得∀a ɪP I (Q ),c ɪQ ,c ңl a ,c ңr a ɪP I (Q ).
由1),2)可知P I (Q )为Q u a n t a l e 商.
3)设a ɪP I (Q ),s ɪP I (Q ),a &a ɤs ,则a ɤs .因此a ɤa &P I (Q )
a =ɡ{s ɪP I (Q )a &a ɤs },即P I (Q )为拟幂等Q u a n t a l e .4)设j P I 为P I (Q )所对应的核映射,即P I (Q )=Q j P I
.由P I (Q )为拟幂等的可知j P I 为拟幂等核映射,故j p i ɤj P I ,因此P I (Q )⊆Q j p i .反之,设a ɪQ j p
i ,b ɪQ ,b &b ɤa .则b ɤj p i (b )ɤj p i (b &b )ɤj p i (a )=a ,所以a 为半素元.又因为Q j p i 为Q u a n t a l e 商,所以b ңr a ,b ңl a ,c ңr (b ңl a )ɪQ j p i 为半素元.从而Q j p i ⊆P I (Q ),因此P I (Q )=Q j p
i .综上可知P I (Q )
是Q 上最大拟幂等商.证毕.3 弱幂等Q u a n t a l e 的范畴性质
下面分别用I Q u a n t ,W I Q u a n t ,P I Q u a n t 表示Q u a n t a l e 的以幂等Q u a n t a l e ㊁弱幂等Q u a n t a l e
㊁拟幂等Q u a n t a l e 为对象,以Q u a n t a l e 同态为态射构成的范畴.
设f :Q ңQ ᶄ为Q u a n t a l e 同态,定义W I (f ):W I (Q )ңW I (Q ᶄ)为:∀a ɪW I (Q ),W I (f )(a )=j ᶄw i (f (
a )),其中j ᶄw i 为Q ᶄ中最小弱幂等核映射.命题5[13] 设f :Q ңK 是Q u a n t a l e 同态,则∀a ɪQ ,
b ɪK ,有f *(f (a )ңr b )=a ңr f *
(
b ),f *(f (a )ңl b )=a ңl f *
(b ).引理3 W I :Q u a n t ңW I Q u a n t 为函子.
证明:1)∀Q ɪo b (Q u a n t ),由定理1可知W I (Q )ɪo b (W I Q u a n t ).2)设f :Q ңQ ᶄ为Q u a n t a l e 同态,∀a ɪW I (Q ),因为j ᶄw i (f (a ))ɪQ ᶄj ᶄw i =W I (Q ᶄ),所以W I (f )定义合理.
记f *:Q ᶄңQ 为f 的右伴随.
①设b ɪW I (Q ᶄ)
,则f *(b )&f *(b )ɤf *(b )⇔f (f *(b )&f *(b ))ɤb ⇔f (f *(b ))&f (f *
(
b ))ɤb .因为f (f *(b ))ɤb ,所以f (f *(b ))&f (f *
(
b ))ɤb &b ɤb ,从而f *(b )&f *(b )ɤf *(b ).故f *(b )为Q 上的弱幂等元,即f *保弱幂等元.
②设a ɪW I (Q ᶄ),b ɪQ .由a ɪW I (Q ᶄ),可知f (b )ңl a 为弱幂等元.又因为f *保弱幂等元,所以f *(f (
b )ңl a )为弱幂等元.又因为t ɤb ңl f *
(a )⇔t &b ɤf *(a )⇔f (t &b )ɤa ⇔f (t )&f (
b )ɤa ⇔082 吉林大学学报(理学版) 第60卷
f (t )ɤf (b )ңl a ⇔t ɤf *(f (
b )ңl a ), ∀t ɪQ ,所以b ңl f *(a )=f *(f (b )ңl a ),因此b ңl f *(a )为弱幂等元.同理可证b ңr f *
(
a )为弱幂等元.③设a ɪW I (Q ᶄ),
b ,
c ɪQ ,t ɪQ ,则
t ɤ(c ңr (b ңl f *(a )))⇔c &t ɤb ңl f *
(
a )⇔c &t &
b ɤf *(a )⇔f (
c &t &b )ɤa ⇔f (c )&f (t )&f (b )ɤa ⇔f (t )ɤf (c )ңr (f (b )ңl a )⇔t ɤf *(f (c )ңr (f (
b )ңl a )),所以
c ңr (b ңl f *(a ))=f *
(f (c )ңr (f (b )ңl a )).因为f (c )ңr (f (b )ңl a )为弱幂等元,f *保弱幂等元,所以f *
(f (c )ңr (f (b )ңl a ))为弱幂等元,从而c ңr (b ңl f *
(
a ))为弱幂等元.由①~③可得f *(W I (Q ᶄ))⊆W I (Q ).
设a ɪW I (Q ),a ᶄɪW I (Q ᶄ)
,则W I (f )(a )ɤa ᶄ⇔j ᶄw i (f (
a ))ɤa ᶄ⇔f (a )ɤa ᶄ⇔a ɤf *(a ᶄ),所以f *
W I (Q )
W I (Q ᶄ)
为W I (f )的右伴随,故W I (f )
保任意并.设a ,b ɪW I (Q )
,则W I (f )(a )&W I (Q ᶄ)W I (f )(b )=j ᶄw i (W I (f )(a )&W I (f )(b ))=j ᶄw i (f (a )&f (b )),W I (f )(a &W I (Q )b )=W I (f )(j w i (a &b ))=j ᶄw i (f (j
w i (a &b ))),f (a &b )ɤj ᶄw i (f (a &b ))⇒a &b ɤf *(j ᶄw i (f (a &b )))⇒j w i (a &b )ɤf *(j ᶄw i (f (
a &
b )))⇒f (j w i (a &b ))ɤj ᶄw i (f (a &b ))⇒j ᶄw i (f (j w i (a &b )))ɤj ᶄw i (f (a )&f (
b )).故W I (f )(a &W I (Q )b )ɤW I (f )(a )&W I (Q ᶄ)W I (f )
(b ),从而
W I (f )(a )&W I (Q ᶄ)W I (f )(a )=W I (f )
(a &W I (Q )b ),即W I (f )保&.因此W I (f )
为Q u a n t a l e 同态.3)设1Q :Q ңQ 为Q 上的恒等映射,a ɪW I (Q ),则W I (1Q )(a )=j w i (1Q (a ))=j w i (a )=a ,故W I (1Q )=1W I (Q ),即W
I 保单位.4
)设Q ң
f
P ңg
K 是Q u a n t a l e 同态.∀a ɪW I (Q ),一方面,有(W I (g )췍W I (f ))(a )=W I (g )(j P w i (f (a )))=j K w i (g (j P
w i (f (
a ))));另一方面,有W I (g 췍f )(a )=j K w i (g (f (a ))).由j K w i (g (f (a )))ɤj K w i (g (j P w i (f (a )))),可得W I (g 췍f )
ɤW I (g )췍W I (f )
,j K w i (g (j P w i (f (a ))))ɤj K w i (g (f (a )))⇔g (j P w i (f (a )))ɤj K
w i (g (f (
a )))⇔j P w i (f (a ))ɤg *(j K
w i (g (f (
a ))))⇔f (a )ɤg *(j K w i (g (f (a ))))⇔g (f (a ))ɤj K
w i (g (f (
a ))).因为g (f (a ))ɤj K
w i (g (f (a )))恒成立,所以W I (g )췍W I (f )ɤW I (g 췍f ),从而W I (g )췍W I (f )=W I (g 췍f )
,即W I 保复合.由1)~4)可知W I 为函子.证毕.
命题6[13
] 设j 是Q u a n t a l e Q 上的核映射,则
j (a &b )=j (a &j (b ))=j (j (a )&b )=j (j (a )&j (
b )), ∀a ,b ɪQ . 定理3 W I :Q u a n t ңW I Q u a n t 为含入函子I :W I Q u a n t ңQ u a n t 的左伴随.
证明:设Q ɪo b (W I Q u a n t ),则W I (I (Q ))=Q .记1Q 为Q 上的恒等映射.对任意的
P ɪo b (Q u a n t )及任意的Q u a n t a l e 同态f :W I (P )ңQ ,定义췍f :P ңI (Q )为∀a ɪP ,췍f
(a )=f (j
P
w i (a )).则췍f (a &b )=f (j P w i (a &b ))=f (j P w i (a )&W I (P )j
P w i (b ))=f (j P w i (a ))&Q f (j P w i (b ))=췍f (a )&Q 췍f
(b ), ∀a ,b ɪP .1
82 第2期 刘 敏,等:弱幂等Q u a n t a l e 范畴与相关范畴的关系
282吉林大学学报(理学版)第60卷设a iɪP,iɪI,则
췍f(ᶱ
a i)=f(j P w i(ᶱiɪI a i))=f(ᶱW I(P)iɪI(j P w i(a i)))=ᶱQ iɪI f(j P w i(a i))=ᶱQ iɪI췍f(a i).
iɪI
故췍f为Q u a n t a l e同态.
∀aɪW I(P),由于j I(Q)w i为恒等映射,所以(1Q췍W I(췍f))(a)=j I(Q)w i(f(j P w i(a)))=f(a),于是1Q췍W I(췍f)=f.
下证췍f具有唯一性.设存在Q u a n t a l e同态h:PңI(Q),使得1Q췍W I(h)=f,则W I(h)= 1Q췍W I(h)=f=W I(췍f).由于Q为弱幂等Q u a n t a l e,恒等映射为Q上最小的弱幂等核映射, h=W I(h)=W I(췍f)=췍f,故췍f为唯一存在的.
综上可知W I为含入函子I的左伴随.证毕.
设f:QңQᶄ为Q u a n t a l e同态,定义P I(f):P I(Q)ңP I(Qᶄ)为∀aɪP I(Q), P I(f)(a)=jᶄw i(f(a)).
引理4P I:Q u a n tңP I Q u a n t为函子,且为含入函子I:P I Q u a n tңQ u a n t的左伴随.
证明:1)∀Qɪo b(Q u a n t),由定理2可得P I(Q)ɪo b(P I Q u a n t).
2)设f:QңQᶄ为Q u a n t a l e同态.∀aɪP I(Q),因为jᶄp i(f(a))ɪQᶄjᶄp i=P I(Qᶄ),所以P I(f)定义合理.
记f*:QᶄңQ为f的右伴随.
①设aɪP I(Qᶄ),bɪQ,b&bɤf*(a),则
f(b&b)ɤa⇒f(b)&f(b)ɤa⇒f(b)ɤa⇒bɤf*(a),
故f*保半素元.
②若aɪP I(Qᶄ),bɪQ,设cɪQ,c&cɤbңl f*(a),则
c&c&bɤf*(a)⇒f(c&c&b)ɤa⇒f(c)&f(c)&f(b)ɤa⇒f(c)&f(c)ɤf(b)ңl a⇒f(c)ɤf(b)ңl a⇒f(c)&f(b)ɤa⇒f(c&b)ɤa⇒
c&bɤf*(a)⇒cɤbңl f*(a),
因此bңl f*(a)为半素元.同理可知bңr f*(a)为半素元.
③若aɪP I(Qᶄ),b,cɪQ,设dɪQ,d&dɤcңr(bңl f*(a)),则
c&d&d&bɤf*(a)⇒f(c)&f(d)&f(d)&f(b)ɤa⇒f(d)&f(d)ɤf(c)ңr(f(b)ңl a)⇒f(d)ɤf(c)ңr(f(b)ңl a)⇒f(c)&f(d)&f(b)ɤa⇒f(c&d&b)ɤa⇒
c&d&bɤf*(a)⇒dɤcңr(bңl f*(a)),
从而cңr(bңl f*(a))为半素元.
由①~③可知f*(P I(Qᶄ))⊆P I(Q).进一步可证明P I(f)保并和&运算,类似于引理3和定理3的证明,可证明P I为函子,且为含入函子I的左伴随.证毕.
下面结合函子W I和P I进一步讨论W I Q u a n t与I Q u a n t及P I Q u a n t与I Q u a n t之间的关系.
定义P:W I Q u a n tңI Q u a n t为:1)∀Qɪo b(W I Q u a n t),P(Q)=P I(Q);2)对任意Q u a n t a l e同态f:QңQᶄ及∀aɪP(Q),P(f)(a)=jᶄp i(f(a)).
定理4P:W I Q u a n tңI Q u a n t为含入函子I:I Q u a n tңW I Q u a n t的左伴随.
证明:∀Qɪo b(W I Q u a n t),P(Q)=P I(Q)ɪo b(I Q u a n t).设f:QңQᶄ为Q u a n t a l e同态,∀aɪP(Q),P(f)(a)=jᶄp i(f(a)).因为jᶄp i(f(a))ɪQᶄjᶄp i=P I(Qᶄ)=P(Qᶄ),所以P(f)定义合理.类似于引理3和定理3的证明可知P为I的左伴随.证毕.
定义W:P I Q u a n tңI Q u a n t为:1)∀Qɪo b(P I Q u a n t),W(Q)=W I(Q);2)对任意Q u a n t a l e 同态f:QңQᶄ及∀aɪW(Q),W(f)(a)=jᶄw i(f(a)).
定理5W:P I Q u a n tңI Q u a n t为含入函子I:I Q u a n tңP I Q u a n t的左伴随.
证明:类似于定理4的证明可知W定义合理,由引理4的证明可知W为I的左伴随.证毕.
推论2I Q u a n t是Q u a n t的反射子范畴.
综上,本文证明了P I Q u a n t ,W I Q u a n t 是Q u a n t 的反射子范畴,I Q u a n t 是P I Q u a n t ,W I Q u a n t 的
反射子范畴,I Q u a n t 是Q u a n t 的反射子范畴,即有如图1所示的伴随序列.
图1 与幂等Q u a n t a l e 相关几个范畴之间的关系
F i g .1 R e l a t i o n s h i p a m o n g s e v e r a l c a t e g o r i e s a b o u t i d e m p
o t e n t q u a n t a l e 参
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