人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第一课时 两角差的余弦公式
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
课标要求
素养要求
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的 在熟知两角差余弦公式的意义的基础上，
推导过程； 重点提升学生的数学运算、逻辑推理的
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号 素养.
特征，并能利用该公式进行求值、计算.
解析 cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°＝cos 30°＝
3 2.
答案
3 2
2.cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.
解析
原式＝cos(x＋27°－x＋18°)＝cos
(3)原式＝cos（15°－8c°o）s －8°sin 15°sin 8°
＝cos
15°cos
8°＋sin 15°sin cos 8°
8°－sin
15°sin
8°
＝cos
15°cos cos 8°
8°＝cos
15°＝cos(60°－45°)＝
6＋ 4
2 .
答案
(1)D
1 (2)2
6＋ 2 (3) 4
45°＝
2 2.
答案
2 2
[微思考] 1.你能利用两角差的余弦公式推导 cos32π－α＝－sin α 吗？ 提示 cos32π－α＝cos32πcos α＋sin32πsin α＝－sin α.
2.在差角余弦公式中，α，βห้องสมุดไป่ตู้是具体的角吗？
提示 公式中的 α，β 都是任意角，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，即几个角的组合，如 cosα＋2 β－α－2 β中的α＋2 β，α－2 β分别相当于公式中的 角 α，β.
α，β∈R，则 cos(α－β)＝cos α－cos β 吗？
2.问如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？ 提示 1.cos 30°≠cos 60°－cos 30°；cos 15°≠cos 45°－cos 30°；cos(α－β)≠cos α －cos β. 2.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
6－ 2 4.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
题型二 给值求值
【例 2】 已知 α，β 为锐角，且 cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos_β的值. (1)β＝(α＋β)－α (2)在求sin(α＋β)时需注意α＋β的范围，注意符号的选取 解 ∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π. 由 cos(α＋β)＝－1665，得 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝ 1－－16652＝6635.
规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然 后逆用公式求值.
【训练 1】 求下列三角函数式的值：
(1)sin1π2；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)原式＝cos(π2－1π2)＝cos51π2＝cos[π4－(－π6)]＝cosπ4cos(－π6)＋sinπ4sin(－π6)＝
1.公式：对于任意角α，β都有cos(α－β)＝ cos α cos β+sin αsin β .
公式简记为余余正正、符号反 2.简记符号
任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公 式，简记作C(α－β).
教材拓展补遗 [微判断] 1.对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.( × )
题型一 两角差的余弦公式 的简单应用 正用、逆用、灵活用
【例 1】 (1)cos(－15°)的值是( )
6－ 2 A. 2
6＋ 2 B. 2
6－ 2 C. 4
6＋ 2 D. 4
(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
cos (3)
提示 例如 α＝β＝π4，cos(α－β)＝cos 0＝1，cos α－cos β＝0，∴不成立. 2.存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ ) 3.cos 175°cos 55°＋sin 175°sin 55°＝－12.( √ )
[微训练] 1.cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝________.
7°－sin 15°sin cos 8°
8°＝________.
解析 (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝ 23× 22＋12
× 22＝
6＋ 4
2 .
(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.
又∵cos α＝45，∴sin α＝35. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－1665×45＋6635×35＝ 5 13.
规律方法 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函 数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或 凑角的变换. (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋2 β＋α－2 β；③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β).
教材知识探究
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地 平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观 测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB＝15°，求这座 电视发射塔的高度.
设电视发射塔的高度 CD＝x.则 AB＝AC·cos 15°＝60cos 15°，BC＝ACsin 15°＝60sin 15°， BD＝AB·tan 60°＝60·cos 15°·tan 60°＝60 3cos 15°， ∴x＝BD－BC＝60 3cos 15°－60sin 15°，如果能求出 cos 15°，sin 15°的值，就可求出 电视发射塔的高度了. 问题 1.30°＝60°－30°，那么 cos 30°＝cos 60°－cos 30°吗？类似的 15°＝45°－30°，那 么 cos 15°＝cos 45°－cos 30°吗？
第一课时 两角差的余弦公式
课标要求
素养要求
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的 在熟知两角差余弦公式的意义的基础上，
推导过程； 重点提升学生的数学运算、逻辑推理的
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号 素养.
特征，并能利用该公式进行求值、计算.
解析 cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝cos 54°cos 24°＋sin 54°sin 24°＝cos 30°＝
3 2.
答案
3 2
2.cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.
解析
原式＝cos(x＋27°－x＋18°)＝cos
(3)原式＝cos（15°－8c°o）s －8°sin 15°sin 8°
＝cos
15°cos
8°＋sin 15°sin cos 8°
8°－sin
15°sin
8°
＝cos
15°cos cos 8°
8°＝cos
15°＝cos(60°－45°)＝
6＋ 4
2 .
答案
(1)D
1 (2)2
6＋ 2 (3) 4
45°＝
2 2.
答案
2 2
[微思考] 1.你能利用两角差的余弦公式推导 cos32π－α＝－sin α 吗？ 提示 cos32π－α＝cos32πcos α＋sin32πsin α＝－sin α.
2.在差角余弦公式中，α，βห้องสมุดไป่ตู้是具体的角吗？
提示 公式中的 α，β 都是任意角，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团 体”，即几个角的组合，如 cosα＋2 β－α－2 β中的α＋2 β，α－2 β分别相当于公式中的 角 α，β.
α，β∈R，则 cos(α－β)＝cos α－cos β 吗？
2.问如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？ 提示 1.cos 30°≠cos 60°－cos 30°；cos 15°≠cos 45°－cos 30°；cos(α－β)≠cos α －cos β. 2.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
6－ 2 4.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
题型二 给值求值
【例 2】 已知 α，β 为锐角，且 cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos_β的值. (1)β＝(α＋β)－α (2)在求sin(α＋β)时需注意α＋β的范围，注意符号的选取 解 ∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π. 由 cos(α＋β)＝－1665，得 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝ 1－－16652＝6635.
规律方法 利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然 后逆用公式求值.
【训练 1】 求下列三角函数式的值：
(1)sin1π2；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解 (1)原式＝cos(π2－1π2)＝cos51π2＝cos[π4－(－π6)]＝cosπ4cos(－π6)＋sinπ4sin(－π6)＝
1.公式：对于任意角α，β都有cos(α－β)＝ cos α cos β+sin αsin β .
公式简记为余余正正、符号反 2.简记符号
任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公 式，简记作C(α－β).
教材拓展补遗 [微判断] 1.对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.( × )
题型一 两角差的余弦公式 的简单应用 正用、逆用、灵活用
【例 1】 (1)cos(－15°)的值是( )
6－ 2 A. 2
6＋ 2 B. 2
6－ 2 C. 4
6＋ 2 D. 4
(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
cos (3)
提示 例如 α＝β＝π4，cos(α－β)＝cos 0＝1，cos α－cos β＝0，∴不成立. 2.存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.( √ ) 3.cos 175°cos 55°＋sin 175°sin 55°＝－12.( √ )
[微训练] 1.cos 54°cos 24°＋cos 36°sin 24°＝________.
7°－sin 15°sin cos 8°
8°＝________.
解析 (1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝ 23× 22＋12
× 22＝
6＋ 4
2 .
(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.
又∵cos α＝45，∴sin α＝35. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－1665×45＋6635×35＝ 5 13.
规律方法 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函 数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或 凑角的变换. (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋2 β＋α－2 β；③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β).
教材知识探究
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地 平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观 测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB＝15°，求这座 电视发射塔的高度.
设电视发射塔的高度 CD＝x.则 AB＝AC·cos 15°＝60cos 15°，BC＝ACsin 15°＝60sin 15°， BD＝AB·tan 60°＝60·cos 15°·tan 60°＝60 3cos 15°， ∴x＝BD－BC＝60 3cos 15°－60sin 15°，如果能求出 cos 15°，sin 15°的值，就可求出 电视发射塔的高度了. 问题 1.30°＝60°－30°，那么 cos 30°＝cos 60°－cos 30°吗？类似的 15°＝45°－30°，那 么 cos 15°＝cos 45°－cos 30°吗？