画法几何与机械制图第二章 点线面1

第二章 点 直线 平面的投影
投影的基本知识 点 的 投 影 直线的投影 平面的投影 换 面 法
要求：掌握有关投影的概念；掌握点、直线、平面的投影特 性，并能够熟练作出其投影图；掌握换面法及其应用。要求 概念清楚，作图准确。
重点：各种几何元素的性质和投影规律；点和直线位于平面 上的几何条件和投影特性；换面法及其应用。
d′ c″ K a O D
相交两直线的投影特性为：相交两直线的同面投影均相交， 且交点的投影符合点的投影性质。反之亦然。
第三节
直线的投影
四、两直线的相对位置
2.相交两直线 [例] 试过E点作直线，使该直线与AB、CD都相交。
b′ c′
k2′ e′ X a′ a k2 e b
k1′ d′ O k1 cd
第二节
点的投影
二、点在三投影面体系中的投影
2.点的投影特性 例： 已知A、B两点的两个投影，试补画它们的第三投影。
Z
V
a'
W
a"
b'
X
b"
YW
a b
H
结
YH
论
已知一点的任意两个投影，可求出 该点的第三个投影。
第二节
2.点的投影特性
点的投影
二、点在三投影面体系中的投影
例： 已知点在空间直角坐标系中的坐标为A（20，15，25）， 画出该点的三面投影。
第二节
点的投影
一、三投影面体系的建立
正立投影面 Z VI II V V W X 投影轴 H IV Y VIII H 水平投影面 Y Z 侧立投影面
I
X III
O
W V
O
第二节
1.点的三面投影
V
a’ A
点的投影
Z
二、点在三投影面体系中的投影
Z
V a’ a” W
W a” O X
a
X H
a
YW
Y
H
YH
c′
1′(2′)
b′
c′
3′ 1′(2′)
b′
d′
4′
d′ X a′ a c
2 3′(4′) 1
a′ X a c
2
O d b
O d
1
b
注意：交叉两直线在某一投影面上的投影出现的交点，是分别 位于两直线上的两个点对于该投影面的重影点。
第二节
5.重影点
点的投影
二、点在三投影面体系中的投影
空间两个点，若它们在某个投影面上的投影重合，则称这 两个点为该投影面的重影点。
V b'
Z B b" A O
a'
a'（b'） a"
W
X
Z
b"
a"
O
YW
X
b
b
a
H Y a
YH
通常把不可见点的投影符号加上括号。
第三节
1.直线的投影
直线的投影
一、直线的投影及其投影特性
第二节
4.两点的相对位置
Z Va' A b' B
点的投影
二、点在三投影面体系中的投影
a' a"
b" O b a H
X Z
a"
b'
O
b"
YW
X
b
Y a
YH
由立体图知 A 、 B 两点的空间 结论：水平投影——前后，左右； 位置关系： A 点在 B 点的左前 正面投影——上下，左右； 上方；或： B 点在 A 点的右后 侧面投影——前后，上下。 下方。
第三节
直线的投影
四、两直线的相对位置
2.相交两直线 [例] 判断直线AB与CD是否相交。
c′ b′ d″ a″ d b c YH 解法一 c 解法二 O Yw Z c″
答：AB与CD不相交
c′ b′
b″
d′ a′
a′
X a d
d′ O
X
a
b
第三节
直线的投影
四、两直线的相对位置
3.交叉两直线 如果两直线既不平行又不相交，即为交叉两直线。交叉两直 线的投影特性为：既不满足相交两直线的投影特性，也不满足 平行两直线的投影特性。
第三节
直线的投影
三、点与直线的相对位置
例：已知直线AB及点K的投影，试判断点K是否属于AB。
a' k' b" O k" a"
a'k' b'k'
ak bk
b'
X
b k
a
本题有两种解题方法（1 从属性
2 定比性）。
第三节
直线的投影
三、点与直线的相对位置
例：已知直线CD的投影，点E在CD上，CE∶ED=m∶n，试求点E 的投影。
直线的投影
四、两直线的相对位置
1.平行两直线 [例]判断两条侧平线AB、CD是否平行。
b′ d′ c″ O a″ Yw Z b″ d″
c′ a′ X
b
c d
a
答：AB与CD不平行
YH
第三节
直线的投影
四、两直线的相对位置
2.相交两直线 相交两直线的交点是两直线的共有点。
V c′ k′ C b′ X c B b k H Z a′A a″ k″ W d″ X b″ d Y b c k d YH a a′ c′ k′ d′ b′ O Z a″ c″ k″ d″ b″ Yw
第三节
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
一般位置直线
正平线 //V面 投影面平行线 水平线 //H面 侧平线 //W面
正垂线 ⊥V面
投影面垂直线 铅垂线 ⊥H面 侧垂线 ⊥W面
（//H面、//W面）
（//V面、//W面） （//H面、//V面）
直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，称为 该直线对H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示。
a'
Z=25
a"
X=20
o
Y=15
Y=15
a
第二节
3.特殊位置的点的投影特性
Z VB c O b”
点的投影
Z
V a’ a” c’c” b’ c b” W
二、点在三投影面体系中的投影
X
X a
YW
H
Y
H
b
YH
1）投影面上的点有一个坐标为零，在该投影面上的投影与空间点 重合，在另两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。 2）投影轴上的点有两个坐标为零，在包含该轴的两个投影面上的 投影与空间点重合，在另一投影面上的投影与原点重合。 3)位于原点上的点，其三个坐标值为零，且它在三个投影面上的投 影都与原点重合。
第三节
2.投影面平行线 (1) 正平线
V
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
Z
a'
a' A a" W
a"
γ
b' α
X b a YH
b'
b"
YW
B
b" b a
H
正面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映α 和γ 。
其余两投影平行于相应的投影轴。
第三节
2.投影面平行线 (2)水平线
V b' a' b"
c b 正投影 平行投影 P
S
A
B
C
c
a
b 斜投影
P
第一节
投影的基本知识
A A1 A2
二、投影法的特性
投影法的一般特性：
P
a
(1)具备三个要素：形体、投射线和投影面。 (2)在投影面和投射中心或投射方向确定之后，形体上每 一点必有其唯一的一个投影与之对应。 (3)形体上一点的一个投影不能唯一确定其空间位置。
Z b' b"
β
a'
X b a YH
α a"
YW
a
侧面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映α和β 。
其余两投影平行于相应的投影轴。
第三节
3.投影面垂直线 (1)正垂线
V a' （b'） B b"
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
Z a" YW b
a' （b'）
b"
b
A
W
a"
X
H
a
a YH
正面投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的投影轴，并 反映直线的实长。
第三节
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
1.一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。
Z V a' a"
a'A
a"
W
βγ
b'
α
Bb H
a
b"
X
b'
a
b" YW
b
YH
投影特性：直线的三面投影都倾斜于投影轴、且投影的长度小于 直线的实长；直线的投影与投影轴的夹角均不反映直线对投影面 的倾角。
交叉两直线
第三节
直线的投影
四、两直线的相对位置
1.平行两直线 平行两直线的投影特性为：空间相互平行的两直线，其同面 投影必相互平行；反之，若两直线的同面投影分别平行，则这 两条直线在空间也彼此平行。 [例] 已知AB∥CD，试补全AB、CD的两面投影。
b′ d′
a′ c′ X b O d
a
c
第三节
难点：重影点；换面法。
第一节
投影的基本知识
一、投影的形成和分类
S投射中心 投射线 空间物体
投影
A
B
C
投影面 P
a
c
b
第一节
投影的基本知识
一、投影的形成和分类
按照投射线是否彼此平行，投影可分 为中心投影法和平行投影法两大类：
中心投影 A B a C c
平行投影
正投影
斜投影
P
b
中心投影
S A B
C a
m n d' e'
c'
X c e m n d O
第三节
直线的投影
四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况 。其 中，平行和相交属于同面直线，而交叉属于异面直线。
B A D A K E D F D B
C
b a c 平行两直线 d
C
a k c 相交两直线
d
B
A
c
C
b d
b
a
e(f)
问题：已知，A、B两点的三面投影，求直线AB的三面投影。
Z
a' b'
X O
a" b"
YW
b
a
YH
结论：直线的投影可由直线上任意两点的投影来决定。
第三节
2.直线的投影特性
E
直线的投影
一、直线的投影及其投影特性
C
D A
F
c a d b
B
e(f)
•垂直于投影面的直线，在该投影面上的投影积聚为一点。
•平行于投影面的直线，在该投影面上的投影反映线段实长。 •不垂直于投影面的直线，其投影仍为直线，长度小于线段实长。
第一节
投影的基本知识
二、投影法的特性
正投影法的特性：
P 真实性
P 积聚性
P 类似性
1)真实性：当平面几何图形平行于投影面时，投影反映其实形； 2)积聚性：当平面几何图形垂直于投影面时，投影积聚为点或直 线； 3)类似性。当平面几何图形倾斜于投影面时，投影为原图形的类 似形，即直线的投影为直线、N边形的投影为N边形、 圆的投影为椭圆。 工程中一般用多面正投影来图示三维形体。
实际上，三投影面体系可看作是三维直角坐标系。 因此，点的位置可由它的三面投影确定，也可用它的三个 直角坐标来确定。
第二节
2.点的投影特性
V
a’ A
点的投影
Z
二、点在三投影面体系中的投影
Z
V a’ a” W
W a” O X
a
X H
a
YW
Y
H
YH
点的投影特性：
1)点的投影连线垂直于投影轴。 2) 点的投影到投影轴的距离，等于该点到对应的相邻投影面 的距离，也等于点的坐标。空间点到W、V、H的距离分别为该 点的X、Y、Z坐标。
第三节
3.投影面垂直线 (2)铅垂线
V a'
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
Z a' a"
A
b' B a（b） H
a"
W b" b' b"
X
a（b） YH
YW
水平投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的投影轴，并 反映直线的实长。
第三节
3.投影面垂直线 (3)侧垂线
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
Z b' a' b" a"
B
A a" W X
YW
b
b β H
a
γ
a YH
水平投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映β 和γ 。
其余两投影平行于相应的投影轴。
第三节
2.投影面平行线 (3)侧平线
V b' a' B b" W A b H a"
直线的投影
二、直线对投影面的相对位置
Z V a' B a" W (b"） b'
a'
A
b'
a"
（b"）
X
YW
a
H
b
a b YH
侧面投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的投影轴，并 反映直线的实长。
第三节
V c' a' X C A c O
直线的投影
b'
三、点与直线的相对位置
b' B a'
c'
X
a H c
O
b
a
b
从属性：位于直线上的点，其投影一定在它所在直线的同面投影 上 ，反之亦然。 定比性：位于直线上的点，其分割直线段长度之比在投影后保持 不变 。