湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 分层作业 第3章 复数 3.2 复数的四则运算

C级
13.设 z
学科素养创新练
1
是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2.

(1)求 z 的实部的取值范围;
(2)设
1-
u=1+,证明
u 为纯虚数.
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解 (1)因为 z 是虚数,所以可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.所以
1
1
-i
( A )
A.a=-3,b=-4
B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4
D.a=3,b=4
解析 由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,
b + 4 = 0,
a = -3,
故 a + 3 = 0, 解得
b = -4.
4-b ≠ 0,
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3.已知(1-i)2z=3+2i,则z=( B )
3
A.-1- i
2
3
B.-1+ i
2
3
C.- +i
2
3
D.- -i
2
解析
由题意得 z=
3+2
2
(1-)
=
3+2
3
=-1+2i.
-2
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4.若z(1+i)=2i,则z=( D )
A.-1-i
(1)求b,c的值;
(2)试判断x=1-i是否为方程的根.
解 (1)因为 1+i 是方程 x2+bx+c=0 的根,
+ = 0,
所以(1+i) +b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,于是
2 + = 0,
2
= -2,
解得
故 b 的值为-2,c 的值为 2.
= 2,
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m 的取值
8.计算:
3
1
(1)(- + i)(2-i)(3+i);
2
2
( 2+ 2i)2 (4+5i)
.
(2)
(5-4i)(1-i)
解 (1)
1
3
- + i
2
2
( 2+ 2i)2 (4+5i)
(2)
(5-4i)(1-i)
(2-i)(3+i)=
z=-1+ 3i,则
1+z+z2=____________.
0
2
z=1+ 3i
-2(1- 3i)
1- 3i 1
3
=- 2 =-2 + 2 i.
(1+ 3i)(1- 3i)
=
1
3
2
∴1+z+z =1-2 + 2 i+
1
3
-2 + 2 i
2
1
3 -1- 3i
=1-2 + 2 i+ 2 =0.
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(1-)(-)
-
2
=-1-i,
∴z2=(-1-i)2=2i.
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7.设 m∈R,复数
2 +
z1= +2 +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i.若 z1+z2 是虚数,求
范围.
解
m2 +m
∵z1= m+2 +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,
A.2i
B.2
解析
+2i
∵
2-i
2-2
∴ 5 =0
C.3i
=
为虚数单位),则复数 z+1+i 的虚部为( B )
D.3
(+2i)(2+i)
(2-i)(2+i)
4+
且 5 ≠0,解得
=
2-2
(4+)i
+
为纯虚数,
5
5
a=1,
∴z=i,
∴z+1+i=1+2i,其虚部为 2.故选 B.
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11.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=____________.
-2i
解析
设z=a+bi(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,
则f(i)=-2i.
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12.复数
解析
2
2 2
a
-b = 3,
2 2
得 a -b +2abi=3+4i,从而有
ab = 2,
a = -2,
a = 2,
解得
或
则 a2+b2=5,ab=2.
b = -1,
b=1
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6.已知复数
解析
1-i
z= i (i
1-
z=

=
2i
是虚数单位),则 z2=____________.
∴z1+z2=
m2 +m
-2
m+2
m2 -m-4
+[(m-15)+m(m-3)]i= m+2 +(m2-2m-15)i.
∵z1+z2 为虚数,∴m2-2m-15≠0,且 m≠-2,
解得 m≠5,m≠-3,且 m≠-2(m∈R).
所以 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).
B.-1+i
解析
2
z=
1+
=
2(1-)
(1+)(1-)
=
C.1-i
2+2
=1+i.故选
2
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D.1+i
D.
2
5.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=______,ab=________.
5
解析 由(a+bi)2=3+4i,
=
1-2 -2 -2i

=-1+i.
2
2
(1+) +
u 为纯虚数.
=
4i(4+5i)
5-4-9i
=
1
3
- + i
2
2
-20+16i
1-9i
=
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(7-i)=
3-7
7 3+1
+
i.
2
2
-4(5-4i)(1+9i)
82
=
-4(41+41i)
=-2-2i.
82
9.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).

ω=z+ =x+yi+
=x+yi+ 2 2=x+ 2 2

+i
+
+
因为 ω 是实数且 y≠0,所以
+

y- x2+y2=1,此时 ω=2x.
1
因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有- <x<1,
2
即 z 的实部的取值范围是
1
- 2 ,1
.
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- 2 2
+
i.
(2)设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0,
由(1)知,x2+y2=1,
所以
1-
u=1+
因为 x∈
=
1
- 2 ,1
1-(+i)
1+(+i)
=
(1--i)(1+-i)
(1+)
2
+2

,y≠0,所以-1+≠0,所以
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A级
1.i
必备知识基础练
1
1
为虚数单位, i + 3
i
A.0
解析
B.2i
+
1
i
5
1
+ 7等于( A )
i
C.-2i D.4i
1
1
1
1
1
1
∵ =-i, 3 =i, 5 =-i, 7 =i,∴ + 3






+
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1

5
1
+ 7=0.

2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为
(2)由(1)方程可化为 x2-2x+2=0,
把 x=1-i 代入方程左边得
x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
所以 x=1-i 也是方程的根.
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B级
关键能力提升练
10.若复数
+2i
z= 2-i 为纯虚数(a∈R,i