2019-高二数学上学期期末考试试卷理

2019-2020 年高二数学上学期期末考试一试卷理
考试时间： 120分钟总分： 150 分
第Ⅰ卷（选择题满分 50 分）
一、选择题：（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要
求的）
1．两直线ax y2a0 和 (2 a1)x ay a 0 相互垂直，则a（）A．1B．1C．1或 0D． 1 或 1
353
2．已知圆C : x22x y20 的一条斜率为1的切线为l1，且与l1垂直的直线l2均分该圆，
则
直线 l 2的方程为（）
A ．x y 1 0
B ．x y 1 0
C ．x y 1 0
D ．x y 1 0
3．已知某空间几何体的正视图和侧视图同样，且如右图所示，俯视图是两个齐心圆，则它的
表面积为（）1
A．7 45
2B．(12 4 5)
1
C．15 4 5
4
2 D．(1
3 45)
4．下边说法正确的选项是
（）
3
A．命题“
,使得2 1 0”的否认是“使得2”x R x x x R,x x 10
B．实数x y是x2y2成立的充要条件
C．设p, q为简单命题，若“p q ”为假命题，则“p q ”也为假命题
D．命题“若cos1，则0 ”的为真命题
5
, 是两个不一样的平面，以下四个条件：①存在一条直线a
， a,a；②存在一
．若
个平面，，；③存在两条平行直线 a,b , a,b，且 a / / ，b / /；④存在两条异面直线 a ,b , a, b,a / / , b / /．那么能够是/ /的充足条件有（）A．4个B．3 个C．2 个D． 1 个
6．正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为 2 ，若异面直线AB1与 BC1所成的角为60 ，则该三棱柱的侧棱长为（）．
A ．2 2或 2
B
． 2
C ．
10
5
D
． 2 2
7
f (x)
lg( ax
x
a) 的定义域为 R ，命题 q :不等式 2x
1 1 ax
．已知命题 p : 函数
2
1
16
对全部正实数 x 均成立． 假如， 命题 “ p q ”为真命题，命题“ p
q ”为假命题， 则实数 a
的取值范围为（
）．
A ． a
1
B
． 1 a 2
C
． a 2
D ．无解
8．已知抛物线
y
x 2 1上的必定点 B( 1,0) 和两个动点 P 、 Q ，当 BP
PQ 时，点 Q 的
横坐标的取值范围是（
）
A ． (
, 3] [1,
) B
． [ 3,1] C
． (
, 3]
[1,3
) ( 3
,
) D ．[1,
)
2
2
2
2
9．椭圆 C : x
2
y 2 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ，若椭圆 C 上恰巧有
6 个不一样
的
a
b
点P ，使得 F 1
F 2
P
为等腰三角形，则椭圆
C 的离心率的取值范围是
( )
A ．(1,2
)
B
．(1,1) (1
,1)
C
． (2
,1)
D
． (1
,1)
3 3
3 2 2
3
2
10．过椭圆
x 2
y 2
1上一点 M 作圆 x 2
y 2
2 的两条切线， A, B 为切点， 过 A, B 的直线
9
4
l 与 x 轴、 y 轴分别交于 P,Q 两点， O 为坐标原点，则
POQ 的面积的最小值为 (
)
A ．
1
B
．
4
C ． 1
D
．
2
2
3
3
第Ⅱ卷（非选择题
满分 100 分）
二、填空题：（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应地点）
11 ．直三棱柱
ABC
A 1
B 1
C 1 的各个极点都在同一个球面上，若
AB
AC AA 1 2 ，
BAC 120 则此球的表面积为
．
12．已知双曲线的方程为
y 2
2
1，点 A 的坐标为 (0,
5) ， B 是圆 ( x
5) 2 y 2
1 上
4
x
的点，点M 在双曲线的上支上，则|MA|
|MB|的最小值
为
．
13．一个棱长为 6 的正四周体纸盒内放一个正方体， 若正方体能够在纸盒内随意转动，
则正方 体棱长的最大值为
．
14．已知平面上点 P
{( x, y) |( x 2cos ) 2 ( y 2sin )2 16(
R)} ，则知足条件的点
P 在平面上所构成的图形的面积为．
15．已知平面上的线段l及点P，任取l上一点 Q ，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段l的距离，记作 d (P,l )
①若点 P(1,1) ，线段 l : x y 30(3x5) ，则 d (P,l ) 5 ；
②设 l 是长为2的定线段，则会合 D { P | d (P, l )1} 所表示的图形面积为 4 ；
③若 A(1,3) ， B(1,0) ， C ( 1,3) ， D (1,0)，线段 l1 : AB ， l 2: CD ，则到线段 l1， l2距离相等的点的会合 D { P | d ( P, l1 ) d ( P, l2 )}{( x, y) | x0} ；
④若 A(1,0) ， B(1,0) ， C (0,1) ， D (0,1) ，线段l1: AB，l2: CD ，则到线段 l1， l2距离相等的点的会合
D { P | d ( P, l1 ) d ( P, l2 )}{( x, y) | x2y20} ．
此中正确的有．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解
答写在答题卡上的指定地区内）
16．（本小题满分 12 分）
在ABC 中， BC 边上的高所在直线的方程为x 2 y 1 0 ， A 的均分线所在直线
的方程为y 0，若点 B 的坐标为 (1,2) ，求ABC 的面积．
17．（本小题满分12 分）
如下图的几何体中，四边形ABCD
为矩形，
AD
平面
ABE AE EB BC2
，
，
F 为CE上的点，且 BF平面 ACE ．
（ 1）求证：AE //平面BFD；
（ 2）求三棱锥C BGF的体积 .
D C
G
F
A B
E
18．（本小题满分13 分）
已知圆O : x2y2 4 和点M (1,a) ．
（ 1）若过点M有且只有一条直线与圆O 相切，求正数 a 的值，并求出切线方程；
（ 2）若a 2 ，过点M的圆的两条弦AC ，BD相互垂直．
①求四边形ABCD 面积的最大值；②求|AC|| BD |的最大值．
19．（本小题满分 12 分）
椭圆 T 的中心为坐标原点O ，右焦点为 F (2,0)，且椭圆 T 过点 E(2,2) ．ABC的三个极点都在椭圆 T 上，设三条边的中点分别为M ,N,P ．
（ 1）求椭圆T的离心率；
（ 2 ）设ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1 ,k2 , k3，且 k i 0, i1,2,3 ．若直线
OM , ON ,OP 的斜率之和为0
111
为定值．，求证：
k2k3
k1
20．（本小题满分 13 分）
如图，在直角梯形ABCD 中， AD / /BC ，AD AB，AD1，BC2，E为CD 上一点，且 DE 1 ，EC 2，现沿 BE 折叠使平面BCE平面 ABED ， F 为 BE 的中点．
（ 1）求证：AE平面 BCE ；
（ 2）可否在边AB上找到一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为2
？若存在，
试确立点 P 的地点，若不存在请说明原因．
3
C
C
E
D D
E
F F
A B A B 21．（本小题满分13 分）
椭圆 E : x22 2
，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为2
y21(a b 0) 的离心率为
a b2
半径的圆与直线x y20 相切．
（1）求椭圆E的方程；（ 2）已知直线l过点M (1
,0) 且与张口向上，极点在原点的抛物线 C 切于第二象限的2
一点 N ，直线 l 与椭圆E交于 A、B 两点，与y轴交于D点，若 AD AN，BDBN,且 4 ，求抛物线C的标准方程．
y
N
A
M O x
B
合肥一六八中学高二年
2014-2015 学年第一学期期末考
理科数学 卷答案 第Ⅰ卷（ 分 50 分）
一、 ：（本大 共
10 小 ，每小
5 分，共 50 分．在每小 出的四个 中，只有
一 是切合 目要求的）
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D
A
D
C
D
B
C
B
D
第Ⅱ卷（非
分 100 分）
二、填空 ：（本大 共 5 小 ，每小
5 分，共 25 分．把答案填在答 卡的相 地点）
11． 20
12
．
10 3
13．
2
14
． 32
15．①③④
三、解答 ：（本大 共 6 小 ，共 75 分。

解答 写出文字 明、 明 程或演算步 。

解答写在答 卡上的指定地区内）
x 2y 1
分
16．解：由方程
解得 点 A( 1,0) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
y
又 AB 的斜率 k AB
1 ，且 x 是
A 的均分 ，故直 AC 的斜率
1，
AC 所在的直 方程 y
( x 1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
已知 BC 上的高所在的直 方程 x 2 y 1 0 ，故 BC 的斜率 2，
BC 所在的直 方程
y 2 2( x
1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
解方程y22( x1)
得点 C 的坐(5, 6)． . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分y(x1)
|BC| 45
| 2 4 |6，点 A 到直BC的距离d55
S
ABC 1
| BC | d12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分2
17．：（ 1）由意可得G是AC的中点，接FG BF平面 ACE ， CE BF ，而BC BE ，
∴F 是EC中点，在AEC 中， FG // AE ，∴ AE // 平面BFD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（ 2）AE // 平面BFD，∴ AE // FG ，由可得AE平面 BCE ，∴ FG平面 BCF
G是 AC中点，F是 CE中点，∴ AE// FG且FG 1
AE1，2
BF平面 ACE ，∴ BF CE ，∴ Rt BCE 中，BF 1
CE CF 2 ，2
∴S CFB1221∴ V C BGF V
G BCF1
S
CFB FG
1
． .⋯⋯⋯⋯ 12 分
233
18．解：（ 1）由条件知点M 在O上，所以 1a24， a 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
当 a3，点M(1,3) ，k OM 3 ，k切线
3 3
此切方程y3
3
(x 1) ，即 x3y40 3
当 a3，点 M (1,3) ，k OM 3 ，k切线
3 3
此切方程y33
(x1) ，即 x3y40 3
所以所求的切方程x 3 y 4 0或 x 3 y40 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（ 2）O到直AC，BD的距离分d1，d2（d1，d20 ），
d12d22OM 2 3 于是| AC | 2 4 d12,| BD | 2 4 d22
①
S ABCD 1
|AC| |BD| 2 4d124d224d124d228 3 5 ，2
当且当
d1 d26
取等号2
即四形 ABCD 面的最大 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
② | AC | | BD | 2 4 d12 2 4 d22，
(|AC|| BD |)24(4d124d2224d12 4 d22 )
4(5216 4(d12d22 )d12 d22 )4(524d12d22 )
因 2d1d2d12d223，所以 d12d229，当且当 d1d26取等号，
42
所以4d12d225，所以 (| AC || BD |)24(525)40
22
所以|AC||BD|210
即|AC|| BD |的最大 2 10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分
19．解：（ 1）T的方程x
2
y2 1 ，
a2b2
由意知：左焦点 F ' ( 2,0) ，所以2a|EF||EF'|232
，
解得a22 ，b 2 ， c2故 T 的离心率e c 2
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
a2
（ 2）由（ 1）知T的方程x
2
y21
8 4
A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ， M (s1,t1), N ( s2 ,t 2 ), P(s3, t3 ) ，由： x12 2 y128 ， x22 2 y228 ，两式相减，获得
(x1x2 )( x1x2 ) 2( y1y2 )( y1y2 ) 0
所以 k1y1y2 1 x1x21 s
1 ，即12
t
1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
x1x2 2 y1y2 2 t1k1s1同理12t2，12t3
k2s2k3s3
所以1112(
t
1t2
t
3 ) ，又因直OM , ON ,OP的斜率之和
0，
k1k2k3s1s2s3
1 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12
所以
k 2
0 分
k 1 k 3
20．（ 1） 明：在直角梯形
ABCD 中易求得 2 6 4 3 AB 2 2,AE
, BE
3
⋯⋯2分
3
∴ AE 2
BE 2 AB 2 ，故 AE
BE , 且折叠后 AE 与 BE 地点关系不 ⋯⋯4 分
又∵面BCE
面 ABED , 且面 BCE
面 ABED BE
∴ AE
面 BCE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
（2）解：∵ 在 BCE 中， BC
CE
2 ，F BE 的中点
z
∴ CF
BE 又∵ 面 BCE 面 ABED , 且面 BCE
面 ABED
BE
C
∴ CF 面ABED , 故能够 F 坐 原点成立如 所示的空 直角坐 系
A(
2
6 , 2 3 ,0) C (0,0, 2 6
) E(0, 2
3
,0)
E
3 3 3
3
D
易求得面 ACE 的法向量 m (0,
2,1)
⋯⋯8分
F
假 在 AB 上存在一点 P 使平面 ACE 与平面 PCF
A
B
2
，且AP
所成角的余弦
AB
(
R)
x
y
3
∵ B(0,
2 3
,0)
AB
( 2 6 , 4
3
,0) 故 AP
( 2 6 , 4
3
,0)
3
3 3
3 3
又CA (
2 6
,
2 3 , 2 6 )
3
3
3
∴ CP
CA AP
(
2
6
(1 ),
2 3
(2 1),
2 6 )
3
3
3
又
FC
(0,0, 2 6
面 PCF 的法向量 n
(x, y, z)
3 )
2 6 z 0
∴
3
2 6(1
2 3(2
2 6 z 0
) x 1) y
3
3
3
令 x
2 1 得 n (2
1, 2( 1),0) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10
分
∴ |cos m, n |
m n| 2(1) |2 | m || n |3(21)22(1)23
解得2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分3
所以存在点P 且 P 段 AB 上凑近点 B 的三均分点使得平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
3
21．（本小分13 分）
（ 1）由意知e c2，e2c2a2b21，
a2a2a22
即 a22b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
又b
122 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分a22,b21 12
故的方程x2y21⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
2
（ 2）抛物C的方程y ax2 ,( a 0) ，直 l 与抛物的切点N ( x0 , ax02 )切 l 的斜率 k ，切的方程y ax02k (x x0 ) ，
立方程y ax02k(x x
)
，由相切得0，直 l 的斜率 k2ax0
y ax 2
可得直 l 的方程y ax022ax0 ( x x0 )⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
直 l点(1
,0)ax022ax0 (
1
x0 )即 ax02ax00 22
N ( x0 , ax02 ) 在第二象限x00x01
直 l的方程 y2ax a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
代入方程整理得(18a2 ) x28a2 x2a220
A( x1, y1 ), B(x2 , y2 )x1x28a2, x1 x22a22⋯⋯⋯ 10 分
1212
8a8a
由AD AN，BD BN,
得
x
1 ,x2
1x1 1 x2
x1x22x1 x2x1x2 4 4a2
1 x1 1 x
2 1 x1x2x1x22a2
4
1
a22a0,a2
抛物的准方程x2
2
y ⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分2。