湖北省黄冈市2018届高三上学期期末考试(元月调研)数学(文)试卷含答案

黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数学试题（文科）
本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150
分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分)
一、选择题（本题包括12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合M=｛-4,-2，0,2，4,6｝，N=｛x｜x2—x-12≤0｝,则M∩N= （)
A.［-3,4］
B.｛-2,0，2,4｝C。

｛0,1，2} D.｛1，2，3}
2。

设z= 错误!，则z2+z+1= （)
A.-i B。

i C.—1-i D。

-1+i
3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是错误!,则阴影部分的面积是（)
A.错误!B。

2 C。

错误! D.3
4。

锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b＞a，已知a=4,c=5,sinA= 错误!，则b= （)
A。

9 B。

8 C。

7 D。

6 5.若实数数列:—1,a，b,m，7成等差数列，则圆锥曲线错误!的离心率为( )
A。

2 B.错误! C.错误!D。

错误!
6.将函数y=2sin(2x–错误!）的图像向右平移错误!个最小正周期后,所得图像对应的函数为
( )
A.y=2sin(2x—错误!）B。

y=2sin（2x–错误!)
C.y=2sin(2x+ 错误!) D。

y=2sin（2x- 错误!）
7。

一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
8.执行右面的程序框图，如果输入的x∈［-1，4］,则输出的y属于( ）A。

[-3，4］
B。

[-3,6]
C。

［-4,5］
D.［-3,5］
9。

若a＞b＞1,—1＜c＜0, 则( ）
A。

ab c＜ba c B.a c＞b c
C.log a|c| ＜错误!D。

b错误!＞a错误!
10。

函数y=—2x2+2｜x|在［–2,2］的图像大致为（)
11。

已知抛物线y2=2px（p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线错误!-x2=1相交于M，N两点,若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p= （）
A。

2错误!B。

错误!C。

3错误!D。

6
12.若函数f(x)= —错误!x—错误!cos2x+m(sinx-cosx）在（—∞,+∞)上单调递减，则m的取值范围是( ）
A.[—错误!，错误!] B。

[- 错误!,错误!] C。

[-错误!, 错误!］D。

［—错误!,错误!］
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
(本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22，23 题为选考题，考生根据要求作答)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在题中的横线上)
13。

设错误!=(2m+1，m),错误!=(1，m)，且错误!⊥错误!,则m=_______。

14.已知α是第三象限角，且tan(α+ 错误!)= -2，则sin(α–错误!）= . 15。

已知圆C1：x2＋y2—2ax＋a2－9＝0 和圆C2：x2＋y2+2by－4＋b2＝0恰有三条公切线，若a∈R,b∈R，令t=a+b，则t的取值范围是_________.
16。

设x，y满足错误!，且m= 错误!，则实数m的取值范围是___________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分) 已知集合A＝｛x｜错误!≤1｝,B＝{x｜log3（x ＋a）≥1｝,若B错误!A,求实数a的取值范围．
18。

(本题满分12分）在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a，b，c。

已知△ABC的面积为错误!,b –a=1，cos C＝－错误!。

（1）求c和sin A的值；
（2)求cos错误!的值。

19。

（本题满分12分)已知等差数列｛a n}的首项a1=-2，等比数列{b n}的公比为q,且a2=b1,a3=b2+1,
a1b2+5b2=b3.
（1)求数列{a n｝和{b n}通项公式；
(2)求数列｛a n b n｝的前n项的和S n.
20.（本题满分12分）2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行,会议期间,达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示,已知乙
品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计值为3
10。

（1)求a的值;
（2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
（3）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．
21.（本题满分12分）如图,椭圆C1：错误!（a＞b＞0)的离心率为错误!，抛物线C2:y=—x2+2截x轴所得的线段长等于错误!b.C2与y轴的交点为M，过点P（0,1）作直线l与C2相交于点A,B，直线MA，MB分别与C1相交于D、E。

(1)求证:错误!⊥错误!；
(2)设△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2,若S1=λ2S2（λ＞0),求λ的取值范围.
22.(本题满分12分)已知函数f(x)=错误!
x2+(2a-2）x—4alnx。

(1）讨论f(x)的单调性；
（2）设a=1,若存在x1，x2∈（2,+∞）,且x1≠x2，使不等式|f(x1)—f（x2）｜≤k｜lnx1-lnx2｜成立，求实数k的取值范围.
黄冈市2017年秋季高三年级期末考试
数 学 试 题（文科）参考答案
一、选择题
BACDCB DCDAAB
4。

D 【解析】本题考查余弦定理的应用。

由题设sinA=错误!,又△AB C 为锐角三角形，∴cosA= 错误!。

∴由余弦定理得 42=b 2+52-2×5×b ×错误!，即2b 2—15b+18=0，解得b=6或b=错误!＜4（舍），故选D
5。

C 【解析】本题考查双曲线的几何性质及等差数列的通项公式.由数列：-1,a,b ，m ，7成等差数列得,
7=—1+（5-1）d ，∴d=2，从而,a=1，b=3,∴c 2=12+32=10,∴c=错误!，
e=c a
= 错误!,故选C 6。

B 【解析】本题考查三角函数图像的平移，函数y=2sin （2x –错误!)的最小正周期为π，则错误!个周期为错误!,即将函数y=2sin （2x –错误!）的图像向右平移错误!,所得函数为y=2sin ［（2（x-错误!)—
错误!)］
=2sin(2x –错误!），
故选B.
7.D 【解析】本题考查三视图及简单几何体的体积计算.
原立体图如右图所示，是一个长方体挖去半个圆锥，
因此,所求的几何体的体积为
V=2×1×2- 错误!×错误!×π×12×2=4— 错误!= 错误!。

故选D.
9。

D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质。

由—1＜c＜0得0＜|c|＜1,又a＞b＞1,
∴错误!＜错误!＜0，—错误!＞—错误!＞0, a＞b＞1＞0，∴—a错误!＞-b错误!,即b错误!＞a错误!.故选D。

10。

A 【解析】本题考查函数图象及其性质.由y=—2x2+2|x|知函数为偶函数，即其图象关于y轴对称,故可排除B,D。

又当x=2时，y=—2·（—2)2+22=-4。

所以，C是错误的，故选择A.
11。

A 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线y2=2px的准线为x=—错误!，代入双曲线方程错误!-x2=1解得y=±错误!,由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠
FMN=π4 ,
∴tan∠FMN= 错误!=1，∴p2=3+错误!，即p=2错误!，故选A。

12。

B【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用。

由f(x）= —
错误!x- 错误!cos2x+m(sinx—cosx)在(—∞，+∞)上单调递减知,f′（x)= —错误!+ 错误!sin2x+m（cosx+sinx)≤0在（—∞，+∞）上恒成立，令t=sinx+cosx，
t∈[—错误!，错误!］.则sin2x=t2—1,即错误!t2+mt—1≤0对t∈［-错误!，错误!］恒成立，构造函数g（t)= 错误!t2+mt—1,则g（t)图象开口向上，从而函数g（x）在区间［-错误!,错误!]上的最大值只能为端点值，故只需错误!∴—错误!≤m≤错误!,故选B.
二、填空题
13.32 14.-错误!15.-5错误!≤t≤5错误!16。

错误!≤m≤5
14. —错误!【解析】本题考查三角变换公式的应用.由tan（α+ 错误!）= —2，得错误!=—2,解得tanα=3,
∴sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1，解得sinα= - 错误!，cosα=- 错误!。

∴sin(α–错误!）=sinαcos错误!-cosαsin错误!=- 错误!.
15.—5错误!≤t≤5错误!解析：由x2＋y2—2ax＋a2－9＝0,得（x-a)2＋y2＝9，由x2＋y2+2by－4＋b2＝0，得x2＋(y+b)2＝4.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，
则a2＋（—b）2＝3＋2＝5，即a2＋b2＝25，∴点（a,b）满足圆a2＋b2＝25的方程，于是t=a+b可以看作直线l:a+b-t=0,则直线l与圆a2＋b2＝25有交点,即有错误!≤5,从而得—5错误!≤t≤5错误!。

16。

错误!≤m≤5
【解析】∵m= 错误!= 错误!=1+2×错误!，如图满足错误!的可行域
为图中的阴影部分, 错误!表示可行域内的点与点P(—1，—1)连线的斜率,又A（2,0),
B（1,3)，C（0,1）,k PA= 错误!，k PC= 2,故错误!≤m≤5.
三、解答题
17. 解析：由错误!≤1，得x2－x－6≥0,解得x≤－2或x≥3，故A＝｛x| x≤－2或x≥3｝.………3分
由log3(x＋a）≥1，得x+a≥3故B＝｛x|x≥3－a}．………………5分
由B错误!A,得3－a≤－2或3－a≥3，…………………8分
解得a≥5或a≤0。

………………………………………………………10分
18。

解（1）在△ABC中，由cos C＝－错误!，可得sin C＝错误!.……………………(1分)
由S△ABC＝1
2
ab sin C＝错误!，
得ab＝6,又由b -a ＝1，解得a＝2,b＝3。

……………………(4分）由c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得c＝4.
由错误!＝错误!,得sin A＝错误!。

……………………（6分)
（2）cos错误!＝cos 2C·cos 错误!－sin 2C·sin错误!……………………（9分）
＝错误!(2cos2C－1）－错误!×2sin C·cos C＝错误!.……………………(12分)
19。

解:（1)设等差数列｛a n}的公差为d,则由题设可得错误!,…………（2分)
解得错误!.…………………………………(4分）
∴a n=3n-5，b n=3n-1。

……………………………(6分）
(2）由(1)知a n b n=(3n-5）·3n-1，∴数列{a n b n}的前n项和为S n=—2·30+1·3+4·32+…+（3n—5）·3n—1①
3S n=-2·3+1·32+4·33+…+（3n-8）·3n—1+(3n—5)·3n
②……(8分）
①—②得—2S n=—2+3·3+3·32+…+3·3n-1—（3n-5)·3n=—2+ 错误!—(3n—5)·3n…………(10分)
∴S n= 错误!.……………………………………………………(12分)
20。

解：（1）由直方图可知,乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30+a,故频率为错误!，
由意可得错误!=错误!,解得a=60.……………………………………(3分）
(2）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为错误!＝错误!，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为错误!。

………………………………………（7分)
（3）根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有220＋210＝430个，其中乙品牌产品是210个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是乙品牌的频率为错误!＝错误!，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为错误!。

………………………………（12分)
21. 解：（1）由题设得 2 b=2错误!,（b＞0),∴b=2，又e= 错误!=错误!，∴c2=错误!a2=a2—4,解得a2=9.
因此椭圆C1和方程为错误!+ 错误!=1。

由抛物线C2的方程为y=-x2+2,
得M（0，2)。

………(2分)
设直线l的方程为y=kx+1（k存在）,A(x1，y1),B（x2,y2)。

于是。

由错误!消去y得x2+kx-1=0,∴错误!,①………………………(3分）
∴错误!·错误!=（x1，y1-2）·(x2，y2—2)=x1x2+（y1—2）（y2—2）=x1x2+（kx1+1-2)(kx2+1-2)
=(1+k2）x1x2-k（x1+x2）+1,
∴将①代入上式得错误!·错误!=—1—k2+k2+1=0，故错误!⊥
错误!.……………………（5分）
（2）由（1）知,MA⊥MB,∴△MAB和△MDE均为直角三角形，设直线MA方程为y=k1x+2，直线MB方程为y=k2x+2，且k1k2=—1,由错误!解得错误!或错误!,∴A(—k1，—k12+2），同理可得B(—k2，—k22+2），………（7分)
∴S1=错误!｜MA｜·｜MB|= 错误!错误!·错误!｜k1||k2｜。

………………………………(8分）
由错误!解得错误!或错误!，∴D(错误!，错误!），
同理可得E（错误!，
8—18k22
),………………………………………………………（9分）4+9k22
∴S2=错误!｜MD｜·｜ME|= 错误!·错误!·错误!，………………………（10分)
∴λ2= 错误!= 错误!(4+9k12)(4+9k22)= 错误!(16+81k12k22+36k12+36k22)
= 错误!(97+ 36k12+ 错误!)≥错误!,又λ＞0,∴λ≥错误!
故λ的取值范围是[错误!,+
∞)………………………………………………………（12分)
22.解：(1)∵f′（x)=x+（2a—2)—错误!= 错误!= 错误!(x＞0)。

令f′(x）=0得x=2或x=-2a.
∴①当-2a=2，即a=—1时，f′（x）≥0在x＞0时恒成立,即f(x)在(0，+∞)上单调递增。

……(2分）
②当—2a＞2，即a＜-1时,f（x)在（0,2)和（-2a,+∞）上单调递增,在(2,-2a)上单调递减.………(3分）
③当0＜-2a＜2，即-1＜a＜0时,f（x）在（0，—2a)和（2，+∞）上单调递增，在（—2a，2）上单调递减。

……（4分）
④当—2a≤0，即a≥0时，f(x)在（0，2)上单调递减,在(2，+∞）上单调递增. ………(5分)
（2)由(1）知，当a=1时，f(x)在(2，+∞）上单调递增，不妨设x2＞x1＞2，
则不等式|f(x1）—f(x2）|≤k|lnx1-lnx2|可化为f（x2)-f(x1）≤klnx2—klnx1。

……………（7分）
f(x1）—klnx1≥f（x2)—klnx2,令g(x）=f（x)-klnx,则g（x）在(2,+∞)上存在单调递减区间. ………（9分)
∴g′（x）= f′(x）—错误!＜0 在区间(2，+∞)有解，即错误!- 错误!＜0在x∈(2,+∞）上有解，…(10分)
∴k＞x2—4，x∈（2,+∞),故k＞0. ……………(12分)。