2021新教材高中数学第8章习题课平行与垂直的综合问题课件新人教A版必修第二册

(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B. 因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC. 因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
又G为FB的中点，所以AG⊥FB. 在等腰梯形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，所以EF⊥AB. 于是EF⊥AF，EF⊥BF. 又AF∩BF＝F，所以EF⊥平面ABF. 因为AG⊂平面ABF，所以AG⊥EF. 又AG⊥BF，EF∩BF＝F，所以AG⊥平面BCEF.
(2)如图，连接CG. 因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4， 点E，F分别是CD，AB的中点，G为FB的中点， 所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF. 因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF. 如图，过点G作GH⊥AB于H，连接CH. 由三垂线定理可得CH⊥AB， 所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.
[归纳提升]ꢀ(1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定 注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 知平面相交，这时才有直线与交线平行.
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定 理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应 用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂 直”的转化思想进行推理.
题型二 立体几何中的折叠问题
典例 2
[归纳提升]ꢀ平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前 后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中 没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的 空间图形的结构特征.
解决此类问题的步骤为：
[解析]ꢀ(1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三 角形.
第八章
立体几何初步
习题课ꢀ平行与垂直的综合问题
关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 平行和垂直关系的证明
典例 1 ꢀ如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边 形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.
求证：(1)直线PA∥平面BDE. (2)平面BDE⊥平面PCD.
题型三 立体几何中的探，MC∥平面PBD.
理由如下： 如图，连接AC交BD于O. 因为四边形ABCD为矩形， 所以O为AC的中点. 连接OP，因为P为AM的中点， 所以MC∥OP. 又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD， 所以MC∥平面PBD.
[归纳提升]ꢀ探索性问题的一般解题方法 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知 条件一起进行推理论证和计算.在推理论证和计算无误的前提下，如果得 到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则 说明不存在.
[证明]ꢀ(1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点， 所以O为AC的中点.
又E为PC的中点，所以OE∥PA. 因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以直线PA∥平面BDE.
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD， 所以OE⊥PD. 因为OP＝OC，E为PC的中点， 所以OE⊥PC. 又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P， 所以OE⊥平面PCD. 因为OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PCD.
【对点练习】❶ꢀ在平行六面体ABCD－A B1 C1 D1 中1 ，AA ＝1 AB， AB1⊥B1C1．
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. [证明]ꢀ(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A B1 1． 因为AB⊄平面A1B1C， A1B1⊂平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.