专题07 利用导数研究函数的单调性-2021年高考数学二轮提升专题攻略(文理通用)(原卷版)

专题07利用导数研究函数的单调性
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数2()ln f x x x =的单调递减区间为（ ）
A ．
B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭
C ．)+∞
D ．⎛ ⎝⎭
【解析】由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
21
()2ln 2ln (2ln 1)f x x x x x x x x x x
=⋅+⋅
=+=+'．
令()0f x '<，得2ln 10x ，解得0x <<
，
故函数2
()ln f x x x =的单调递减区间为⎛ ⎝⎭
．故选：D
2．已知3()f x x ax =-在(,1]-∞-上递增，则实数a 的范围是（ ）． A ．3a >
B ．3a ≥
C ．3a <
D ．3a ≤
【解析】由已知可得2
'()3f x x a =-在(,1]-∞-上满足()'0f x ≥，即23a x ≤在(,1]-∞-上恒成立，由
于23x 在(,1]-∞-上的最小值为1x =-时取得，最小值为3，3a ∴≤，故选：D. 3．已知实数x 、y 满足2222x y x y +<+，则（ ） A ．x y >
B ．x y =
C ．x y <
D ．x 、y 大小不确定
【解析】设()22t
f t t =+，所以()22ln 20t
f t '=+>，
所以函数()f t 在R 上单调递增，由题得()()f x f y <，所以x y <.故选：C
4．若函数()2
2ln f x x x a x =++在()0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4a ≤
B ．4a ≥
C ．4a ≤-
D ．4a ≥-
【解析】由题意可得：()220a
f x x x
'=++
≤在()0,1上恒成立， 整理可得：222a x x ≤--，函数2
22y x x =--在()0,1上递减， 所以(4,0)y ∈-，所以4a ≤-，故选：C.
5．已知函数2()ln f x x x ax =++的单调递减区间为1(,1)2
，则a 的值为（ ） A ．(,3)-∞-
B ．3-
C ．3
D ．(,3)-∞
【解析】由题得1()20f x x a x '=
++<的解集为1
(,1)2
， 所以不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，所以11,322
a
a +=-∴=-，故选：B
6．已知函数()2
ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()2,18
B ．[]2,18
C ．(][),218,-∞+∞
D ．[)2,18
【解析】∵()'2a f x x x
=-，()2
ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数， 故20a
x x
-
=在()1,3存在变号零点，即22a x =在()1,3存在零点，∴218a <<.故选：A. 7．函数的定义域为R ，()21f =-，对任意x ∈R ，()1f x '<-，则()1f x x >-的解集为( ) A ．(),2-∞
B ．()2,+∞
C ．()1,1-
D ．()1,+∞
【解析】令()()g x f x x =+， 因为对任意x ∈R ，()1f x '<-， 所以()()10g x f x ''=+<，即()g x 在R 上单调递减， 又因为()21f =-，所以()()2221g f =+=，
由()1f x x >-，可得()1f x x +>，即()()2g x g >，
所以2x <，即不等式()1f x x >-的解集为(),2x ∈-∞． 故选：A ． 8．函数的定义域为R ，
，对任意
，，则的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】设，
所以
为减函数，又，所以根据单调性
的解集是
9．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A ．(2)
(1)2
f f >
B ．
(1)
(2)2
f f > C ．(2)
(1)2
f f <
D ．
(1)
(2)2
f f <
【解析】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数， 所以()()21F F >即()()221f f >，故选：D.
10．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()1,(0)2021f x f x f '-<=，则不等式
()20201x f x e >⋅+(e 为自然对数的底数)解集为（ ）
A ．()(),00,-∞⋃+∞
B ．()2020,+∞
C ．()0,∞+
D ．()(),02020,-∞⋃+∞
【解析】令()()1
x
f x
g x e -=
，因为()()1f x f x '-<， 所以()()()1
0x
f x f x
g x e '-+'=
>，所以()g x 在R 上递增，又(0)2021f =， 所以()()0012020g f =-=，不等式()20201x
f x e >⋅+，转化为
()12020x
f x e ->， 即()()0
g x g >，所以0x >，故选：C 11．设函数()ln 2e f x x mx n x =--+.若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则n
m 的最大值为（ ） A ．
4
e B ．
2
e C ．e D ．2e
【解析】由不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，
即为ln 20e x mx n x -
-+≤，即ln 22e n x m x x m ⎛
⎫-≤- ⎪⎝
⎭对()0,x ∈+∞恒成立，
设()ln e g x x x =-
，由()210e
g x x x
'=+>， 可得()g x 在()0,∞+上递增，且()0g e =，
当0x →时，()g x →-∞；x →+∞，()g x →+∞， 作出()y g x =的图象，再设()2,02n h x m x x m ⎛
⎫
=-
> ⎪⎝⎭
， 可得()h x 表示过,02n m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，斜率为2m 的一条射线（不含端点），
要求
n m 的最大值，且满足不等式恒成立，可得2n m
的最大值， 由于点,02n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴上移动，只需找到合适的0m >，且()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，如图所
示：
此时
2n e m =，即n
m
的最大值为2e .故选：D 12．已知函数()f x 在定义域上是单调函数，且()20202021x
f f x ⎡⎤-=⎣⎦，当
()
sin g x x x kx =-在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上与()f x 在R 上的单调相同时，实数k 的取值范围是（ ）
A ．(],1-∞-
B ．(
-
C ．(
,-∞
D ．
⎤+∞⎦
【解析】
函数()f x 在定义域上是单调函数，且()20202021x
f f x ⎡⎤-=⎣⎦，
()2020x f x ∴-为定值，设()2020x f x t -=，则()2021f t =，且()2020t f t t -=，
20212020t t ∴-=，解之得1t =，()20201x
f x ∴=+，()f x 在R 上的单调递增，
()
sin 2sin 3g x x x kx x kx π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()2cos 3g x x k π⎛
⎫∴=-- ⎪⎝
⎭'，
()
sin g x x x kx =-在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上与()f x 在R 上的单调性相同，
()2cos 03g x x k π⎛
⎫∴=--≥ ⎪⎝⎭'在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上恒成立，
2cos 3x k π⎛
⎫∴-≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上恒成立，5636x πππ∴-≤-≤，
cos 13x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭
，2cos 23x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭
，k ∴≤故选：C
二．填空题
13．若函数()3
2
f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．
【解析】由题意2
()32f x x bx c '=++，所以2320x bx c ++=的两根为1-和3，
所以2133133
b
c ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，所以3,9b c =-=-，12b c +=-．
14．已知函数2
1()43ln 2
f x x x x =-+-在[](),11t t t +>上不单调，则t 的取值范围是________. 【解析】
函数21()432f x x x lnx =-+-，3
()4f x x x
∴'=-+-，
函数()f x 在[t ，1]t +上不单调，()0f x ∴'=在[t ，1]t +上有解
∴243
0x x x
-+=在[t ，1]t +上有解，2()430g x x x ∴=-+=在[t ，1]t +上有解，
()(1)0g t g t ∴+或21t t <<+且()0g t 且(1)0g t +且△40=>，
01t ∴<<或23t <<，而1t >，故答案为：(2,3)．
15．()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()f x '是导函数，且满足()2()0xf x f x '->，若()f x 是偶函数，()11f =，则不等式()2
f x x >的解集为__________.
【解析】构造函数()()
2f x g x x
=
，该函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 由于函数()f x 为偶函数，则()()
()
()
()2
2
f x f x
g x x
x g x --=
=-=
，所以，函数()g x 为偶函数.()()()()()243
22x f x xf x x f x f x g x x x
''⋅-⋅-'==， 当0x >时，()2()0xf x f x '->，则()0g x '>，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，
()11f =，
可得()()21111f g =
=，由()2
f x x >可得()2
1f x x
>，即()()1g x g >， 所以，()
()1g x g >，1x ∴>，解得1x <-或1x >. 因此，不等式()2
f x x >的解集为()
(),11,-∞-+∞.
16．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x ∈R ，恒有()()f x f x '>，()1a ef =-，()0b f =，
()
1f c e
=
，则a ，b ，c 的大小关系是_________. 【解析】因为2()'()()'()()
'0x x
x x x
e e
f x f x e e e f x f x f x --⎡⎤==>⎢⎥⎣⎦
， 所以()
()x f x g x e =
为增函数.所以()()()101g g g -<<，即()()()110f ef f e
-<<， 即a b c <<.
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈．
（1）函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =-时，证明：当()1
x ∈+∞，时，()20f x +>． 【解析】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x
-=
>，
当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，
时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，
； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；
当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间．
（2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-，
所以1
2f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增，
所以当()1
x ∈+∞，时，()()1f x f >．即()2f x >-，所以()20f x +>． 18．已知函数()2ln a
f x x x
=+
. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：当12a ≥
时，()12
x
f x e ->+.参考数据： 2.7183e ≈. 【解析】（1）由题意得()22
122(0)a x a
f x x x x x -'=-=
> ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，故函数在(0,)+∞单调递增 ②当0a >时，由()0f x '>得2x a >，由()0f x '<得02x a <<， 所以函数在区间(2,)a +∞上单调递增，在区间(0,2)a 上单调递减. 综上：当0a ≤时，函数在区间(0,)+∞上单调递增；
当0a >时，函数在区间(2,)a +∞上单调递增，在区间(0,2)a 上单调递减.
（2）当12a ≥
时，()12x f x e ->+，等价于ln 22
x
x x x a xe -+->， 令()ln 22x g x x x a =+-则1
()ln 2
g x x '=+，
由()0g x '>得12x e ->，由()0g x '<得1
20x e -<<，
所以函数()g x 在区间12(,)e -+∞上单调递增，在区间1
2(0,)e -上单调递减 所以112
2
min
()
()2g x g e a e
-
-
==-，因为1
2
a ≥
，所以12()1g x e -≥-， 令()x
x xe ϕ-=则()(1)e x
x x ϕ-'=-，由()0x ϕ'
>得01x <<，由()0x ϕ'
<得，1x >，
所以函数()ϕx 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， 所以max 1()(1)x e ϕϕ==，要证()12
x
f x e ->+即证min max ()()
g x x ϕ>，
即证12
1
1e
e
-->
，两边同乘以e 则11e e ->⇔->，
而 2.7183e ≈故上式成立，原不等式得证.
所以当12a ≥
时，()12
x
f x e ->+成立. 19．已知()()2122
x
f x ax ax x e =-++-.
（1）当1a =-时，求()f x 的单调区间 （2）若f (x )存在3个零点，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =-时，()()2
122
x f x x x x e =
-+-， ()()()()1111x x f x x x e x e '=-+-=-+，
由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得1x <，
所以()f x 在(),1-∞单调递减，在()1
+∞，上单调递增， （2）由函数211
()(2)(2)22
()x x f x ax ax x e x ax e =-
++-=--+， 可得()f x 有一个零点2x =，要使得()f x 有3个零点，即方程10(2)2
x
ax e x -+=≠有2个实数根，
又由方程10(2)2x
ax e x -+=≠，可化为2(2,0)x e a x x =≠，
令2()(2,0)x
e h x x x =≠，即函数y a =与()y h x =图象 有两个交点，
令22
222(1)
()0x x x xe e e x h x x x
--'===，得1x =， ()h x 的单调性如表：
所以函数()f x 在1x =处取得极小值2e ，
当0x <时，()0h x <，又2
(2)h e =，()h x 的大致图象如图，
由函数y a =与()()2y h x x =≠图象有两个交点，根据图象可得2
2(2,)
(,)a e e e ∈+∞
所以要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为2
2(2,)
(,)e e e +∞
20．已知函数()2
ln f x x a x =+.
（1）当2a =-时，求函数()f x 在点()()
11f ，处的切线方程； （2）若()()2
g x f x x
=+
在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当2a =-时，()2
2f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，
2222()2x f x x x x -'=-=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线的斜率为2212
(1)01
f ⨯-'==，又
(1)1201f =-⨯=，
所以函数()f x 在点()()
11f ，处的切线方程为1y = （2）因为()()2g x f x x =+
22
ln x a x x
=++在[1,+)∞上是单调增函数， 所以322
222
()2a x ax g x x x x x
+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即22
2a x x ≥
-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，2
22y x x
=-取得最大值0，所以0a ≥.
21．已知函数()()32
122,3
f x x ax x R =-+∈.
（1）讨论函数()f x 的单调性.
（2）若0a >，当[]
0,1x ∈时，求()f x 的最小值. 【解析】（1）因为()()3
2122,3
f x x ax x R =
-+∈，所以()'24f x x ax =-.
令()()'
40f
x x x a =-=，解得0x =或4a .
①当0a =时，()'
20f
x x =≥恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增；
②当0a >时，令()'
0f
x >得4x a >或0x <，令()'f x 得04x a <<，
即函数()f x 在(),0-∞，()4,a +∞上单调递增，在()0,4a 上单调递减； ③当0a <时，令()'
0f
x >得0x >或4x a <，令()'0f x <得40a x <<，
即函数()f x 在(),4a -∞，()0,∞+上单调递增，在()4,0a 上单调递减； （2）由（1）知0a >时，()f x 在()0,4a 上单调递减，在()4,a +∞上单调递增；
①当41a ≥，即14
a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减，min 172()(1)2233a f x f a -==-+=，
②当041a <<，即1
04
a <<时，()f x 在在[0,4)a 上单调递减，在上单调(4,1]a 递增，
所以min
()(4)f x f a ==332
1632(4)2(4)233
a a a a -⋅-⋅+=.
22．已知函数()ln f x x x =，22()(2)x g x x x e x ax =---. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意(0,1)x ∈，()()0f x g x +<，求整数a 的最小值.
【解析】（1）函数()ln f x x x =，定义域为(0,)+∞，可得()ln 1f x x '=+， 令()ln 10f x x '=+=解得1
=
x e
， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，当1,x e
⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，
故()f x 的减区间为10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()f x 的增区间为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭. （2）由(0,1)x ∈，()()02)l (n x
a x x x f x g x e <⇒>-+-+ ，
设()()2ln x
h x x e x x =-+-，(0,1)x ∈，则()()l 1x
x x h x e --
'=⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 当01x <<时，10x -<，
设()1x u x e x =-，则()210x u x e x =+>'，所以()u x 在(0,1)上单调递增.
又1202u ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，()110u e =->， ∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00u x =，即00
1x e x =，00ln x x =-. 当()00,x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0u x >，()0h x '<， ∴函数()h x 在0(0,)x 内单调递增，在0(),1x 内单调递减， ∴()()()()00000000max 00122ln 2212x h x h x x e x x x x x x x ⎛⎫==-+-=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭
， 函数00212y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增， ∴()()04,3h x ∈--，()a h x >对任意的(]0,1x ∈恒成立，又a Z ∈， ∴a 的最小值是3-.。