高考数学试题命制的案例研究

2020年第11期中学数学月刊・63・高考数学试题命制的案例研究
秦小龙(江苏省苏州市吴中区苏苑高级中学215128)
咼考作为我国选拔人才的考试制度，一直是咼中教学焦点.江苏高考2008年实施新方案以后，由于数学在高考总分中所重,所谓“得数学者得天下”的说法.
高中数学的教育教学中，试题命制是重要的一个方面.每个学校要命制期中、期末试卷，各地要命 制高考模拟卷,所有这些,都需要数学试题基命制方法•本文通江苏高考数学试题，总结出高考数学试题命制基法,供读者参考.
1法
所谓原型法，就是以实际生活为背景,将实际问题经、综合、概括、抽象之后，进行数学理，编成数学试题•例如,2014年江苏高考数学试卷的第18题：
1为了
河上古桥OA,规划建
一座新桥BC,同时设
形丁区.
规划要求:新桥BC与
河岸AB垂直;保护区
的边界为圆心M在
OA BC
相切的圆；且古桥两
1
端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方
4
向170m处(OC为河岸)，an
*B C O=(•
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
本题以苏古为背景，经过数学化处理编制数学应用题.题目新颖,基本反映实际情况.觅渡古在河面最窄的地方建，所以实际的河平,形的河岸.题河岸构成的图形就差不多是一个喇叭口.新桥建造以后，以新为界,把地块两域，其中含古桥部分的区域景点区，所以这一侧范围好，当最和新
题第(2)面积最(
设计问题,有实际.新侧实际
地方，在题目中没有反映.另外，古桥要于中央部分才能得，怎样才证古在中部？为心最中(所以心形中部(题要形保护区的圆心在古桥上，实际就保证了古桥位于圆心附即保证古桥在中央部分,这实际相符•要求古桥两端离保护区边界最短的地方不小于80m,也是起古桥和外界的隔离作用,从而得，所以题目基反映实际情况
考虑到数学应用题解答的方便，故对实际问题进行了“修剪”处理.如新桥BC和河岸AB垂直，这数学理，因为实际景中肯定是不垂直的•再保形的,实际背景中规则的，形
再2012年江苏高考第12题：
在平面直角坐O中，圆C的方程为"2'y2—8"'15=0,若直线y=k"一2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值______•
题是以台球为背景的题•定圆C相当于目标球，譬如红球.注意到直线y=k"—2过定点(0,—2),相当于在定点(0,—2))母球(白球)，斜率k相当于击打母球后母球沿运.母球是动圆，圆心在直线所谓动定圆C有共公点，就是母球沿运球C.问题：如果动定共公点，则k 最大值有多大？这当于问，要母球球，击打母球制.本题原优秀试题.
2改编法
所谓编法(原题得新题
的方法.由于高考试题要求试题具有公平性，所以用改编法高考试题命制(编原题应该题高考
题•一般把教辅题编变成高考题.
2013年第17题好编题题下：
如图2,在平面直角坐标系
"O y中，点A(0,3),直线l：y=
2"—4设C半径为1(心在
上.
(1)若圆心C也在直线y=
"一1上，过点A作圆C
；
(2)若圆C上存在点M,使
MA=2MO,求圆心C的横坐标a
值范围
第(1)问比较简单，我们这里讨论第(2)问.本题中的圆C是半径为1、圆心在定直线？上的动圆.第(2)问说点M既在动圆C上，又满足MA= 2MO.由于A和O
是定
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点，满足MA$2M0的点M在一个定圆上(阿氏圆)，也说，点M既在动圆C上，又在定圆上，也就是动和定共公点题，或者说母球C碰到了球(定圆)•本题实际上是2012年第12题的改编题,改编的法是把2012年12题中知定在MA$ 2M0中,这样就得到了2013年的第17题第(2)题.
当然(所高考改编题高超的改编技巧(，可以称之为高，譬如下面两个高考题就高：
2012年江苏高考第10题:设/(")是定义在R上且周期为2的函数，在区间［—1,1］上,/(")$ I a"+1,—14"<0,
*(3)，则a+35的值为_______.
2016年江苏省高考第11题:设*(")是定义在R上且周期为2的函数，在区间［—1,1)上,*(")$ "+a,—14"<0, 22—"|,04"<1其中a e R若*(—2)$ *(2)，则*(5a)的值是_______.
再譬如,2006年江苏高考的第1$题(帐蓬问题)和2016年江苏高考的第17题(仓库问题)的第(2)问高度:
2006年江苏高考第1$题:请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1<六棱柱，上部的形侧棱长为3<六棱锥(图3).试问当帐篷的顶点0到底面中心01的距离为多少时，帐篷的体积最大？
P
图3图4
2016年江苏高考第17题:现需要设计一个仓库，它由上下两部，上部形四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(图4),并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高P01的四倍.
(1)若AB$6m,P01$2m,则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P01为多少时,
库积最？
总之,改编题是高考试卷命制的来源之一，甚至是可称得要
3法
所谓推广法，就是把原先题目的方法或结论推广到一般情形后得到新题法.推广法要吃透原来题解法，理解原题特征.
2011年江苏咼考压轴题的第(2)问是很难的一个题目，经过对该题仔,推广，得到了2017年江苏高考数学卷第19题的第(2)问.我们先看一下2011年江苏高考压轴题
题目：设M为部整数组成的集合，数列6：｝的首项a1$1,前：项和为S：，已知对任意整数b.M，当：> b时，S：+怡+S：—；$2；：+E)都成立.
(1)设M$｛1｝,a2$2,求a5的值；
(2)设M$｛3,4｝,求数列6：｝的通项公式.
我们来研究第(2)问.解答的第把条件中的和的等式转化为通，也即：
由题意可知当b.M$｛3,4｝,且：>b时；：+b+；：—$2(S：+Sb)①；：+1++S：+1—b$2(S：+1+Sb)®.②—①，得a：+++a：+—$2a：+1③.
这结果表明，原数隔b数列.这里的b可以取3和4.”说数列6：｝每隔3等差数列，而且每隔4数
第证明数列6：｝每隔3项成等差数列且每隔4数以推出每隔2数列,再隔3数列且每隔2数列推出数列6：7数列.
在把③推广，把左边的以a：+1为对称中心的一对数的和推广到以a：为对称中心的b对数的和，原称数的和是中间2倍，那么b称数的和中间2b倍,结样这样得了2017年第19题第(2)题:
于给定整数b,若数列6：｝满足：a：—+ a：—+1+a：—1+a：+1+a:+b—1+a：+b$2ba：对任整数：(：>b)总成立，则称数列6：｝是P(b)数列”.
(1)证明:等差数列6：｝是P⑶数列”；
(2)若数列6：｝$⑵数列”，又是$⑶数列”，证明：6：｝数列.
4结语
由于数学考试是数学教育评价和选拔人才的主要的方法，所以会命题、命好题是教育工作者回避的问题.试题命制艰苦的工作，要完成好这个工作，除了本身的积累、经验、学识和智慧，还需要学习其他人，特高考命题专命题方法
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