勾股定理预习讲义

第三讲勾股定理与逆定理
板块一：勾股定
理
知识点睛
学习笔记
典型例题
利用勾股定理求边长
【例1】 （T2）
（1）如图，直角三角形ABC 的周长为24，且 ，则AC =( )A .6B .8 C .10
D .12
53AB BC =
::（T3）（2）已知直角三角形的一直角边等于7cm ，另外两条边 的和为49cm ，求斜边长．
学习笔记
（T3）（3）如图，在 中， ，D 为BC 上的一
则AC 的长为( )A
B .
C .3
D .
Rt ABC △90C ∠=°2AD BD ==AB =2
【例2】 （T3）
如图，C 在线段AB 上， ，分别以
AC 、
BC 为边 在线段AB 的同侧作两个正三角形 与 ，
若 ，则DE 的长度是( )A . B .9 C D 3AB AC =ACD △BCE △6AC =
【变式】 （T3）
在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC =5，AD =6，BD =10，CD =5那么三角形ABC 的面积是( )A .30B .36C .72
D .125
学习笔记
含特殊角的直角三角形
【例3】 （T3）如图，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分线， 点 A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B， ．则直线AB与ON之间的距离是( )
A
B.2
C
D
.4
4
AB=
【例4】（T3）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将将一副直角三角板如图位置摆放，A，B，D在同一直线上，
， ， ，量得
，试求BD的长．
EF AD
∥90
A EDF
∠
=∠=°4560
C E
∠=°∠=°
，
8
DE=
学习笔记
【变式】（T3）四边形ABCD 中，对角线AC 、
BD 相交于点E ， ， ， ，
求AE 的长．
90DAB CDB ∠=∠=°45ABD ∠=°30DCA ∠=°AB = A B
C
D
E
学习笔记
（T3）（2）勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书 《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积 关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长 方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为( )A .50
B .52
C .54
D.56
9023BAC AB AC ∠=°==，
勾股定理与面积问题
【例5】（T3）
（1）（2017湖北襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系 证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽 弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个 大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，
若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为
( )
A .3
B .4
C .5
D .62
()21a b
+=
学习笔记
【变式】（T3）（2）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都
是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D
的面积之和为 ．
【变式】（T3）如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角
三角形，按此方式继续画下去：根据图中所标数据．（1）填空：
a 4=，
a n = ；
（2）记 的面积为S 1， 的面积为S 2，… 的面积为S n ．求出S 1和S n
．
1OAA △12
OA A △1n n OA A −△
学习笔记（T4）（3）拓展：如图3所示，MN 表示一条铁路，A 、B 是两个 城市，它们到铁路所在直线MN 的垂直距离分别为 千米， 千米，且 千米，现要在CD 之间设一 个中转站O ，求出O 应建在离C 点多少千米处，才能使它到A 、B 两个城市的距离相等．
（T4）（2）应用：如图2，已知在 中， ，
，分别以AC 、
BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则 的值等于 ．(请直接写出结果)
【例6】（T4）（1）探索：请你利用图1验证勾股定理．
Rt ABC △ 90ACB A ∠=°，06AB °=，12+S S 40AC =60BD =80CD
=
学习笔记
勾股定理与几何证明
【例7】
（T3）在 中，AD 、BC 为 边上的高，点E 是AD 上任意 一点．求证： ．ABC △2222
AB AC EB EC −=− A
B
C
D
E
【例8】（T3）如图，在 中， ，
点P 是边BC 上任意一点， 求证： ．
ABC △AB AC =2
2
AB AP BP CP −
=⋅【变式】 （T3）证明：在四边形ABCD 中，如果对角线AC 与BD 垂直，
则 ；2222
AB CD BC DA +=+
学习笔记
拓展练习
1.如图，在 中， ， ，且 ， ，则 的面积为．Rt ABC △ 90 45BAC AC AB DAE ∠=°=∠=°，3BD =4CE =ADE
△2.如图，在△ABC 中， ， ，D 为斜边上任一点．
求证： ．90A ∠=°AB AC =222
2BD CD AD += A
B D
C
板块二：勾股定理的逆定
理
知识点睛
1.勾股定理的逆定理：
如果三角形三边a ，b ，c 满足 ，
那么这个三角形是直角三角形．2.常见判断直角方法：（1）三角形中有两个角互余（2）等腰三角形三线合一
（3）三角形一条边上的中线等于这条边长的一半（4）利用勾股定理逆定理
a
c
b
222a b c ＋＝
学习笔记
典型例题
判断直角三角形
（T3）
（2）若 的边长a ，b ，c 满足 ，那么 是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形
D .锐角三角形
ABC △222506810a b c a b c +++=++ABC △【例9】（T2）（1）下下列由三条线段a 、
b 、
c 构成的三角形： ① ， ； ② ， ； ③ ；
其中能构成直角三角形的有( )A .1个 B .2个C .3个
D .4个
2a mn =2222,(0)
b m n
c m n m n =−=+>>21a n =+22221,22(0)b n n c n n n =++=+>()3450a k b k c k k ==，，＞ 2=【变式】（T3）如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两
个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是( )A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .锐角三角形或钝角三角形
学习笔记
【变式】（T3）如图，AD 是 的高，且 ．求证：
为直角三角形．ABC △2
AD BD DC =⋅ABC
△ C
D A
B 综合应用
【例10】
（T4）如图，在正方形ABCD 内有一点P ，PA =10，PB =8，PC =6，
（1）求∠BPC
的度数. （2）求正方形ABCD 的面积.
学习笔记
【例11】（T4）如图①，在正方形ABCB 中， 的顶点
E 、
F 分别在 边BC 、CD 上，高A
G 与正方形的边长相等．
（1）求 的度数；
（2）在图①中，连接BD 分别交AE 、AF 于点M 、N ，将△ADN
绕点A 顺时针旋转90°至 位置，得到图②． 求证： ；
（3）在图②中，
求AG ，MN 的长．
AEF △ EAF ∠ABH
△2
22MN MB ND =+46BE DF ==，BM =
学习笔记拓展练习
4.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC上的中线AD=6，BC的长是
( )
A.13
B.12
C
D.6
3.如图，点D是等边△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转
60°得到△CBE．若 ， ， ．
（1）判断△DEC的形状，并说明理由；
（2）求∠ADB的度数．
4
AD =3
BD =5
CD =
C
D
A
B
E
典型例题
压轴突破
【*1】 在 中，
BC =a ，CA =b ，AB =c ；（1）若 为直角，则 ；（2）若 为锐角，则 与 的关系为： ；（3）若 为钝角，试推导 与 的关系．探究问题：在 中，BC =a=3，CA =b=4，AB =c ，若 是钝角三角形， 求第三边c
的取值范围．
ABC △ C ∠ C ∠222
a b c +=22a b +222a b c +>2c C
∠22a b +2c ABC △ABC △
【*2】 如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，
使点C 落在点A 处，点D 落 在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ． （1）求证： ； （2）若 的面积与 的面积比为 ，求 的值．
CM CN
=CMN △CDN △31:MN
DN
3、 如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB =13，
AD =12，AC =15，BD =5，则BC
的长为 ．
1、 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正
方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNK T 的面积分别为S 1、S 2、S 3 ．若 ，则S 2的值是( )A .3
B .
C .5
D .
123++=15S S S 15
4152
2、 如图，已知 中， ，
三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2，之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )A
B
C .
D .7
ABC
△ 90ABC
AB BC ∠=°=，
第四讲勾股定理的综合应用
学习笔记
板块一：翻折问题与勾股定
理
知识点睛
翻折问题：
（1）折叠前后图形对应边角相等
（2）直接利用勾股定理求解，
或设未知数利用勾股定理列方程求解
典型例题
【例1】（T2）（2017山东枣庄）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中
点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，
使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ，若AB 的长为2，
则FM 的长为( )
A ．2
B
C
D ．
1
学习笔记【例2】（T2）如图，长方形ABCD 中，已知 cm ， cm ，
将AD 沿直线AF 折叠，使点D 落在BC 上的点E 处．求CF
的长．
8AB =10BC = A C D B F E 【例3】（T4）如图，在矩形纸片ABCD
沿
EF 折叠后，点C 在AB 边上的点P 处，点
D 落在Q 点处，
AD 与PQ 相交于点H ， . （1）求QF 的长．
（2）求四边形PEFH 的面积
AB = 6BC =30BPE ∠=°
学习笔记
【变式】（T3）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，
已知AB =3，AD =9，则折痕EF 的长为( )．
A .3B
C .5
D .
4拓展练习
1.如图，在 中，∠C =90°，∠A =30° ，BC =1，点D 在AC 上， 将 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ， 那么线段DE 的长为( )
A .1
B
C
D
Rt ABC
△ADB
△1−1
−
学习笔记板块二：实际问题与勾股定
理知识点睛
1．实际应用题
将实际问题转化为数学问题，在已有或构造的直角三角形中利用勾股定理进行 求解.
2．立体图形表面爬行的最短路径问题
（1）展开为平面
（2）利用两点之间线段最短的原理找出最短路径
（3）利用勾股定理进行计算
【例4】（T2）（1）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据： 米， 米， ，
，则警示牌的高CD为米
(结果精确到0.1米，
典型例题
实际应用题
4
AM=8
AB=45
MAD
∠=°
30
MBC
∠=°
1.41
= 1.73
=
学习笔记
（T2）（2）野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°
方向前进了3千米，第二小组向南偏东30°方向前进了3千米，
经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和
距离分别为( )
A .南偏西15°
B .北偏东15°
C .南偏西15°，3
千米 D .南偏西45°【例5】（T3）
在公路AB 旁有一座山，现山脚的C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离是700米，与公路上另一停靠
站
B 的距离为2400米，且CA 垂直于CB ，为了安全起见，爆
破点C 周围半径680米范围内不得进入．请问在爆破时，公路
A B 段是否因有危险而需要暂时封锁？
学习笔记【例6】 （T4）如图所示，一根长2.5米的木棍(AB)，斜靠在与地面
(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的
中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向
外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，
并简述理由．
△
AOB
（3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时， 的面
积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
学习笔记
立体图形表面爬行的最短路径问题【例7】（T3）如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为60cm ，高为
25cm ，从点A 出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B
，则该饰线最短长为 cm．
【变式】 （T3）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体
上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体 后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶 点A 处，沿着几何体的表面到几何体上和A 相对的顶点B
处 吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 分米．
【例8】 （T4）如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B
到点C 的距离5cm ，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从A 点 爬到
B 点，需要爬行的最短距离是 ．
学习笔记【例9】 （T4）如图：（1）你能得到关于a ，b ，c 的一个等式吗？写出你
的过程．（2）请用一句话描述你的发现：在直角三角形中， ．
（3）请应用你学到的新知识解决下面这个问题：将一根长为
30cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高12cm 的圆柱形的
空水杯中，则露出杯子外面的长度最短是cm，最长
是cm．如果把圆柱体换成一个长，宽，高分别为6，
8，24的无盖长方体盒子．那么这根筷子露出盒子外面的长
度最短是 cm．
【变式】（T5）如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内
壁离杯底4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯 外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A
处到达内壁B 处的最短距离为( )(容器厚度忽略不计)．A .13cm B
C
cm D .20cm
学习笔记
拓展练习
2.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边BC、AC分别为6m，8m，
现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边
的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的面积．(图2，图3备用)
3.如图，正方形的棱长为3厘米，把所有的面分成3×3个小正方形，起
边长都为1厘米，若一只蚂每秒爬行2.5厘米，则它下底面A点沿表
面爬行至右侧面B点，最少要花 秒．
学习笔记4.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10
(单位：cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小
孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，
设插入吸管后露在盒外面的管长为h cm，则h的最小值大约为
cm．
≈≈≈
(精确到个位， 2.2
板块三： 勾股定理与代数
综合
知识点睛
学习笔记典型例题
【例10】（T4）（1）在平面直角坐标系中有两点： ， ， ，C是
坐标轴x轴上一点，若 是直角三角形，求满足条件的点
C坐标.
（T4）（2）在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，-3），l是过点
C（-1，0）且平行于y轴的直线，则
①直线l上是否存在一点Q，使△QAB的周长最短，并求出最
短周长？
②直线l上是否存在一点P，使|PA-PB|得值最大，并求出最大
值？
()()
1451
A B
，
ABC
△
学习笔记【例11】（T5）问题解决：
已知：如图，D 为AB 上一动点，分别过点A 、
B 作 于点A ， 于点B ，联结CD 、DE ．（1）请问：点D 满足什么条件时，
CD+DE 的值最小？（2）若AB =8，AC =4，BE =2，设AD =x ，用含x 的代数式
表示CD+DE 的长.
拓展应用：
参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式
CA AB ⊥EB AB
⊥
+
【变式】（T4）+
典型例题
压轴突破
【*1】 如果（1）
所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出的最长线段的长度？这样的线段可以画几条？
（2）求 的度数？说明理由．
（3）在图1中若蚂蚁从点A' 沿着正方体的表面爬行到点C ，试求爬行的最短
路程．
B A
C ∠′′
′【*2】 设a ，
b ，
c ，
d 都是正数．求证：
>
1、 （2017辽宁）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'
处，点B落在点B'处，其中AB=9，BC=6 ，则FC'的长为( )
10
A.B.4
3
C.4.5
D.5
2、 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C 的距离是5，一只蚂蚁如果
要 沿着长方体的表面从点A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多少？。