初三数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题附答案

初三数学一元二次方程组的专项培优易错难题练习题附答案
一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴
cm ；
∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是
；
（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．
（16-2x-3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x 1=85
，x 2=245； ∴经过8
5s 或
245sP 、Q 两点之间的距离是10cm ； （3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2．
①当0≤y≤
163时，则PB=16-3y ， ∴12PB•BC=12，即12
×（16-3y ）×6=12， 解得y=4；
②当163
＜x≤223时， BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则
12BP•CQ=12
（3y-16）×2y=12， 解得y 1=6，y 2=-
23（舍去）； ③223
＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则
12QP•CB=12
（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．
考点：一元二次方程的应用．
2．已知关于x 的一元二次方程()2
20x m x m -++=（m 为常数） （1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析；
(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0.
【解析】
【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等
实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21
m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可.
【详解】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4，
∵无论m 为何值时m 2≥0，
∴m 2+4≥4＞0，
即△＞0，
所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t ， ()220x m x m -++=
根据题意得2+t=
21
m + ,2t=m ， 解得t=0，
所以m=0，
即m 的值为0，方程的另一个根为0.
【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.
3．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析
【解析】
【分析】
根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.
【详解】
解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =，
∴8AB =．
∴BQ x =，82PB x =-；
假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622
x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，
∵1632160=-=-<V ，
∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.
4．关于x 的方程()2204
k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；
()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【解析】
【分析】
()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0V >，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.
()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.
【详解】
解：()1依题意得2(2)404
k k k =+-⋅>V ， 1k ∴>-，
又0k Q ≠，
k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；
()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程()2204
k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
212
k k +∴-=， 43
k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠，
43
k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

5．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得x 1·
x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当k≤
14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.
试题解析：
（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14
k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-
+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+
代入得：22364410k k k k +---≥，
化简得：()210k -≤，
得1k =.
由于k 的取值范围为14
k ≤，
故不存在k 使2212120x x x x --≥．
6．关于x 的一元二次方程()22
210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.
【答案】(1) k ＜
14;(2) k=0. 【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．
【详解】
解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2，
∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，
解得：k ＜14
， 即实数k 的取值范围是k ＜
14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，
∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，
∴1-2k+k 2-1=0，
∴k 2-2k=0
∴k=0或2，
∵由（1）知当k=2方程没有实数根，
∴k=2不合题意，舍去，
∴k=0．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．
7．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？
（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?
【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元
【解析】
【分析】
（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,
（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.
【详解】
解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,
设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),
(2)依题意得：
（x-40）(-10x+780)=3570,
解得：x=57,
∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.
（3）设每星期的利润为w ，
W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,
∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,
当x=59时, 利润最大，为3610元.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.
8．已知关于x 的一元二次方程有两个实数x 2+2x+a ﹣2=0，有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数a 的取值范围；
（2）若x 12x 22+4x 1+4x 2=1，求a 的值．
【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a 的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a 的值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a ﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=a ﹣2，
∵x 12x 22+4x 1+4x 2=1，
∴（a ﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．
9．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.
(1)求实数m 的取值范围;
(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.
【答案】（1）m>2; (2)17
【解析】
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．
当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
10．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．
【解析】
【详解】
分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.
详解：（1）解：由题意：0a ≠．
∵()2
2242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：
解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，
解得：121x x ==．
点睛：考查一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.
当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.
当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.
11．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同
的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
【答案】(1)2000；(2)2米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：4600022000
x
-
﹣
4600022000
1.5x
-
= 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=26
3
（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
12．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．
【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
【解析】
分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；
（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，
第2个图中3为一块，分为6块，余1；
按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．
详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1=7个，
第3个点阵中有：3×6+1=17个，
第4个点阵中有：4×9+1=37个，
第5个点阵中有：5×12+1=60个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，
故答案为：60，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1=271，
n2﹣n﹣90=0，
（n﹣10）（n+9）=0，
n1=10，n2=﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．
14．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．
(1)若该方程的一个根为1，求k的值；
(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；
（2）求出根的判别式是非负数即可.
【详解】
(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，
1﹣k﹣3+3k＝0
解得k＝1；
(2)证明：
a b k c k
==-+=
1,(3),3
24
∆=-
Q
b ac
∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.
15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息
信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；
信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．
()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？
()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a元，在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？
【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元
【解析】
【分析】
()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，
根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩
， 解得：{5
6x y ==．
答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，
根据题意得：()()250010001500a a -+=，
整理得：22310a a -+=，
解得：10.5a =，21a =．
答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。