浙江省温州市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析

浙江省温州市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】
由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】
本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个．
2．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A ．
23
B ．
163
C ．6
D ．与点O 的位置有关
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的， 正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 顶点O 在平面11ADD A 上，高为2， 所以四棱锥的体积为184233
⨯⨯=， 所以该几何体的体积为8168-
=.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
3．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）
A ．321
B ．322
C ．251
D ．252
【答案】C 【解析】 【分析】
把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值． 【详解】
如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面
EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂
平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1
为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，
22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．
4．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，
且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．3π B ．3π
C ．3π
D ．243π
【答案】D 【解析】 【分析】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =
，此外接球
【详解】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.
正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD V 中，OD R =，343
33
HD BC =
=
，133R OH OA ==， 由勾股定理：2
2
2
4333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为246π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则126
233R KO OA KA OA AH R R =-=-
=-==
， 所以三棱锥O EFG -体积为211362
434433
⨯
⨯⨯⨯=
， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 5．已知随机变量X 的分布列如下表： X
1-
0 1
P a
b c
其中a ，b ，0c >.若X 的方差1
D X ≤
0,1a b ∈-
A ．13
b ≤
B ．23
b ≤
C ．13
b ≥
D ．23
b ≥
【答案】D 【解析】 【分析】
根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为2
1()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭,从
而可以利用二次函数的性质求出其最大值为1
13
b -≤,进而得出结论. 【详解】
由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,
所以X 的方差()()()()2
2
2
11D X a c a a c b a c c =-+-+-++-
()()()22
2a c a b c a c a c =-++--++ ()2
a c a c =--++ ()2211a
b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭
,
因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12
b
a -=时,()D X 取最大值1
b -, 又()1
3D X ≤
对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得2
3
b ≥,
故选:D. 【点睛】
本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.
6．已知()()11,101,012
x f x f x x x ⎧
--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是
A ．{}()81,-⋃+∞
B ．{}()116,12,2⎛⎤
-⋃⋃+∞
⎥⎝⎦
C ．{}()18,12,2⎡⎤
-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦
D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】
解：令10x -<<，则011x <+<， 则1
(1)2
x f x ++=
， 故2
1,101
(),012
x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩„，如图示：
由()21f x ax a -=-， 得()(21)1f x a x =+-，
函数(21)1y a x =+-恒过1
(2
A -，1)-，
由1
(1,)2B ，(0,1)C ，
可得1
1
21112
AB
k +==+，2OA k =，11412AC k +==，
若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <„或24a >，即1
a 12
<„或2a >； 当2
2111
ax a x +-=
-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去）， 则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤
-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题． 7．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ． 23i -+ D ． 23i --
【答案】A 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由32i z i ⋅=+，得()()2
323223i i i z i i i +-+=
==--，
∴23z i =+．
故选A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
8．已知(2sin ,cos ),(3,2cos )2222
x x x x
a b ωωωω==r r ，函数()f x a b =r r ·
在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）
A ．85[,)52
B ．75[,)42
C ．57[,)34
D ．7(,2]4
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用向量数量积和三角恒等变换求出()2sin()16
f x x π
ω=++ ，函数在区间4[0,
]3
π
上恰有3个极值点即为三个最值点，,6
2
x k k Z π
π
ωπ+=
+∈解出，,3k x k Z ππωω
=
+∈，再建立不等式求出k 的范围，进而求得ω的范围.
解： ()23sin 2cos 3sin cos 12
x
f x x x x ωωωω=+=++ 2sin()16
x π
ω=++
令,62x k k Z π
π
ωπ+
=
+∈，解得对称轴,3k x k Z ππωω
=
+∈，(0)2f =，
又函数()f x 在区间4[0,]3π恰有3个极值点，只需 243333πππππωωωω
+≤<+ 解得
75
42
ω≤<． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成()++y A x t ωϕsin ＝或()++y A x t ωϕcos ＝ 的形式; (2)根据自变量的范围确定+x ωϕ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围. 9．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ． 10．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为
，则的
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】 抛物线
的准线为
， 双曲线
的两条渐近线为
， 可得两交
点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
11．要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =-的图像（ ）
A ．向左平移2
π
个单位 B ．向左平移712
π
个单位 C ．向右平移12
π
个单位
D ．向右平移
3
π
个单位 【答案】A 【解析】 【分析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭
以及2sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭
对比，从而可选出正确答案. 【详解】 解：
313sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13sin 2322sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
===-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.
【点睛】
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
12．已知双曲线22
221x y C a b
-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )
A B
C D ．【答案】B 【解析】
由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为1
3k '=-，即13b a =，所以e ==3
，选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的顶点到渐近线的距离为2b ，2的最小值________.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线b
y x a
=
，顶点(),0a ，再利用点到直线的距离公式可得2c a =，
222
==. 【详解】
由双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >，
可得一条渐近线b
y x a
=
，一个顶点(),0a ，
2
ab b
c
=
=
，解得2c a =，
22222
===+≥，
当且仅当3
a =
时，取等号， 2
的最小值为2.
本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
14．已知M 是抛物线22y x =上一点，N 是圆22(2)1x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线C 上任意一点，则MN 的最小值为________． 【答案】31- 【解析】 【分析】
由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值. 【详解】
假设圆心()0,2关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ，
则有00002
120
2
2y x x y -⎧=-⎪⎪
⎨+⎪-=⎪⎩，解方程组可得0020x y =⎧⎨=⎩，
所以曲线C 的方程为()2
221x y -+=，圆心为()2,0C ，
设(),(0)M x y x >，则()2
2
22MC x y =-+，
又2
2y x =，所以()()22
2222=2413MC x y x x x =-+-+=-+，
2min
3MC
∴=，即min 3MC =，所以min 31MN =-，
故答案为：31-. 【点睛】
该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.
15．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为___________．
【解析】
根据题意得到：a=0,b=1,i=2 A=1,b=2,i=4, A=3,b=5,i=6, A=8,b=13,i=8
不满足条件，故得到此时输出的b 值为13. 故答案为13.
16．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋（y －1）2＝r 2（r>0）上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：（x －2）2＋（y －1）2＝1上，则r 的取值范围是________．
【答案】1] 【解析】 【分析】
设圆C 1上存在点P （x 0，y 0），则Q （y 0，x 0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围. 【详解】
设圆C 1上存在点P （x 0，y 0）满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q （y 0，x 0），
则()()()2220022
001211
x y r y x ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 故只需圆x 2＋（y －1）2＝r 2与圆（x －1）2＋（y －2）2＝1有交点即可，所以|r －
＋1
11r ≤≤
.
故答案为：1] 【点睛】
此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．过点()1,0P -作倾斜角为α
的直线与曲线:x C y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点．
（1）写出曲线C 的一般方程； （2）求PM PN ⋅的最小值．
【答案】（1）22
132
x y +=；
（2）43． 【解析】
（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；
（2）写出直线MN 的参数方程，将参数方程代入曲线方程22
132
x y +=，并将其化为一个关于t 的一元二
次方程，根据12PM PN t t ⋅=⋅
，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出PM PN ⋅的最小值. 【详解】
（1）由曲线C 的参数方程32x cos y sin θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），
可得2222
cos sin 132x y θθ+=+=，即曲线C 的一般方程为22132
x y +=．
（2）直线MN 的参数方程为1x t cos y t sin αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩
（t 为参数），
将直线MN 的参数方程代入曲线22
132
x y +=，
得()()2
2
21cos 3sin 6t t αα-++=，整理得()
2
2
3cos 4cos 40t t αα-⋅-⋅-=，
设M ，N 对应的对数分别为1t ，2t ，则1224
3cos PM PN t t α
⋅=⋅=-，
当cos 0α=时，PM PN ⋅取得最小值为43
． 【点睛】
该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.
18．如图所示，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，2
2
AB BC AC ==
，且4AD BC +=.
（1）证明：BC ⊥平面ABD ；
（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值.
【答案】（1）见证明；（2）6
【解析】 【分析】
（1）根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面ABC ，从而得到AD BC ⊥，利用勾股定理得到AB BC ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面ABD ；
（2）设(04)AD x x =<<，利用椎体的体积公式求得()1132V f x x ==
⨯ ()()
2
32148166
x x x x -=-+ (04)x <<，利用导数研究函数的单调性，从而求得4
3
AD x ==
时，四面体ABCD 的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值. 【详解】
（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ， 平面ABD ⋂平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ， 所以AD ⊥平面ABC ，
因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥.
因为2
AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=， 所以AB BC ⊥，
因为AD AB A ⋂=，所以BC ⊥平面ABD .
（2）解：设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-， 四面体ABCD 的体积()1132V f x x ==
⨯ ()()
2
32148166
x x x x -=-+ (04)x <<. ()()
21316166f x x x =
-+'= ()()1
4346x x --， 当4
03
x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；
当4
43
x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减. 故当4
3AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值.
以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，80,,03
A ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，8,0,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，840,,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，44 ,,033E ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
设平面BCD 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则
n BC
n BD
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
u u u v
v
u u u v
v，即
8
3
84
3
3
x
y z
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，
令2
z=-，得(0,1,2)
n=-
r
，
同理可得平面BDE的一个法向量为(1,1,2)
m=-
u r
，
则
30
56
==-
⨯
.
由图可知，二面角C BD E
--为锐角，故二面角C BD E
--的余弦值为
30
6
.
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.
19．已知函数2
1
()(1)ln,
2
f x ax a x x a R
=-++∈．
（1）当0
a=时，求曲线()
f x在点(2,(2))
f的切线方程；
（2）讨论函数()
f x的单调性．
【答案】（1）222ln20
x y
++-=；（2）当0
a…时,()
f x在(0,1)上单调递增,在(1,)
+∞上单调递减；当01
a
<<时,()
f x在(0,1)和
1
,
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
上单调递增,在
1
1,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递减；当1
a=时,()
f x在(0,)
+∞上单调递增；当1
a>时,()
f x在
1
0,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
和(1,)
+∞上单调递增,在
1
,1
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
上单调递减.
【解析】
【分析】
(1)根据导数的几何意义求解即可. (2)易得函数定义域是(0,)+∞,且(1)(1)
()ax x f x x
--'=
.故分0a „,01a <<和1a =与1a >四种情况,分别
分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可. 【详解】
（1）当0a =时,1()ln ,()1f x x x f x x '=-+=-+
,则切线的斜率为11(2)122
f '=-+=-. 又(2)2ln2f =-+,则曲线()f x 在点(2,(2))f 的切线方程是1
(2ln 2)(2)2
y x --+=--, 即222ln 20x y ++-=. （2）2
1()(1)ln 2
f x ax a x x =
-++的定义域是(0,)+∞. 21(1)1(1)(1)
()(1)ax a x ax x f x ax a x x x
-++--'=-++==
. ①当0a „时,10ax -<,所以当(0,1)x ∈时,()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；
②当01a <<时,
11a >,所以当(0,1)x ∈和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当11,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增,在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；
③当1a =时,
1
1a =,所以()0f x '…在(0,)+∞上恒成立.所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④当1a >时,1
01a
<<,
所以10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(1,)+∞时,()0f x '>；1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<. 所以()f x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)+∞上单调递增,在1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. 综上所述,当0a „时,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时,()f x 在(0,1)和
1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
和
(1,)+∞上单调递增,在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值
点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.
20．已知()sin(1)ln f x a x x =-+，其中a R ∈．
（1）当0a =时，设函数2
()()g x f x x =-，求函数()g x 的极值．
（2）若函数()f x 在区间(0,1)上递增，求a 的取值范围；
（3）证明：
2
1
1
sin
ln 3ln 2(2)n
k k =<-+∑．
【答案】（1
）极大值1
2
-，无极小值；
（2）1a ≤．（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；
（2）先求导，再函数()f x 在区间(0,1)上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决；
（3）取1a =得到1
sin(1)ln
(01)x x x
-<<<，取211(2)x k -=+，可得
2
221(1)(3)(2)sin sin 1ln (2)(2)(1)(3)k k k k k k k ⎡⎤+++=-<⎢⎥++++⎣⎦
，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明. 【详解】
解：（1）当0a =时，设函数2
2
()()ln ,0g x f x x x x x =-=->，则
2'
112(1)(1)
()2x g x x x x x
-+=-==
令'
()0g x =
，解得x =
当02x <<
时，'()0g x >
，当2
x >时，'()0g x < 所以()g x
在(0,
2
上单调递增，在)2+∞上单调递减
所以当2
x =
时，函数取得极大值，即极大值为11ln 2222g =--，无极小值；
（2）因为()sin(1)ln f x a x x =-+， 所以'
1
()cos(1)f x a x x
=--+
， 因为()f x 在区间(0,1)上递增，
所以'
1
()cos(1)0f x a x x
=--+≥在(0,1)上恒成立， 所以1
cos(1)
a x x ≤
-在区间(0,1)上恒成立．
当0a ≤时，1
cos(1)
a x x ≤
-在区间(0,1)上恒成立，
当0a >时，
1
cos(1)x x a
≥-， 设()cos(1)t x x x =-，则()cos(1)sin(1)0t x x x x '=-+->在区间(0,1)上恒成立． 所以()cos(1)t x x x =-在(0,1)单调递增，则0()1t x <<， 所以
1
1a
≥，即01a <≤ 综上所述1a ≤．
（3）由（2）可知当1a =时，函数()sin(1)ln G x x x =-+在区间(0,1)上递增， 所以sin(1)ln (1)0x x G -+<=，即1
sin(1)ln
(01)x x x
-<<<， 取2
1
1(2)x k -=
+，则
2
221(1)(3)(2)sin sin 1ln (2)(2)(1)(3)k k k k k k k ⎡⎤+++=-<⎢⎥++++⎣⎦
． 所以
22222211134(2)323sin sin sin ln[]ln()ln ln 3ln 234(2)2435(1)(3)232
k k k k k k ++++⋅⋅⋅+<⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⋅<=-+⨯⨯+++所以
2
1
1
sin
ln 3ln 2(2)
n
k k =<-+∑ 【点睛】
此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题. 21．已知椭圆C 的焦点在x
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设(3,0)M -，过椭圆C 右焦点F 的直线l 交于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式()MA MB R λλ⋅≤∈u u u r u u u r
恒成立，求λ的最小值.
【答案】（1）2
212x y += （2）312
【分析】
（1）由已知条件列出关于a 和b 的方程，并计算出a 和b 的值，jike 得到椭圆的方程.
（2）设出点A 和点B 坐标，运用点坐标计算出MA MB ⋅u u u r u u u r
，分类讨论直线l 的斜率存在和不存在两种情况，求解出λ的最小值. 【详解】
（1
）由己知得：221
2223
a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎨⎪+=⎩
a =1
b =
所以，椭圆C 的方程2
212
x y +=
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ．()()()()112212123,3,33MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r
当直线l 垂直于x 轴时，121x x ==，12y y =-且2
112
y =
此时()14,MA y =u u u r ，()24,MB y =u u u r ，31
2
MA MB ∴⋅=u u u r u u u r 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线:(1)l y k x =-
由22
(1)22
y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-=． 2
122412k x x k ∴+=+，2122
2212k x x k
-=+ ()()()22
1212122231711731391131212212
k MA MB x x x x k x x k k +⎛⎫∴⋅=++++--==-< ⎪++⎝⎭u u u r u u u r .
要使()MA MB R λλ⋅≤∈u u u r u u u r 恒成立，只需
max 31
()2MA MB λ≥⋅=u u u r u u u r ，即λ最小值为312
【点睛】
本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.
22．在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
cos sin C c B =-.
（1）求B ；
（2
）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC V 的面积取得最大值时，求AD 的长. 【答案】（1）23
π
；（2
. 【解析】
（1）利用正弦定理及A B C π++=
sin sin sin B C C B =-
，从而得到tan B = （2）在ABC V 中，利用余弦定可得22123a c ac ac =++≥，4ac ≤
，而1sin 24
ABC S ac B ∆==，故当4ac =时，ABC V 的面积取得最大值，此时2a c ==，π
6
C =，在AC
D V 中，再利用余弦定理即可解决. 【详解】
（1
cos sin sin A B C C B =-， 结合()sin sin A B C =+，
sin sin sin B C C B =-， 因为sin 0C ≠
，所以tan B = 由()0,πB ∈，得2π3
B =
. （2）在ABC V 中，由余弦定得2212a c ac =++， 因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，
当且仅当2a c ==时，ABC V 的面积取得最大值，此时π6
C =. 在AC
D V 中，由余弦定理得
2
2
2
π
2cos 12121762AD CA CD CA CD ⎛=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅= ⎝⎭
.
即AD =【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.
23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线l
的参数方程为22cos 2x y θ
θ=+⎧⎪
⎨=+⎪⎩
（θ为参数）
，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 的普通方程；
（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标. 【答案】（1）2
2
(2)4x y +-=（2）
3
π)． 【解析】 【分析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式cos ,sin x y ρθρθ==求解.
（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.
【详解】
（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，
∴24sin ρρθ=，则224x y y +=,
即22
(2)4x y +-=. （2
）22222cos 2cos 121)22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩
，
∴y =，1x >
联立22
(2)4x y +-=
可得223x x +=， 0x =
（舍）或x =
公共点
3)，化为极坐标
3
π)． 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.。